Ejemplos típicos
Definición de elipse
Ejemplo 1
Sobre la recta La recta de un foco F1 de la elipse 4x2 Y2 = 1 corta la elipse en los puntos A y B, entonces el perímetro de △ABF2 formado por A, B y el otro foco F2 de la elipse es
[ ]
Breve descripción:
∵|AF1| |AF2|=2,
|BF1 |BF2|=2,
∴ |af1| |bf1| |af2| |bf2|=4,
Es decir, |AF2 |
∴Elija b
Comentarios:
Esta pregunta trata sobre encontrar el perímetro, que en realidad está definido por una elipse.
Ejemplo 2
El punto M es un punto de la elipse y los dos focos de la elipse son F1 y F2. Y 2a=10, 2c=6, el punto I es △MF1F2.
Solución:
Como se muestra en la figura, I es el corazón de △MF1F2,
∴∠1=∠2,
Compare ① y ②, aplicando el teorema de igual proporción, podemos obtener
Comentarios:
Todos los tres pasos de esta pregunta utilizan la definición de elipse, el teorema de la bisectriz interior, y El teorema de la igualdad de proporciones. El teorema proporcional es el puente entre las relaciones de los segmentos de las bisectrices interiores y la primera definición de elipse.
Ejemplo 3
Se sabe que los dos focos de la elipse son F1 y F2, el punto M es un punto de la elipse (no de la recta F1F2), ∠ F1F2 = θ, |F1F2| =2c, | MF 1 | MF2 | =
Solución:
Sacar la conclusión del teorema del coseno
(2c) 2=|F1F2|2
= | MF 1 | MF2 2-2 | | MF2 |)2- 2 | MF 1 | |(1 cosθ)
=(2a)2-2 | Comentarios:
Ejemplo 4
Se sabe que la ecuación 2 (K2-2) x2 K2Y2 K2-k-6 = 0 representa una elipse, y encuentre el rango de valores del real número k.
Solución:
Según el significado del problema, obtenga
Comentarios:
Para resolver este tipo de problema, debemos Presta atención a los dos tipos de elipses y a la diferencia entre una elipse y un círculo.
Ejemplo 5
Solución:
Supongamos que la ecuación elíptica es ax2 by2 = k,
①
Comentarios:
No sabemos el tipo de elipse en este problema, por lo que utilizamos este enfoque "difuso" para simplificar los cálculos.
Ejemplo 6
Análisis:
Solución:
Supongamos |PF1|=m, |PF2|=n, m n = 20 ,
Es decir, m2 N2-Mn = 144.
(1)
∴(m n)2-3mn=144.
Comentarios:
El método anterior utiliza la definición de elipse y el teorema del coseno, utilizados a menudo para resolver problemas de triángulos en elipses
Encuentra el valor máximo de | pf1 ||
Solución:
∫a = 10,
∴|PF1| |PF2|=20.
" = "Establecido si y sólo si |PF1|=|PF2|.
∴| PF1 || PF2 | El valor máximo es 100.
Ejemplo 7
Prueba
(1)∵P0 está fuera de la elipse,
(2)P0 está dentro de la elipse,
p>
Comentarios:
1. Los puntos de conocimiento involucrados en esta pregunta son ecuaciones elípticas y conceptos de coordenadas.
2. Este es un punto de conocimiento común que no es difícil de demostrar siempre que comprenda los conceptos de coordenadas y ecuaciones de curvas.
Realización 8
Encuentre el valor mínimo de | am | 2 | MF | y encuentre las coordenadas del punto m en este momento.
Análisis:
Según el pensamiento convencional, supongamos M (x, y), entonces
m está en la elipse e y se puede representar mediante X. , entonces | am | 2 | MF | se puede expresar como una función unaria de X, y luego se puede encontrar el valor mínimo de esta función. Aunque este método parece factible, es muy difícil de operar en la práctica, pero podemos convertir la segunda definición de elipse en la distancia desde un punto a una línea recta, como se muestra en la figura.
∴|AM| 2|MF|=|AM| d
Dado que el punto a está dentro de la elipse, si a es AK⊥l y k es el pie vertical, es fácil de demostrar que |AK| es el valor mínimo de |AM|D, y su valor es 8-(-2) = 10.
Ejemplo 9
[ ]
A. Elipse
B Hipérbola
Segmento de línea
D. Parábola
Breve descripción:
Es decir, la distancia desde el punto P (x, y) al punto fijo F (1, 1) y la línea fija L Relación de distancias: x y 2 = 0.
La trayectoria del punto p es una elipse, así que elige a.
Comentarios:
Esta pregunta es muy interesante: la belleza es que utiliza la segunda definición de elipse, que no se puede utilizar directamente. La respuesta se sabrá después de la deformación. Resolver con un cuadrado de dos caras puede resultar engorroso.
Ejemplo 10
Salida
[ ]
A.8
Breve descripción:
Dibujar
|PF1| |PF2|=2a=10,
∴|PF1|=2.
∴|pf2|=10 - |pf1|=10-2=8.
Elija un.
Comentarios:
Esta pregunta es una aplicación integral de la primera y segunda definiciones de elipse.
Ejemplo 11
Como se muestra en la figura, el centro de la elipse es o, f es el foco, a es el vértice, la directriz l intersecta la línea de extensión OA en b , p y q están en la elipse Arriba, PD⊥l está en d, QF⊥OA está en f, entonces la excentricidad de la elipse es
[ ]
Respuesta: 0
B.2
C.2
D.5
Respuesta:
D.
Comentarios:
p>Esta pregunta utiliza la excentricidad de manera flexible para profundizar nuestra comprensión de la segunda definición de elipse.
Ejemplo 12
Entonces |pf1| = a ex0, |pf2|
Prueba:
Definida por la segunda elipse, debemos
Comentario:
En algunos libros, la conclusión anterior se llama es la fórmula del radio focal. No es científico seguir los requisitos del libro de texto de People's Education Press. Es fácil caer en la simple memorización de fórmulas e ignorar la comprensión y aplicación de la segunda definición de elipse. Debido a la conveniencia de la descripción, la fórmula del radio focal se seguirá utilizando más adelante, pero se debe prestar atención a su comprensión.
De hecho, la conclusión anterior es una extensión de la segunda definición de elipse. Domina la segunda definición de elipse y la relación posicional entre un punto y una línea recta, que es fácil de deducir y recordar. Cuando se utiliza, puede agregar el prefijo "según la segunda definición de elipse" para aplicar.
|PF1|=a ex0, |PF2|=a-ex0,
Ejemplo 13
Análisis:
Simplemente resuelve el ecuación.
Este método es natural, pero requiere muchos cálculos, por lo que es necesario encontrar nuevas soluciones desde otro ángulo.
Solución:
Definida por la segunda elipse, debemos
Comentarios:
Comprende completamente la segunda definición de elipse, puedes Recuerde las conclusiones relevantes.
Propiedades geométricas de la elipse
Ejemplo 1
Se sabe que el centro de la elipse está en el origen de las coordenadas, el foco está en el mismo eje de coordenadas, la excentricidad e = 0,6, la elipse pasa por el punto a (5, 4). Encuentra la ecuación de la elipse.
Solución:
Comentarios:
Observa los dos tipos de ecuaciones elípticas.
Ejemplo 2
Dada la ecuación de la elipse (1-m) x2-My2 = 1, encuentra la longitud del eje mayor.
Solución:
Las ecuaciones elípticas son el segundo tipo.
Comentarios:
El tipo de ecuación es crucial.
Ejemplo 3
[ ]
A. El área de la elipse disminuye y la distancia entre el foco y la directriz correspondiente aumenta.
b. El área de la elipse disminuye, y la distancia entre el foco y la directriz correspondiente disminuye.
La distancia entre el foco y la directriz correspondiente aumenta a medida que aumenta el área de la elipse.
d. La distancia entre el foco y la directriz correspondiente disminuye a medida que aumenta el área de la elipse.
Elija b.
Comentarios:
La forma de una elipse es plana y redonda. ¿Cómo se puede describir su planitud?
Cuando E está más cerca de 1 (es decir, aumenta), C está más cerca de A, por lo que B es más pequeño y por lo tanto la elipse es más plana.
Si a permanece sin cambios, cuanto menor es el área de la elipse S =πab; menor es la distancia entre el foco y la directriz correspondiente, el foco se mueve hacia afuera.
Cuanto más cerca está E de cero (es decir, decreciente), más cerca está C de cero, por lo que cuanto más grande es B, la elipse está más cerca de un círculo.
Si a permanece sin cambios, cuanto mayor sea el área de la elipse S =πab; mayor será la distancia entre el foco y la directriz correspondiente, el foco se mueve hacia adentro.
Nota: Los cambios anteriores en el número E reflejan la planitud de la elipse. Si los dos focos coinciden con el origen, es decir, a=b, entonces cuando c=0, el cambio cualitativo de la figura ya no es una elipse, sino un círculo X2 Y2 = A2.
Ejemplo 4
¿Es la distancia desde el punto M a los dos puntos de enfoque F1 y F2 un promedio proporcional? Y explica por qué.
Solución:
Supongamos que hay un punto en la elipse que satisface el significado del problema P(x0, y0).
L: x =-4, |Mn | = | x0 4 |
Si |MN| es la mediana geométrica de |MF1| y |MF2|,
definida por la segunda elipse, debemos
porque el punto M (x0, y0) está en la elipse, por lo que debería ser -2 ≤ x0 ≤ 2. Obviamente la abscisa es x0 =-4.
Comentario:
La esencia de resolver este problema es la reducción al absurdo.
Ejemplo 5
La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse, con el Sol en uno de sus focos. La distancia desde el punto de perihelio de la órbita al Sol es de 1,44 millones de kilómetros, y la distancia desde el punto de afelio de la órbita al Sol es de 1,49 millones de kilómetros. Encuentre la excentricidad y la ecuación orbital de esta órbita.
Solución:
Utilizando millones de kilómetros como unidad de longitud, establezca el sistema de coordenadas como se muestra en la figura.
∴a-c=144, ac=149,
∴a=146.5, c=2.5.
Comentarios:
Supongamos que P(x0, y0) es cualquier punto de la elipse, entonces | pf2 | = a-ex0, -a ≤ x0 ≤-a.
∴(|PF2|)max=a-e (-a)=a c, (|PF2|)min=a-e a=a-c
Problema de valor máximo
Ejemplo 1
Encuentra el área máxima de una elipse con su eje mayor como base.
Solución:
Sea la ecuación elíptica
Comentarios:
1. Los puntos de conocimiento involucrados en esta pregunta son: la ecuación de la elipse (ecuaciones paramétricas), la fórmula del área de un trapezoide y el método de procesamiento del valor máximo de una función trigonométrica.
2. La solución al problema del máximo generalmente es seleccionar las variables de diseño (variables independientes apropiadas), establecer la función objetivo (es decir, el modelo matemático) y luego aplicar el conocimiento funcional y las desigualdades para encontrar. el valor máximo de la función objetivo. Aquí, la clave es cómo construir un modelo matemático, y el lenguaje matemático competente es la herramienta básica para construir modelos. El conocimiento de funciones y las desigualdades son la base para encontrar el valor máximo.
Ejemplo 2
Solución:
Pasar b al BN⊥l de n y pasar a al AM⊥l de m
Desde el propiedades de las elipses, sabemos
Comentario:
De acuerdo con la planitud del gráfico, se puede determinar que el punto B minimiza u.
Ejemplo 3 p>
Elipse, encuentre dónde está el punto m, el eje más largo de la elipse es el más corto y encuentre la ecuación de esta elipse.
Análisis:
La longitud del eje mayor de la elipse es la suma de las distancias desde el punto de la elipse a los dos focos. De esta manera, encontrar la elipse con el eje mayor más corto que pasa por el punto m en la recta L se transforma en encontrar el punto en la recta L, de modo que la suma de las distancias desde el punto a los dos puntos focales F1 y F2 está minimizado.
Solución 1:
a2=16, b2=12,
∴c2=a2-b2=4.
Opción de solución 2:
El círculo debe ser tangente a la recta l, m es el punto tangente,
Elimina y para obtener (a2 B2)x2-8a2x 16 a2-a2 B2 = 0.
∴△=64a4-4(a2 b2)(16a2-a2b2)=0.
A2 B2 simplificado = 16.
(1)
∴a2-b2=4.
(2)
De ① ② ecuaciones simultáneas, a2 =10 , B2 =6.
Comentario:
En la elipse con F1 y F2 como foco y que pasa por un punto de la recta L, el eje más largo de la elipse tangente a la recta L es el más corto, porque en la recta L todos los puntos excepto el punto tangente están fuera de la elipse, y la suma de las distancias desde un punto fuera de la elipse a los dos focos es mayor que 2a. Esta conclusión se puede demostrar mediante el conocimiento de la geometría plana, y también se puede demostrar que la suma de las distancias desde un punto de la elipse hasta los dos focos es menor que 2a.
Problema del radio de enfoque
Ejemplo 1
Solución:
exi)(i=1, 2, 3).
∴Las abscisas de los tres puntos forman una secuencia aritmética, lo cual es condición necesaria y suficiente para que el radio focal del punto forme una secuencia aritmética.
Comentarios:
1. Los puntos de conocimiento involucrados en esta pregunta son el radio focal de la elipse, la secuencia aritmética y las condiciones necesarias y suficientes.
2. Sólo dominando el radio focal de la elipse podemos superar con éxito preguntas tan básicas. Esto muestra la importancia de dominar los elementos relevantes y al mismo tiempo dominar las ecuaciones estándar.
Ejemplo 2
La distancia es una secuencia aritmética.
(1) Encuentre x 1 x2;
(2) Demuestre que la perpendicular de AC pasa por un cierto punto y encuentre las coordenadas de este punto fijo.
Solución:
(1) Desde el semieje mayor a=5, el semieje menor b=3, la longitud semifocal c=4 de la ecuación elíptica , según la definición unificada de secciones cónicas, obtenemos
∵|AF|CF|=2|BF|,
Por lo tanto, x1 x2 = 8.
Comentarios:
1. Los puntos de conocimiento involucrados en esta pregunta incluyen: ecuación elíptica, definición unificada de secciones cónicas, fórmula del punto medio, pendiente del punto, secuencia aritmética y ecuaciones de sistemas lineales.
2. Según la definición unificada de secciones cónicas, es indispensable utilizar |AF|, |BF| para formar una ecuación de secuencia aritmética que incluya x1 y x2, y derivar la focal. Fórmula del radio de la elipse. Es la clave para demostrar que la línea central de AC pasa por un punto determinado.
Debido a que A y C son puntos móviles en la elipse y la línea central de AC es un sistema de línea recta, la ecuación de este sistema de línea recta se puede resolver.
Línea y elipse
Ejemplo 1
(1) tiene dos cosas en común;
(2) solo tiene una cosa en común;
(3) No hay nada * * * en común.
Solución:
∴△=(12k)2-4×9×(6k2-8)=-72(k2-4).
( 1) △ > 0 significa que cuando -2 < k < 2, la recta y la elipse tienen dos puntos comunes.
(2) Cuando △ = 0, es decir, k =-2 o k=2, la recta y la elipse tienen un solo punto común.
(3) Cuando △ < 0, es decir, k > 2 o k
Comentarios:
Para determinar la convergencia escalonada general de la relación entre un Método de recta y elipse" △":
(1) Ecuaciones simultáneas.
(2) Eliminar en una ecuación cuadrática.
③Calcular △ = B2-4ac.
(I) Cuando △ > 0, se dice que los dos puntos comunes de la recta y la elipse se cruzan.
(ii) Cuando △=0, la recta y la elipse tienen un y sólo un punto común. En este momento se dice que la recta y la elipse son tangentes.
(iii) Cuando △ < 0, no hay un punto común entre la recta y la elipse. En este momento, se dice que la línea recta y la elipse están separadas.
Nota:
Hay dos formas de distinguir la relación posicional entre una línea recta y un círculo: el método △ y el método "D-R". Método más simple y más comúnmente utilizado. Solo hay una forma de posicionar la relación con la elipse, que es el método △.
Ejemplo 2
Simetría en la recta y = 4x m .
Solución 1:
∴△=(-8b ) 2-4×13×(16b2-48)>0.
(1)
Supongamos que el punto medio de PQ es M(x, y), entonces
(2)
Sustituye ② en ① para obtener
Solución 2:
Supongamos que P(x1, y2), Q(x2, y2) son dos puntos calificados en la elipse C, y M(x, y) es el punto medio de PQ.
Resta las dos expresiones, 3(x 1-x2)(x 1 x2) 4(y 1-y2)(y 1 y2)= 0.
∵x1≠x2, x1 x2=2x, y1 y2=2y,
∴M(-m,-3m).
El punto m debe ser en Dentro de la elipse c, entonces
Comentarios:
Para resolver este problema, debemos comprender profundamente el significado de simetría.
Ejemplo 3
La longitud de AB.
Solución:
El foco derecho de la elipse f (1, 0),
Supongamos la recta L: y = x-1, A( x1, y1 ), B(x2, y2), ∴ y1-y2 = x1-x2,
Comentarios:
(1) Si calculas además el área de △ F1AB para este problema, como se muestra en la figura, F1(-1,0).
La distancia desde ∴ punto F1 (-1, 0) a la recta L: Y = X-1 es
Suele haber dos métodos para encontrar el área de △ F1AB:
(1)S△f 1AB = S△f 1F2A S△f 1F2B,
(2) En esta pregunta, la recta L es el foco derecho de la elipse, y la cuerda de intersección es la "cuerda de enfoque". Para la "acorde de enfoque", además del método para encontrar la longitud de la cuerda mencionado anteriormente, también podemos considerar el siguiente estudio de |AB |AF2 |
Ejemplo 4
Se sabe que el centro de la elipse está en el origen de coordenadas O, el foco está en el eje de coordenadas y la recta y = x 1 corta a la elipse en
Análisis:
No está claro si el foco de la elipse en la configuración del problema es el eje X o el eje Y.
Entonces, al elegir una forma de ecuación estándar, no está claro cuál es A > B o A < B. Por otro lado, el problema involucra la intersección de dos condiciones p y q, lo que simplifica el cálculo.
Solución:
Supongamos que la ecuación de la elipse es
Según el significado de la pregunta, las coordenadas del punto P y el punto Q satisfacen la ecuación.
Sustituye ② en ① para obtener
(a2 b2)x2 2a2x a2(1-b2)=0.
③
Supongamos que las dos raíces de la ecuación ③ son x1 y x2 respectivamente, entonces la recta Y = X 1 y las elipses P (x1, x1) y Q (x2, X2 1) punto de intersección.
Empaca y obténlo
Resuelve para X1 X2 y x1 x2 y obtén
Resuélvelo y obténlo.
Por lo tanto, la ecuación de una elipse es
Comentarios:
Esta pregunta es una combinación inteligente de elipses y el teorema de Vietta.
Trayectoria y síntesis
Ejemplo 1
Se sabe que el punto P se mueve sobre la recta X = 2, la recta L pasa por el origen y pasa por el punto A perpendicular a OP (1,0), la recta M cruza la recta L del punto P en el punto Q, obteniendo así la ecuación de trayectoria del punto Q, indicando el nombre de la trayectoria y sus coordenadas de enfoque.
Solución 1:
Supongamos Q(x, y), P(2, t)
∵OP⊥OQ,
∴ty=-2x.①
∵Q, A, P línea * * * de tres puntos,
Es decir, y = t (x-1).
Si t≠0, entonces t es eliminado por ① y ②, entonces, justo.
2x2 y2-2x=0(y≠0). (※)
Si t = 0, entonces p (2, 0), l: x = 0.
∴ q (0, 0) también satisface la fórmula (※).
En resumen, la ecuación de trayectoria del punto en movimiento Q es
Solución 2:
Cuando l⊥x eje, entonces q (0, 0) .
Cuando l no es perpendicular al eje x, sea l: y = kx, donde k ≠ 0.
Resuelve la ecuación
Supongamos Q(x, y), entonces y = kx. ①.
Combina ① y ②, elimina K y obtienes 2x2 y2-2x = 0 (y ≠ 0).
Q(0, 0) también se aplica a la fórmula anterior.
∴La ecuación de la trayectoria del punto q es
El nombre de la órbita y las coordenadas de enfoque son la misma solución.
Comentario:
El movimiento del punto q puede considerarse como el movimiento del punto p, por lo que la ordenada del punto p puede usarse como parámetro para describir la ley del movimiento del punto q; el movimiento del punto Q también puede ser considerado como el movimiento de la línea recta L alrededor del origen, por lo que se puede seleccionar la inclinación o pendiente de la línea recta L para establecer la relación entre la abscisa y la ordenada de Q.
Ejemplo 2
Otro punto Q está en OP, que satisface || OP =| Cuando el punto P se mueve a lo largo de la línea recta L, encuentre la ecuación de la trayectoria del punto Q y explique qué curva es la trayectoria.
Análisis:
La ecuación dada ||| op | 2 no solo involucra el punto móvil Q que necesitamos, sino que también contiene los puntos móviles P y R. , para obtener la ecuación de trayectoria de Q, es necesario establecer la relación entre las coordenadas de P, R y Q, la cual puede ser determinada por la combinación de las rectas de O, Q, P y R, la combinación del punto R y la elipse, y la combinación del punto P y la recta. También es un buen método para describir las coordenadas de q, r, p con XOP = θ. Si q, p y r se proyectan sobre el eje x, el problema se puede expresar de la siguiente manera
Solución 1:
Asumimos que el punto Q no está en el origen. Suponemos P(xP, yP), R(xR, yR) y Q(x, Y), donde X e Y no son ambos 0.
Cuando el punto P no está en el eje Y, desde el punto R en la elipse y las rectas de O, Q, R, podemos obtener
Resolverlo y obtener él.
Del punto P de la recta L y las rectas O, Q y P, podemos obtener
Cuando el punto P está en el eje Y, P ( 0, 8), R (0, 4), Q (0, 2) pueden verificar fácilmente que ①, ②, ③ y ④ son todos verdaderos.
De la pregunta |OQ || OP | o |2, se deriva.
Sustituyendo ①, ②, ③ y ④ en la fórmula anterior, obtenemos
∵ ∴ 2x 3y > 0.
Solución 2:
Asumimos que el punto Q no está en el origen. Suponemos P(xP, yP), R(xR, yR) y Q(x, Y), donde X e Y no son todos cero.
Supongamos ∠ cosα, yR = | OR | sinα
x=|OQ|Cos α, y=|OQ|Cos α.
La ecuación |OQ || op | = | 2 está dada por la fórmula y la pregunta anteriores.
Desde el punto P de la recta L y el punto de la elipse, obtenemos
Sustituye ①, ②, ③ y ④ en ⑤ y ⑤ para obtener.
Ordenar, tomar
una elipse paralela al eje X y eliminar el origen O (0, 0).
Solución 3:
q no está en el origen. Sean P(xP, yP), R(xR, yR) y Q(x, y), donde x e y no son cero al mismo tiempo.
∵| OQ | | OP | = |2
Según el significado de la pregunta, Entonces
Porque el punto P (xP, yP) está en la recta L y O, P, Q, obtenemos
Sustituyendo ① y ② en la fórmula (※), obtenemos
La elipse con el eje paralelo a la Eje X, elimina el origen O (0, 0).
Comentarios:
Esta pregunta es el final de la pregunta de Matemáticas del Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 1995. La pregunta de artes liberales de este año es su pregunta hermana:
Sepa eso. Q está en el OP y satisface || OP | Cuando el punto Q se mueve sobre L, encuentre la ecuación de la trayectoria del punto Q y explique qué curva es la trayectoria.
Ejemplo 3
Dóblalo formando un ángulo diédrico recto a lo largo del eje X y encuentra el ángulo entre la línea que conecta AB y el eje X.
Solución:
B guía a BC‖OX para que interseque la elipse en C. B y C son simétricos con respecto a Y, y A y C son simétricos con respecto a x.
∴| AD | = | DC | Y tanto AD como DC son perpendiculares al eje x.
Después de plegar el plano de coordenadas, la relación posicional de los puntos o líneas en el mismo plano permanece sin cambios, todavía hay | AD = | .
∠ADC es el ángulo plano del ángulo diédrico,
AD⊥ el plano BOC se muestra en la Figura 3,
∵BC⊥CD según tres mutuamente perpendicular El teorema de , se obtiene la corriente alterna de BC ⊥.
En Rt△ABC, |BC| antes del isomorfismo es 2|OA|cosα,
Comentarios:
(1) Puntos de conocimiento involucrados en esta pregunta son: ecuación elíptica, el concepto de funciones trigonométricas y la relación entre los ángulos de un triángulo rectángulo, el ángulo plano del ángulo diédrico, el teorema de las tres perpendiculares y el ángulo formado por la recta en la superficie opuesta.
(2) Este es un problema integral de geometría analítica y geometría sólida. Dibuje una vista intuitiva basada en el tema para ayudar a la imaginación espacial. Después del plegado, las posiciones relativas de puntos y líneas en el mismo plano permanecen sin cambios, mientras que las posiciones relativas de puntos y líneas en diferentes planos cambian. Esto es algo a lo que hay que prestar atención al juzgar las relaciones posicionales.