Guo Dunyong respondió:
Cada cara del icosaedro regular es un triángulo equilátero, y cada ángulo poliédrico es un ángulo pentaédrico. Tiene 20 caras, 12 vértices y 30 franjas. .
El radio de la esfera inscrita del icosaedro regular r=[(3√3√15)/12] a, a es la longitud del borde;
El radio de la esfera inscrita esfera del icosaedro regular r′=[(1 √5)/4] a;
El radio de la bola fuera del cuerpo del icosaedro regular R=[√(10 2√5)] a /4.
El icosaedro regular se puede dividir en tres capas. La capa superior es una pirámide pentagonal regular P—ABCDE;
¿La capa inferior también es una pirámide pentagonal regular? con el vértice Q en la parte inferior;
>La capa intermedia es un poliedro intercalado entre dos pentágonos regulares paralelos ABCDE y FGKMN. Los lados son 10 triángulos regulares: △AFG, △AGB, △BGK, △BKC. , CKM, △CMD, △DMN y DNE,
△ENF, △EFA.
AF, AG, BG,..., EF, los puntos medios de las 10 aristas se representan respectivamente como U1, U2, U3,..., U10,
U1, U2, U3,... , U10 es el vértice del decágono regular y los 10 puntos tangentes de la esfera tangente del icosaedro regular.
El centro del icosaedro regular se establece en O (0, 0, 0), y el centro de las tres esferas es W (0, 0, 0). centro del pentágono regular ABCDE es W (0, 0, zⅠ),
El centro del pentágono regular FGKMN es V (0, 0, zⅡ)
Las coordenadas del los vértices superior e inferior son P (0, 0, 1), Q (0, 0, -1),
Entonces R=[√(10 2√5)]a/4=1,
∴a=4/[√(10 2√ 5)]=AB=BC=…=PA=…
AW=BW=…=a/sin36°,
En Rt⊿PAW, h=PW=√（ PA?),
∴OW=1-h, la coordenada del punto W es W (0, 0, 1- h)
La coordenada del punto A es A (0, AW , 1-h
∠AWB=72°, ∠BWX=θ=90°-72°=); 18°,
Las coordenadas del punto B son B (x2, y2, 1-h),
x2=BWcos18°, y2=BWsin18°;
Las coordenadas de otros vértices se pueden deducir por analogía.
El diagrama de expansión de los 10 triángulos equiláteros del lado: △AFG, △AGB, △BGK, △BKC, CKM, △CMD, △DMN, DNE, △ENF, △EFA es el siguiente: