Analizamos cuatro métodos básicos de factorización: elevar factores comunes, usar fórmulas, multiplicación cruzada y factorización grupal. Hay dos métodos más aquí.
1. Desmontar elementos. Sí. Para utilizar fórmulas (incluidas las fórmulas) o extraer factores comunes después de agrupar.
Ejemplo 1 Factorización: ① x4 x2 12a3 B3 C3-3abc.
① Análisis: x4 1 se puede convertir en una fórmula cuadrada completa si se suma 2x2.
Solución: x4 x2 1 = x4 2 x2 1-x2 =(x2 1)2-x2 =(x2 1 x)(x2 1-x).
② Análisis: Para hacer que a3 b3 se convierta en (ab)3, es necesario agregar dos elementos 3a2b 3ab2.
Solución: a3 B3 C3-3 ABC = a3 3a2b 3ab 2 B3 C3-3 ABC-3a2b-3ab 2.
= (a b) 3 C3-3ab (a b c)
=(a b c)[(a b)2-(a b)c C2]-3 ab(a b c)
=(a b c)(a2 b2 c2-ab-ac-bc)
Ejemplo 2 de factorización: ①x3-11x 202 a5 A 1.
① Análisis: descomponga el término medio -11x en -16x 5x y forme dos grupos con X5 y 20 respectivamente. Luego hay un factor común que debe extraerse. (Tenga en cuenta que 16 aquí es un número cuadrado completo)
②Solución: x3-11x 20 = x3-16x 5x 20 = x(x2-16) 5(x 4).
= x(x 4)(x-4) 5(x 4)=(x 4)(x2-4x 5)
③Análisis: Sumar dos elementos——a2 y A2, forma dos grupos con a5 y a 1 respectivamente, que solo pueden usar la fórmula de diferencia cúbica.
Solución: A5 A 1 = A5-A2 A2 A 1 = A2(A3-1) A2 A 1
= a2(a-1)(a2 a 1) a2 a 1 =(a2 a 1)(a3-a2 1)
2. Utiliza el teorema factorial y el método del coeficiente indeterminado.
Teorema: (1) Si x=a, f(x) = 0, [es decir, f (a) = 0], entonces el polinomio f(x) tiene el primer factor x-a.
⑵ Si dos polinomios son iguales, los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.
Ejemplo 3 de factorización: ① x3-5x2 9x-6② 2x3-13x2 3.
①Análisis: Sustituir x = 1, 2, 3, 6 (divisor de la constante 6) en la fórmula original respectivamente. Si el valor es 0, puedes encontrar el factor principal y luego usar la división o el método del coeficiente indeterminado para encontrar el otro factor.
Solución: Cuando x=2, x3-5x2 9x-6 = 0, ∴, la fórmula original tiene el primer factor x-2.
∴x3-5x2 9x-6=(x -2)(x2-3x 3)
②Análisis: use los divisores 1 y 2 del coeficiente 2 de mayor orden para eliminar ellos respectivamente Divisor del término constante 3.
Los cocientes de 1 y 3 son 1, 2, 0, y luego encuentra estos cocientes respectivamente en la fórmula original.
Se sabe que sólo cuando x=, el valor inicial es 0. Por tanto, sabemos que existe un factor 2x-1.
Solución: Cuando ∵x=, 2x3-13x2 3 = 0, la fórmula original de ∴ tiene un factor elemental 2x-1
Supongamos 2x 3-13 x2 3 = (2x - 1)(x2 ax-3)(A es un coeficiente indeterminado).
Comparando los coeficientes de x2 izquierdo y derecho, obtenemos 2a-1 =-13, a =-6.
∴2x3-13x 3=(2x-1)(x2-6x-3).
Ejemplo 4 Factorización 2x2 3xy-9Y2 14x-3y 20
Solución: ∫2 x2 3xy-9 y2 =(2x-3y)(x 3y), usando el método de coeficientes indeterminados, podemos establecer
2 x2 3xy-9 y2 14x-3y 20 =(2x-3y a)(x 3y b), donde a y b son coeficientes indeterminados,
Compare los coeficientes de x e y en los lados izquierdo y derecho y obtenemos
Resolver
∴2x2 3xy-9y2 14x-3y 20=(2x-3y 4)(x 3y 5)
Otra solución: Fórmula original = 2x2 (3y 14) X-(9y2 3y-20) Este es un trinomio cuadrático alrededor de X.
El término constante se puede descomponer en -(3y-4)(3y 5). Usando el método del coeficiente indeterminado, podemos establecer
2 x2 (3y 14)x-(9 y2 3y-20)=[MX-(3y-4)][NX (3y 5)]
Compare los coeficientes de los términos x2 y x en los lados izquierdo y derecho, y obtenga m = 2, n = 1.
∴2x2 3xy-9y2 14x-3y 20=(2x-3y 4)(x 3y 5)
Ejercicio 19
Factorización: 1x4 x2y2. y42x4 43x4-23x2xy2 y4.
2. Factor de descomposición: ① x3 4x2-9 ② x3-41x 30.
③x3 5x2-18 ④x3-39x-70
3 Factor de descomposición: ① x3 3x2y 3xy2 2y32x3-3x2 3x 7
③x3-9ax 2 27a2x- 26 a3④x3 6x 2 11x 6
⑤a3 b3 3(a2 b2) 3(a b) 2
4 Factor de descomposición: ①3x 3-7x 10x2x 3-11x 2 31x-21.
③x4-4x 3 ④2x3-5x2 1
5. Factor de descomposición: ①2 x2-xy-3 y2-6x 14y-8②(x2-3x?0?1-3) (x2 3x 4)-8
③(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)-48④(2x-7)(2x 5)(x2-9)-91
6. Factor de descomposición: ①x2y2 1?0?1-x2-y2 4xy②x2-y2 2x-4y-3
③x4 x2-2ax-a 1④(x y)4 x4 y4
⑤(a b c)3-(a3 b3 c3)
7. Se sabe que n es un número natural mayor que 1. Demuestre: 4n2 1 es un número compuesto.
8 Se sabe que f (x) = x2 bx c, g (x) = x4 6x2 25, p (x) = 3x4 4x2 28x 5.
Y sabemos que f(x) es factor de g(x) y factor de p(x).
Encuentra el valor de f(x) cuando x=1.
Respuestas de referencia
Ejercicio 19
1. Añade elementos para hacerlos completamente planos (imitación 3). 2. Elimina el término medio e imita 1.
3. Descompone cada término y conviértelo en el cubo de la suma de dos números.
①Fórmula original = (x y) 3 y3...③Fórmula original = (x-3a)3 a3.
⑤Fórmula original = (a 1)3 (b 1)3
4 Usa el teorema factorial y el método del coeficiente indeterminado para imitar los ejemplos 5 y 6.
④Cuando x =, la fórmula original = 0 y hay un factor 2x-1.
5. Observa el trinomio cuadrático de una expresión algebraica, copia el Ejemplo 7.
④Fórmula original=(2x-7)(x 3)(2x-5)(x-3)-91 =(2x 2-x-8)(2x 2-x-28)= 1 ...
6. Fórmulas de agrupación
③Fórmula original = (x2 1) 2-(x a) 2...④Amplíe la fórmula original multiplicativamente, fusione y repita el desglose.
⑤ Sustituye A =-B en la fórmula original = 0, entonces habrá un factor A B.
7. El producto se puede descomponer en dos números enteros positivos distintos de 1.
8. Proponga que la suma, la diferencia y el múltiplo de g (x) y p (x) todavía tienen factores de f (x).
El coeficiente de comparación de 3g(x)-p(x)=14(x2-2x-5) y f(x)..., f(1)=4.