En un mismo círculo, los ángulos correspondientes a un mismo arco son iguales, es decir, ángulo C = ángulo D, entonces c/sinC=c/sinD, ABD es un triángulo rectángulo, sinD=c/ 2R, entonces c /sinC=c/sinD=2R, de manera similar se puede demostrar que a/sinA=b/sinB=2R.
Del teorema del seno (limitado a los tres primeros términos), obtenemos
ab/sino=r/sin∠bao
Y ∵sino=sin (2c)= 2sinccosc (fórmula de doble ángulo)
sin∠bao=cosc (fórmula inducida)
∴ab/(2sinccosc)=r/cosc (sustitución)
Si cosc≠0,
Entonces ab/(2sinc)=r
ab/sinc=2r
Si cosc=0, entonces c= π/2
En resumen, independientemente de si cosc es 0, ab/sinc=2r
Finalmente se obtiene el teorema del seno completo: a/sina=b/sinb =c/sinc=2r (r es el radio del círculo circunscrito)
Significado del teorema:
El teorema del seno señala una relación entre los tres lados de cualquier triángulo y el seno valores de los ángulos correspondientes. Se puede ver por la monotonicidad de la función seno en el intervalo que el teorema del seno describe muy bien una relación cuantitativa entre los lados y ángulos de cualquier triángulo.
Generalmente, los tres ángulos A, B y C de un triángulo y sus lados opuestos a, b y c se llaman elementos del triángulo. El proceso de encontrar los otros elementos de un triángulo dado se llama resolver el triángulo. El teorema del seno es una herramienta importante para resolver triángulos.
Al resolver triángulos, existen las siguientes áreas de aplicación:
Si se conocen los dos ángulos y un lado del triángulo, resuelve el triángulo.
Teniendo en cuenta los dos lados del triángulo y el ángulo subtendido por uno de los lados, resuelve el triángulo.
Utiliza a: b: c = sinA: sinB: sinC para resolver la relación de conversión entre ángulos.