Un resumen de los puntos de conocimiento de los teoremas matemáticos de la escuela secundaria en la Edición de la Universidad Normal de Beijing [Octavo grado (Volumen 1)]
Capítulo 1 Teorema de Pitágoras
※Los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo La suma es igual al cuadrado de la hipotenusa. Es decir:
(La relación entre los lados se obtiene del triángulo rectángulo), lt como se muestra en la Figura 1gt
Si las longitudes de los tres lados a, byc; del triángulo satisfacen, entonces este Un triángulo es un triángulo rectángulo.
Tres números enteros positivos que cumplen la condición se llaman números pitagóricos. Las matrices pitagóricas comunes son: (3, 4, 5); (6, 8, 10); (5, 12, 13); 29); (9, 40, 41);... (los múltiplos de estos grupos pitagóricos siguen siendo pitagóricos)
Capítulo 2 Números reales
※Raíz cuadrada aritmética: Generalmente, si el cuadrado de un número positivo x es igual a a, es decir, x2=a, entonces el número positivo x se llama raíz cuadrada aritmética de a, denotada como. La raíz cuadrada aritmética de 0 es 0 según la definición, a tiene una raíz cuadrada aritmética sólo cuando a≥0.
※ Raíz cuadrada: Generalmente, si la raíz cuadrada de un número x es igual a a, es decir, x2=a, entonces el número x se llama raíz cuadrada de a.
※Los números positivos tienen dos raíces cuadradas (una positiva y otra negativa); 0 tiene solo una raíz cuadrada, que es en sí misma los números negativos no tienen raíces cuadradas.
※La raíz cúbica de un número positivo es un número positivo; la raíz cúbica de 0 es 0; la raíz cúbica de un número negativo es un número negativo.
Capítulo 3 Traslación y rotación de gráficos
Traducción: Mover un gráfico una cierta distancia en una determinada dirección en un plano se llama traslación.
Las propiedades básicas de la traslación: después de la traslación, los segmentos de línea correspondientes y los ángulos correspondientes son iguales respectivamente; los segmentos de línea conectados a los puntos correspondientes son paralelos e iguales.
Rotación: En un plano, girar una figura un ángulo alrededor de un punto fijo en una dirección determinada se llama rotación.
Este punto fijo se llama centro de rotación, y el ángulo de rotación se llama ángulo de rotación.
Propiedades de rotación: el tamaño y la forma de la figura girada son los mismos que los de la figura original;
La distancia desde los puntos correspondientes de las dos figuras antes y después de la rotación a el centro de rotación es igual;
Los ángulos formados por las líneas que conectan los puntos correspondientes al centro de rotación son iguales entre sí.
(Ejemplo: como se muestra en la Figura 2, los puntos D, E y F son puntos correspondientes a los puntos A, B y C respectivamente. Después de la rotación, cada punto en el gráfico gira en la misma dirección alrededor el centro de rotación. El ángulo formado por la línea que conecta cualquier par de puntos correspondientes y el centro de rotación es el ángulo de rotación, y la distancia entre los puntos correspondientes y el centro de rotación es igual)
Capítulo 4 Explorando las propiedades de los cuadriláteros.
※Definición de paralelogramo: Un cuadrilátero con dos lados opuestos que son paralelos se llama paralelogramo. El segmento de línea que conecta dos vértices no adyacentes de un paralelogramo se llama diagonal.
※Propiedades de un paralelogramo: Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales, los ángulos opuestos son iguales y las diagonales se bisecan entre sí.
※Cómo identificar paralelogramos: Un cuadrilátero con dos conjuntos de lados opuestos paralelos es un paralelogramo.
Un cuadrilátero con dos lados iguales es un paralelogramo.
El conjunto de cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos e iguales es un paralelogramo.
Un cuadrilátero con dos diagonales que se bisecan es un paralelogramo.
※Distancia entre rectas paralelas: Si dos rectas son paralelas entre sí, entonces la distancia entre dos puntos cualesquiera de una recta y de la otra recta es igual. Esta distancia se llama distancia entre líneas paralelas.
Definición de rombo: Un conjunto de paralelogramos con lados adyacentes iguales se llama rombo.
※Propiedades de un rombo: Tiene las propiedades de un paralelogramo, y sus cuatro lados son iguales. Dos diagonales se bisecan entre sí perpendicularmente, y cada diagonal bisecta un conjunto de ángulos opuestos.
El rombo es una figura axialmente simétrica, y la recta donde se sitúa cada diagonal es el eje de simetría.
※Cómo identificar un rombo: Un conjunto de paralelogramos con lados adyacentes iguales es un rombo.
Un paralelogramo con diagonales perpendiculares es un rombo.
Un cuadrilátero con cuatro lados iguales es un rombo.
※Definición de rectángulo: Un paralelogramo con un ángulo recto se llama rectángulo. Un rectángulo es un tipo especial de paralelogramo.
※Propiedades de un rectángulo: Tiene las propiedades de un paralelogramo, y las diagonales son iguales y las cuatro esquinas son ángulos rectos. (Un rectángulo es una figura axialmente simétrica con dos ejes de simetría)
※Juicio de un rectángulo: un paralelogramo cuyos ángulos interiores son rectos se llama rectángulo (según la definición).
Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo.
Un cuadrilátero con cuatro ángulos iguales es un rectángulo.
※Corolario: La línea media de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa.
Definición de cuadrado: Un conjunto de rectángulos con lados adyacentes iguales se llama cuadrado.
※Propiedades del cuadrado: El cuadrado tiene todas las propiedades del paralelogramo, rectángulo y rombo. (Un cuadrado es una figura axialmente simétrica con dos ejes de simetría)
※Juicios de cuadrados de uso común:
Un rombo con un ángulo recto en su interior es un cuadrado;
Un rectángulo con lados adyacentes iguales es un cuadrado;
Un rombo con diagonales iguales es un cuadrado;
Un rectángulo con diagonales perpendiculares es un cuadrado.
La relación entre cuadrados, rectángulos, rombos y polígonos paralelos (como se muestra en la Figura 3):
※Definición de trapezoide: un conjunto de lados opuestos es paralelo y el otro es un cuadrilátero cuyo Los lados opuestos no son paralelos se llama trapezoide.
※Un trapezoide con dos lados iguales se llama trapezoide isósceles.
※Un trapezoide con cintura y base verticales se llama trapezoide en ángulo recto.
※Propiedades de un trapezoide isósceles: Los dos ángulos interiores de una misma base de un trapezoide isósceles son iguales, y las diagonales son iguales.
Dos trapecios con ángulos interiores iguales sobre la misma base son trapecios isósceles.
※La suma de los ángulos interiores de un polígono: la suma de los ángulos interiores de un n-gón es igual a (n-2)?180°
※La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360°
※En un plano, una figura gira 180° alrededor de un punto determinado. Si las figuras antes y después de la rotación coinciden, entonces la. figura se llama figura centrosimétrica.
※El segmento de línea conectado por cada par de puntos correspondientes en la figura centralmente simétrica es bisecado por el centro de simetría.
Capítulo 5 Determinación de la posición
※Concepto de sistema de coordenadas rectangular plano: en el plano, dos ejes numéricos mutuamente perpendiculares con orígenes comunes forman un sistema de coordenadas rectangular plano. El eje numérico horizontal. se llama eje x o eje horizontal; el eje numérico vertical se llama eje y o eje vertical. El punto de intersección O de los dos ejes numéricos se llama origen.
※Coordenadas del punto: hay un punto P en el plano, y se dibujan líneas verticales a través de P hasta el eje x y el eje y, respectivamente. Los números correspondientes a y b en el eje x. El eje y el eje y se llaman punto P respectivamente. La abscisa y la ordenada del punto, luego el par ordenado de números reales (a, b) se llama coordenada del punto P.
※Cómo encontrar este punto según las coordenadas del punto en el sistema de coordenadas cartesiano (como se muestra en la Figura 4), el método consiste en usar P (a, b) para encontrar la coordenada a en el eje x Punto A, dibuje una perpendicular al eje x a través de A, luego encuentre el punto B con la coordenada b en el eje y, dibuje una perpendicular al eje y a través de B, y la intersección de las dos perpendiculares es el punto P que buscas.
※¿Cómo establecer un sistema de coordenadas rectangular apropiado basado en condiciones conocidas?
El requisito para establecer un sistema de coordenadas basado en condiciones conocidas es hacer que los cálculos sean lo más convenientes posible. Generalmente, no existe un método claro, pero existen varios métodos comúnmente utilizados: ① Tome un punto conocido como punto. origen y hacer que sus coordenadas sean (0, 0). ② Tome la línea recta donde se encuentra un determinado segmento de línea en el gráfico como el eje x (o el eje y); ③ Tome el punto medio del segmento de línea conocido como el eje x; origen; ④ Tome la intersección de las dos líneas rectas como origen ⑤ Utilice la simetría axial del gráfico para El eje de simetría es el eje y, etc.
※Las reglas cambiantes de la "expansión vertical y horizontal" de los gráficos:
A Mantenga sin cambios la ordenada de las coordenadas de cada punto en el gráfico, y la abscisa se convierte en n veces. el valor original. Cuando , la figura resultante es lateralmente más grande que la figura original: ① Cuando ngt; 1, el alargamiento es n veces el original; ② Cuando nlt es 1;
B. Cuando la abscisa de las coordenadas de cada punto en el gráfico permanece sin cambios y la ordenada se vuelve n veces la original, el gráfico resultante es verticalmente más grande que el gráfico original: ① Cuando ngt 1, el el alargamiento es n veces el original; ② Cuando 0lt; nlt 1, la compresión es n veces el original.
※Las reglas de cambio de la "posición vertical y horizontal" del gráfico:
A Mantenga sin cambios las ordenadas de las coordenadas de cada punto en el gráfico y agregue a. la abscisa de las coordenadas, y el resultado es La forma y el tamaño de la figura permanecen sin cambios, pero la posición se traslada |a| unidades hacia la derecha (agt; 0) o hacia la izquierda (alt; 0).
B. Mantenga la abscisa de las coordenadas de cada punto en el gráfico sin cambios y agregue b a la ordenada respectivamente. La forma y el tamaño del gráfico resultante permanecen sin cambios, pero la posición es hacia arriba (bgt; 0) o hacia abajo (blt; 0) unidades traducidas |b|.
※Las reglas cambiantes de "inversión y simetría" de las gráficas:
A. Mantenga sin cambios las coordenadas de abscisas de cada punto de la gráfica, multiplique las ordenadas por -1 respectivamente y la gráfica resultante será la misma que La gráfica original es simétrica con respecto al eje x.
B. Mantenga las ordenadas de cada punto de la gráfica sin cambios y multiplique las abscisas por -1. La gráfica resultante será simétrica a la gráfica original con respecto al eje y.
※Las reglas cambiantes de "expansión y reducción" de gráficos:
Cambie las coordenadas verticales y horizontales de cada punto en el gráfico n veces (ngt; 0), respectivamente, y el gráfico resultante En comparación con el gráfico original, la forma permanece sin cambios; ① Cuando ngt 1, el tamaño del segmento de línea correspondiente se expande a n veces el tamaño del original; El segmento de línea se reduce a n veces el original.
Capítulo 6 Función lineal
Si la relación entre dos variables x e y se puede expresar en la forma y=kx b(k≠0), entonces se dice que y es x Una función lineal de (x es la variable independiente, y es la variable dependiente). En particular, cuando b=0, se dice que y es una función proporcional de x.
※La gráfica de la función proporcional y=kx es una recta que pasa por el origen (0, 0).
※En la función lineal y=kx b: cuando kgt; 0, y aumenta con el aumento de x; cuando klt 0, y disminuye con el aumento de x.
Capítulo 7 Sistema de ecuaciones lineales de dos variables
※Una ecuación que contiene dos incógnitas y los términos de las incógnitas son todos de grado 1 se llama ecuación lineal de dos variables. Un conjunto de ecuaciones compuesto por dos ecuaciones lineales se denomina sistema de ecuaciones lineales en dos variables.
※Solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables: ① Método de sustitución y eliminación; ② Método de suma y resta (ya sea el método de sustitución de eliminación o el método de suma, resta y eliminación, el propósito es convertir las "ecuaciones lineales en dos variables" "Ecuación" se convierte en "una ecuación lineal de una variable", llamada "eliminación")
※Cuando se usan ecuaciones para resolver problemas escritos, es principalmente dividido en dos pasos: ①Asuma el número desconocido (al establecer el número desconocido, en la mayoría de los casos, simplemente suponga que el problema es x o y; pero a veces también es necesario considerar muchos aspectos, como las condiciones conocidas y las relaciones de equivalencia ②); Busque relaciones de equivalencia (generalmente, la pregunta contendrá una oración que exprese una relación de equivalencia, simplemente busque esta oración y podrá formular la ecuación de acuerdo con ella).
※El proceso de manejo del problema se puede resumir como:
Capítulo 8 Representación de datos
※Promedio ponderado: el peso de un conjunto de datos se suma a , se llama promedio ponderado de estos n números. (Por ejemplo: en el examen de las materias de matemáticas, chino y ciencias de un determinado estudiante, las puntuaciones fueron 72, 50 y 88 respectivamente, y los "pesos" de las tres puntuaciones fueron 4, 3 y 1 respectivamente, entonces el el promedio ponderado es: )
※Generalmente, n datos se organizan en orden de tamaño y los datos del medio (o el promedio de los dos datos del medio) se denominan mediana de este conjunto de datos.
※Los datos que aparecen con mayor frecuencia en un conjunto de datos se denominan moda de este conjunto de datos.
※El modo se centra en el examen del número de apariciones de cada dato. La mediana primero debe ordenar los datos en orden de tamaño, y cabe señalar que cuando el número de datos es impar. , los datos del medio son la mediana; cuando el número de datos es un número par, el promedio de los dos datos del medio es la mediana. Es particularmente importante tener en cuenta que la media y la mediana de un conjunto de datos son únicas. el modo no es necesariamente único de.