Ejemplo 1. (Changchun, 2006) Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, las imágenes de las dos funciones y = x se cruzan en el punto a. El punto en movimiento P comienza desde el punto O y se mueve a lo largo de la dirección OA a una velocidad de. 1 unidad por segundo. Supongamos que el eje PQ//x intersecta la línea recta BC en el punto Q y forma un cuadrado PQMN con PQ como un lado hacia abajo. Sea s el área que se superpone con δOAB
(1) Encuentre las coordenadas del punto A.
(2) Intente encontrar la relación entre S y el movimiento cuando el punto P se mueve segmento de línea OA La relación entre el tiempo t (segundos).
(3) Bajo la condición de (2), ¿tiene S un valor máximo? En caso afirmativo, al averiguar cuál es el valor de t, S tiene el valor máximo y, en caso contrario, explique por qué;
(4) Si el punto P continúa moviéndose en la dirección y velocidad originales después de pasar el punto A, cuando el área de superposición del cuadrado de PQMN y δOAB es mayor, el tiempo de movimiento t satisface _ _ _ _ _ _ _ _ condición.
Solución: (1) de, disponible
∴A(4,4).
(2) El punto p está en y=x, OP=t,
La coordenada del punto p es ().
La ordenada del punto q es, el punto q está arriba.
∴ .
Las coordenadas del punto q son ()
PQ.
Cuando...
Cuando,
Cuando el punto p llega al punto a,
Cuando,
(3) tiene un valor máximo y el valor máximo debe estar en el medio.
En ese momento, el valor máximo de s era 12.
(4)
Segundo movimiento de dos puntos
Ejemplo 2. (Guang'an, 2006) Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular xOy, la longitud del lado del cuadrado OABC es 2 cm, el punto A y el punto C están en el semieje negativo del eje Y y el semieje positivo del eje X respectivamente, y la parábola pasa por el punto A y el punto B, y.
(1) Encuentra la fórmula analítica de la parábola.
(2) Si el punto P comienza desde el punto A y se mueve a lo largo del lado AB a una velocidad de 2 cm/s hasta el punto B, el punto Q comienza desde el punto B y se mueve a lo largo del lado BC a una velocidad de 1 cm/s. punto c.
(1) En T segundos después de que comienza el movimiento, establezca e intente escribir la relación funcional entre S y T, y escriba el rango de valores de T
② Cuando S toma; el valor mínimo, ¿hay un punto R en la parábola tal que el cuadrilátero con P, B, Q y R como vértices sea un paralelogramo? Si existe, encuentre las coordenadas del punto r. Si no existe, explique el motivo.
Solución: (1) Según el significado de la pregunta:
A(0,-2), B(2,-2)
A el punto está en la parábola, ∴
De AB=2, sabemos que el eje de simetría de la parábola es x=1.
Es decir:
La fórmula analítica de ∴parábola es:
(2)①De la imagen:
Es decir p>
(2) Supongamos que hay un punto R, que puede formar un paralelogramo con P, B, R, Q como vértices.
∵
∴
∴. En este momento, BQ=0,8, P(1,6,-2), Q(2,-1,2).
Discusión situacional:
a) Supongamos que r está en el lado derecho de BQ, entonces:
La abscisa de R es 2,4 y la ordenada es -1,2 .
Es decir (2.4, -1.2)
Sustitución, izquierda y derecha son iguales
En este momento, ∴ tiene R (2.4, -1.2) para satisfacer el problema.
b) Supongamos que r está a la izquierda de BQ, entonces:
La abscisa de R es 1,6 y la ordenada es -1,2.
Es decir, (1.6, -1.2)
Sustituye, la izquierda y la derecha no son iguales y r no está en la parábola.
c) Suponiendo que r es menor que PB, entonces:
Sustituye R (1.6, -2.4), la izquierda y la derecha no son iguales y R no está en la parábola. .
Para resumir, hay un poco de R (2.4, -1.2).
Tercero, movimiento lineal
Ejemplo 3.
(Jinzhou, 2006) Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, el cuadrilátero OABC es un rombo, las coordenadas del punto C son (4, 0), ∠ AOC = 60, la recta L perpendicular a la X El eje comienza desde el eje Y y se mueve a lo largo de la dirección positiva del eje X a una velocidad de 1 unidad de longitud por segundo. Supongamos que ambos lados de la recta L se cruzan con el rombo OABC en el punto M.
(1) Encuentre las coordenadas del punto A y el punto B
(2) Suponga que el área de δOMN es s y el tiempo de movimiento de la línea recta L es t segundos. (), intente encontrar s y la expresión funcional de t;
(3) En las condiciones de la pregunta (2), ¿por qué el área de S es mayor cuando T es el valor? ¿Cuál es el área máxima?
Solución: (1) ∵ El cuadrilátero OBABC es un rombo, y las coordenadas del punto C son (4, 0).
∴OA=AB=BC=CO=4.
Pasando por el punto a como AD⊥OC en d
∫∠AOC = 60,
∴OD=2, 2000.
∴A(2,),B(6,).
(2) La línea L comienza desde el eje Y, se mueve en la dirección positiva del eje X, intersecta ambos lados del rombo OABC, y se divide en tres partes Situación:
① La línea recta L cruza ambos lados de OA y OC (como se muestra en la Figura ①).
∵MN⊥OC,∴ON=t.
∴.
.
②Cuando, la recta L corta ambos lados de AB y OC (Figura ②).
.
③Cuando la recta L corta ambos lados de AB y BC (Figura ③).
Supongamos que la recta l y el eje x se cortan en el punto h.
∵
,
∴
.
∴
,
(3) De (2), se puede ver que cuando,;
Cuando,;
En ese momento, la fórmula debe ser,
Cuando t=3, la función.
Pero excluyendo t=3,
El valor máximo de la función ∴ no lo es.
Y cuando t & gt3, la función disminuye a medida que t aumenta,
Cuando.
En resumen, cuando t=4 segundos,
Cuarto movimiento triangular
Ejemplo 4. (Qingdao, 2006) Como se muestra en la Figura ①, hay dos triángulos rectángulos ABC y EFG con la misma forma (el punto A coincide con el punto E). Se sabe que AC=8cm, BC=6cm, ∠C = 90°, EG=4cm, ∠EGF = 90° y O es el punto medio de la hipotenusa de δEFG.
Como se muestra en la Figura ②, si todo el δEFG comienza desde la posición en la Figura ① y se mueve en la dirección del rayo AB a una velocidad de 1 cm/s mientras δEFG se mueve, entonces el punto P comienza desde la El vértice G de δEFG se mueve al punto F en el lado rectángulo GF a una velocidad de 1 cm/s. Cuando el punto P llega al punto F, el punto P deja de moverse y δEFG también deja de moverse. Supongamos que el tiempo de movimiento es x (s), la línea de extensión de FG cruza a AC y H, y el área del cuadrilátero OAHP es y (cm2) (independientemente de la coincidencia del punto P con G y F).
(1)x, ¿cuál es el valor de OP//AC?
(2) Encuentre la relación funcional entre Y y X y determine el rango de valores de la variable independiente. ¿Son las 13:24? Si existe, encuentre el valor de x; si no existe, explique por qué.
(Datos de referencia:
)
Solución: (1) ∵ rt δ EFG ∽ rt δ ABC
∴ .
∴.
∵Cuando p es el punto medio de FG, OP//EG, EG//AC,
∴OP//AC.
∴.
x es ∴ a 1,5 s, OP//AC.
(2) En RT δ EFG, se puede saber por el teorema de Pitágoras que EF=5cm.
∵EG//Ah,
∴δefg∽δafh.
∴.
∴.
∴ .
O es OD⊥FP, el pie vertical es d
El punto o es el punto medio de EF,
∴.
∵ ,
∴
(3) Suponiendo que existe un cierto momento X, entonces la relación entre el área del cuadrilátero OAHP y el área de ABC son las 13:24.
Reglas
∫0 & lt;
Movimiento rectangular del verbo (abreviatura de verbo)
Ejemplo 5. (Nan'an, 2006) Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas cartesiano, el lado AD del rectángulo ABCD está en el eje X, el punto A está en el origen, AB=3, AD=5. Si el rectángulo se mueve a lo largo de la dirección positiva del eje X a una velocidad constante de 2 unidades de longitud por segundo. Al mismo tiempo, el punto P comienza desde el punto A y se mueve a velocidad constante a lo largo de la ruta A-B-C-D con una longitud de 1 unidad por segundo. Cuando el punto P se mueve al punto D, deja de moverse y el rectángulo ABCD también deja de moverse.
(1) Encuentre el tiempo necesario para que el punto P se mueva del punto A al punto D.
(2) Sea el tiempo de movimiento del punto P t (segundos);
(1) Cuando t = 5, encuentre las coordenadas del punto p;
②Si el área de OAP es s, intente encontrar la relación funcional entre s y t ( y escriba el rango correspondiente de la variable independiente t).
Solución: (1) El tiempo necesario para que el punto P se mueva del punto A al punto D = (segundos)
(2) ① Cuando t=5, el punto P se mueve de punto A al punto A El punto se mueve al punto BC,
En este momento OA=10, AB+BP = 5,
∴BP=2
Pasando por el punto p como punto e PE⊥AD,
Entonces PE=AB=3, AE=BP=3.
∴
Las coordenadas del punto p son (12, 3).
②Hay tres situaciones:
(I) Cuando el punto P se mueve sobre AB,
En este momento OA=2t, AP = t.
(ii) Cuando el punto P se mueve sobre AB, OA=2t.
∴
(3) Cuando 8
En este momento OA=2t,
∴
A En resumen, la relación funcional entre s y t es: cuando,; cuando, s = 3t; cuando 8
6. (Nanchang, 2006) Se sabe que la parábola pasa por el punto A (0, 5) y el punto B (3, 2).
(1) Encuentre la fórmula analítica de la parábola;
(2) Hay un círculo en movimiento con un radio de 1 y el centro p del círculo se mueve en la parábola. . Pregunte si ⊙P es tangente al eje de coordenadas durante el movimiento de ⊙P. Si existe, solicite las coordenadas del centro p; si no existe, explique el motivo.
(3) Si el radio de ⊙Q es r, encuentre el punto Q cuando esté en el; parábola y ⊙Q es tangente a los dos ejes El valor del radio r.
Solución: (1) Del significado de la pregunta, se puede concluir.
Resolver
La fórmula analítica de la parábola es
(2) Cuando ⊙P se mueve, existe una situación en la que ⊙P es tangente a la coordenada eje. (Como se muestra en la Figura 1)
Figura 1
Establezca la coordenada del punto p en (,)
Entonces, cuando ⊙P es tangente a la y- eje, Allí
pasa
∴P1(-1,10),
por, por
∴P2(1,2 )
Cuando ⊙P es tangente al eje X, hay
La parábola ∵ se abre hacia arriba y su vértice está por encima del eje X.
∴y0=1
Confiar, confiar, confiar en, b (2, 1)
En resumen, existen tres centros p que cumplen con requisitos, Sus coordenadas son las siguientes:
P1 (-1, 10), P2 (1, 2), P3 (2, 1)
(3) Si las coordenadas de los puntos Q son (x, y), entonces cuando ⊙Q es tangente a ambos ejes de coordenadas (como se muestra en la Figura 2), se obtiene de y=x,
Es decir, la solución
Por, .
Es decir, esta ecuación no tiene solución.
El radio de ∴⊙O es