(1) Cuando △EFP se traslada hacia la izquierda a lo largo de la línea recta L hasta la posición que se muestra en la Figura 2, EP cruza a AC en el punto Q y conecta AP y BQ. Adivine y escriba la relación cuantitativa y la relación posicional entre BQ y AP. Por favor, demuestra tu suposición.
E
F
P
A
l
C p>
B
Q
Figura 3
E
A
Q
B
F
C
P
l
Figura 2
(2) Cuando δ△EFP se traslada hacia la izquierda a lo largo de la línea recta L hasta la posición en la Figura 3, la línea de extensión de EP cruza la línea de extensión de AC en el punto Q, conectando AP y BQ. ¿Cree que la relación cuantitativa y posicional entre BQ y AP predichas en (1) todavía se mantienen? En caso afirmativo, proporcione pruebas; en caso contrario, explique por qué.
A (inglés)
B
B (mujer)
P
l
Figura 1
Finalmente piensa en el segundo nivel del problema
2 Sabemos que dos triángulos tienen dos ángulos opuestos, uno de los cuales no necesariamente es congruente, entonces en. ¿En qué circunstancias será congruente?
(1) Leer y demostrar:
①Debido a que estos dos triángulos son rectángulos, es obvio que son congruentes (HL).
(2) Debido a que estos dos triángulos son triángulos de ángulos agudos, son congruentes, lo que se puede demostrar de la siguiente manera:
Se sabe que △ABC y △ son ángulos agudos triángulos, AB=, BC= , ∠C =∞, prueba:
△ABC≔△. (Complete el siguiente proceso de prueba)
Prueba: A través de los puntos b, b, b respectivamente, haga BD⊥CA en d,
in,. . . . . (Por favor continúe testificando)
③Si estos dos triángulos son triángulos obtusos, ¿se puede demostrar también que son congruentes? (Escriba un proceso de prueba completo como ②.)
(2) Narrativa inductiva: la conclusión correcta se puede extraer de (1). Por favor escribe esta conclusión.
Finalmente piensa en el tercer nivel del problema.
Como se muestra en la Figura A, en el medio hay un ángulo agudo y el punto es un punto en el rayo Connect. ,
Piensa en un lado como el cuadrado de la derecha.
Responda las siguientes preguntas:
Si,,
①Cuando el punto está en un segmento de línea (no coincidente con el punto), como se muestra en la Figura B , los segmentos de línea son ¿Cuál es la relación? Por favor explique por qué.
② Cuando el punto es una extensión del segmento de línea, como se muestra en la Figura C, ¿sigue siendo válida la conclusión en ①?
Tujia
A
B
D
F
E
E
p>
C
Imagen b
A
B
D
E
C
F
Tubería
A
B
D
C
E
Finalmente piensa en el cuarto nivel del problema
Figura 1
A
F
B
C
E
D
(1) Coloque dos piezas como se muestra en la Figura 1. Una placa triangular rectángulo con un ángulo de 45°, el punto D está en BC y la línea extendida que conecta BE, AD y la intersección de AD está en punto f.
Descripción: af ⊥ be.
A
B
D
C
E
Figura 2
F
(2) Coloque dos placas triangulares rectángulos con un ángulo de 30° como se muestra en la Figura 2. El punto D está en BC y la línea de extensión que conecta BE, AD , y AD intersecta a BE en el punto f, pregunte si AF y BE son perpendiculares. Y explica por qué.
Pregunta de reflexión final nivel 5
Usa dos triángulos equiláteros congruentes △ABC y △ACD para formar un cuadrilátero ABCD y superpone un triángulo de 60 grados en este cuadrilátero. Haz los 60 grados. El vértice del ángulo de la regla del triángulo coincide con el punto A, y los dos lados coinciden con AB y AC respectivamente. Gire la regla del triángulo en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto A.
(1) Cuando los dos lados de la regla del triángulo Cuándo. los dos lados del cuadrilátero BC y CD se cruzan en los puntos E y F respectivamente (como se muestra en la Figura A), ¿qué conclusión se puede sacar al observar o medir las longitudes de BE y CF? Y explique la razón;
(2) Cuando los dos lados de la regla del triángulo se cruzan con las líneas de extensión de los dos lados BC y CD del cuadrilátero en los puntos E y F (como se muestra en la Figura B) , ¿Sigue siendo válida la conclusión obtenida en (1)? Explique brevemente por qué.
Preguntas de pensamiento final nivel 6
(1) Como se muestra en la Figura 11-1, en △ADE, AE=AD y ∠AED=∠ADE, ∠EAD = 90°, EC y DB se dividen igualmente en ∠AED y ∠DB.
(2) Mantenga la posición de △ ade sin cambios, gire △ ABC en sentido antihorario alrededor del punto A hasta la posición donde AD y BE se cruzan en o en la Figura 11-2. Juzgue la relación entre los segmentos de línea BE y. CD y explica por qué.
Figura 11-1
Figura 11-2
O
Pregunta de reflexión final nivel 7
1 . Se sabe que, como se muestra en la figura, BD y CE son ambas alturas de △ABC. Corta BF de BD para que BF = AC, toma un punto G de la extensión de CE para que CG = AB.
A
B
C
D
E
F p>
G
Intente discutir la relación entre AF y AG y explique las razones.
D
A
E
F
B
C p>
Figura (11)
2. Como se muestra en la Figura (11), en el lado equilátero, los puntos están en los lados y se cruzan con los puntos.
(1) Verificación:
(2) Encuentra la precisión.
Preguntas de pensamiento final nivel 8
1 Conocido: como se muestra en la figura, AB = CD, AD = BC, P es cualquier punto de AC y las líneas rectas que pasan por él. P son respectivamente E y F que se cruzan con las líneas de extensión de AD y CB.
(1)Disculpe: ∠E = ∠E=∠F? Explique sus razones;
(2) Qué condiciones se deben agregar para concluir que PE = PF, y explique sus razones.
A
B
C
D
E
F p>
P
2. Conocido: Como se muestra en la figura, el segmento de línea se conoce, los dos puntos finales del segmento de línea se consideran rayos, de modo que la bisectriz de // intersecta el punto, y el punto es el segmento de línea. El punto medio, el punto de intersección, se trata como una línea recta y un rayo, que intersecta el punto respectivamente.
(1) Descripción;
(2) Explica que la distancia del punto a la recta es igual.
Preguntas de reflexión finales Nivel 9
1 Como se muestra en la figura, se sabe que ∠AOB = 120 y OM bisecta ∠AOB. Coloque un vértice P del triángulo equilátero en el rayo OM, y los dos lados cortan a DA y OB en los puntos C y D respectivamente.
(1) Como se muestra en la Figura ①, si los lados PC y OA son perpendiculares, ¿son iguales los segmentos de línea PC y PD? ¿Por qué?
(2) Como se muestra en la Figura ②, gire un triángulo equilátero alrededor del punto P de modo que los dos lados se crucen con OA y OB en c′ y d′ respectivamente. ¿Son iguales los segmentos de recta PC′ y PD′? ¿Por qué?
,
2. Se sabe que △ABC y △DEF son las alturas a ambos lados de △ABC y △DEF respectivamente. Intente explorar la relación entre los dos y explique por qué.
Preguntas de pensamiento finales para el décimo nivel
(1) Observación y descubrimiento
Xiao Ming dobla la hoja de papel triangular a lo largo de la línea recta que pasa por el punto A , de modo que AC cae en el borde de AB, el pliegue es AD y el papel se desdobla (como se muestra en la Figura ①). Doble el papel triangular nuevamente para que el punto A y el punto D se superpongan y el pliegue sea EF; se obtiene aplanando el papel (como se muestra en la Figura 2). Xiao Ming cree que es un triángulo isósceles. ¿Estás de acuerdo? Por favor explique por qué.
A
C
D
B
Figura ①
A
C
D
B
Figura ②
F
E p>
(2) Práctica y Aplicación
Dobla la hoja de papel rectangular a lo largo de la línea recta que pasa por el punto B, de modo que el punto A caiga sobre el punto F en el lado BC, y el pliegue es BE (Figura ③); doblar a lo largo de la línea recta que pasa por el punto E, de modo que el punto D caiga sobre el punto en BE y el pliegue sea EG (Figura ④) aplanar el papel nuevamente (Figura ⑤); Encuentre las dimensiones en la Figura ⑤.
E
Daño directo
C
F
B
A
Figura ③
E
D
C
A
B p>
F
G
A
D
E
C
B
F
G
Imagen ④
Imagen ⑤
Preguntas de reflexión finales Nivel 11
Como se muestra en las Figuras 1, 2 y 3, los puntos E y D son puntos en la línea de extensión de un lado con el punto C como vértice y puntos en la línea de extensión inversa del otro lado. respectivamente en △ABC positivo, Cuadrilátero positivo ABCM y pentágono regular ABCMN (los polígonos con lados y ángulos iguales se llaman polígonos regulares), y be = CD, la línea de extensión de DB intersecta a AE en f
(1) Encuentre ∠AFB en el grado de la Figura 1;
(2) El grado de ∠AFB en la Figura 2 es _ _ _ _ _ _ _ _, y el grado de ∠AFB en la Figura 3 es _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;
(3) Con base en la exploración anterior, ¿se puede extender este problema al caso general de N polígonos regulares? En caso afirmativo, escriba las preguntas y conclusiones sobre la promoción; en caso contrario, explique por qué.
B
C
M
Normal
D
E
E
p>
F
三
A
A
B
C
D
E
1
F
B
M
A
F
2
E
D
C
Preguntas para Pensar Finalmente Nivel 12
Se sabe que ∠AOB=900, hay un punto C en la bisectriz OM de ∠AOB, el ángulo recto El vértice del triángulo coincide con C, y sus dos lados rectángulos están con OA y OB (o su extensión inversa) se cruza en los puntos D y E.
Cuando el triángulo gira alrededor del punto C hasta que CD es perpendicular a OA (como se muestra en la Figura 1), es fácil demostrar que CD=CE.
Cuando el triángulo gira alrededor del punto C hasta que CD no es perpendicular a OA, ¿se mantiene la conclusión anterior en ambos casos de la Figura 2 y la Figura 3? En caso afirmativo, proporcione pruebas; en caso contrario, escriba su suposición sin pruebas.
Pregunta de reflexión final, nivel 13
Como se muestra en la figura, △ABC y △ADC son triángulos equiláteros congruentes. Los puntos E y F parten de los puntos B y A respectivamente al mismo tiempo y se mueven hacia los puntos A y D en las direcciones BA y AD respectivamente. Se mueven a la misma velocidad y conectan EC y FC.
(1) ¿Cambia el tamaño de ∠ECF durante el movimiento de los puntos E y F? Explique el motivo;
(2) Durante el movimiento de los puntos E y F, ¿cambia el área del cuadrilátero que contiene los puntos A, E, C y F? Por favor explique por qué.
A
E
B
C
D
F p>
(3) Conecta EF, encuentra todos los ángulos en la figura que son iguales a ∠ACE y explica las razones.
(4) Si el punto E y el punto F continúan moviéndose en el rayo BA y el rayo AD, ¿sigue siendo válida la conclusión en (1)? (Escribe la conclusión directamente sin dar razones)
Pregunta de pensamiento final nivel 14
Definición: La distancia a un conjunto de lados opuestos de un cuadrilátero convexo es igual a la distancia al otro conjunto de lados opuestos. Los puntos se llaman puntos cuasi-interiores del cuadrilátero convexo. Como se muestra en la Figura 1, entonces este punto es el punto cuasi interior del cuadrilátero.
Figura 3
Figura 2
Figura 4
F
E
D
C
B
A
P
G
H
J
I
Figura 1
B
J
I p>
H
G
D
C
A
P
(1) Como se muestra en la Figura 2, las bisectrices de la suma se cruzan en un punto.
Demostración: Un punto es un punto cuasi interior de un cuadrilátero.
(2) Dibuje los puntos cuasi interiores del paralelogramo en la Figura 3 y el trapezoide en la Figura 4 respectivamente.
(No hay límite de herramientas de dibujo y no existe un método de escritura, pero debe haber las explicaciones necesarias).
(3) Determine si las siguientes conclusiones son correctas y ponga "√" si son correctos. Marque el incorrecto con una “×”.
①Todo cuadrilátero convexo debe tener un punto cuasi interior. ()
②Cualquier cuadrilátero convexo debe tener un solo punto cuasi interior. ()
③Si es un punto cuasi interior de cualquier cuadrilátero convexo, entonces o. ()
Preguntas de pensamiento final Nivel 15
(1) Como se muestra en la Figura 1, Figura 2 y Figura 3, en , trátelas como bordes respectivamente y trabaje hacia afuera. Forme un patrón regular. triángulo, cuadrilátero regular, pentágono regular y se cruzan en puntos.
Nota: Un polígono con lados iguales y ángulos iguales se llama polígono regular.
①Como se muestra en la Figura 1, verificación:
②Consulta: como se muestra en la Figura 1; como se muestra en la Figura 2;
(2) Como se muestra en la Figura 4, se sabe que un grupo de lados adyacentes forman un polígono regular. Es un conjunto de lados adyacentes de un polígono regular que miran hacia afuera. La extensión del borde cruza el punto.
①Conjetura: como se muestra en la Figura 4, (expresada con una expresión inclusiva);
Demuestre su conjetura con base en la Figura 4.