El teorema del seno significa: en cualquier triángulo plano, la relación entre el valor del seno de cada lado y el ángulo que opone es igual e igual al diámetro del círculo circunscrito, es decir, a/sinA = b/sinB =c /sinC= 2r=D, donde r es el radio del círculo circunscrito y D es el diámetro.
El teorema del coseno significa: para cualquier triángulo, el cuadrado de cualquier lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los dos lados por el coseno de su ángulo, es decir es: cos A=(b+ c-a)/2bc.
Introducción relacionada:
Históricamente, ha habido muchos métodos de derivación geométrica del teorema del seno. Según las características de sus ideas, se puede dividir principalmente en dos tipos.
El primer método puede denominarse "método del mismo diámetro", que fue utilizado por primera vez por el matemático y astrónomo árabe Nasir al-Din en el siglo XIII y el matemático alemán Regmontanus en el siglo XV. El "método del mismo diámetro" consiste en considerar el seno de los dos ángulos internos de un triángulo como la línea seno en un círculo con el mismo radio (antes del siglo XVI, las funciones trigonométricas se consideraban segmentos de línea en lugar de razones) y utilizar las propiedades de triángulos semejantes para obtener que la razón de los dos es igual a La razón de los lados opuestos de un ángulo.
Nasir al-Din extiende los lados opuestos de dos ángulos interiores al mismo tiempo, construyendo un círculo con un radio mayor que ambos lados. Regmontanus simplificó el método de Nasir al-Din extendiendo sólo el lado más corto de los dos y construyendo un círculo con un radio igual al lado más largo. En los siglos XVII y XVIII, el matemático y astrónomo chino Mei Wending y el matemático británico Simpson simplificaron cada uno de forma independiente el "método del mismo diámetro".
A principios del siglo XVIII, el "método del mismo diámetro" evolucionó hasta convertirse en el "método del triángulo rectángulo". Este método no necesita seleccionar ni hacer el radio del círculo, solo necesita hacerlo. la línea de altitud del triángulo, usando la relación de los ángulos de los lados del triángulo rectángulo, podemos obtener el teorema del seno. En el siglo XIX, el matemático británico Woodhouse comenzó a tomar R = 1 de manera uniforme, lo que equivale a usar proporciones para expresar funciones trigonométricas, lo que dio como resultado el "método de la altura" que se usa comúnmente en la actualidad.
El segundo método es el "método del círculo circunscrito", que fue utilizado por primera vez por el matemático francés Veda en el siglo XVI. Veda no discutió el caso de los triángulos obtusos, y los matemáticos posteriores lo complementaron.