Entre los tres elementos de una función, cómo encontrar el rango de valores de una función es un dolor de cabeza para los estudiantes. Implica una amplia gama de conocimientos y métodos flexibles. A menudo aparece en el examen de ingreso a la universidad. Ocupa una cierta cantidad de tiempo, si el método se usa adecuadamente, puede simplificar el proceso de cálculo, evitar la complejidad y obtener el doble de resultado con la mitad del esfuerzo. Este artículo resume los métodos para encontrar el dominio del valor de la función de la siguiente manera. /p>
1. Método de observación directa
Para algunas funciones relativamente simples, el rango de valores se puede obtener mediante observación.
Ejemplo 1 Encuentre el rango de valores de la función y =3-.
Solución: 0 - 0 3 - 3
Entonces el rango de valores de la función es:
2. >
El método de comparación es uno de los métodos más básicos para encontrar el rango de valores de una función cuadrática.
Ejemplo 2, encuentre el rango de valores de la función y=-2x 5,x.
Solución: Formule la función para obtener: y=(x-1) 4,x, de dos Las propiedades de la función secundaria se pueden conocer:
Cuando x=1, y =4
Cuando x=-1, y=8
Entonces el rango de valores de la función es:
3, método discriminante
Ejemplo 3 Encuentre el rango de valores de la función y=.
Solución: La función original se transforma en la cuadrática de una variable alrededor de x Ecuación (y-1)-x (y-1)= 0
(1) Cuando y≠1, xR, △=(-1)-4(y-1)(y-1 ) 0
La solución es: y
(2) Cuando y=1, x=0 y en 1, no se puede garantizar que la ecuación (1) tenga raíces reales. El rango calculado de △0 puede ser mayor que el rango real de y. por lo que el rango de valores de esta función no se puede determinar, es decir, cuando =, el rango de valores de la función original es: [0, 1].
Nota: al juzgar el rango de valores de una función por el método discriminante, si el dominio de la función original no es un conjunto de números reales, se debe sintetizar el dominio de la función y eliminar la parte expandida.
4. > p>
Cuando es difícil encontrar directamente el rango de valores de una función, puedes determinar el rango de valores de la función original encontrando el dominio de la función original.
Ejemplo 5 Encuentra el rango de valores de la función y=.
Solución: De la fórmula funcional original: x=
Entonces su función inversa es: y=
El dominio de definición es: x≠
Entonces el rango de valores de la función que se busca es: (-∞,)
5, método de acotación de la función
Cuando es difícil para encontrar directamente el rango de valores de la función, puede usar lo que ha aprendido. Para la acotación de una función, el rango de valores de la función se puede determinar utilizando el invitado como anfitrión.
Ejemplo 6 : Encuentre el rango de valores de la función y=.
Solución: De la fórmula funcional original: =
gt; 0, gt 0
Solución: -1 7. Método de sustitución
Una función se convierte en una función simple mediante sustitución simple. La característica del tipo de pregunta es que la expresión analítica de la función contiene una fórmula radical o un modelo de fórmula de función trigonométrica. El método de sustitución es uno de los métodos más importantes en matemáticas y también desempeña un papel en encontrar el rango de valores de una función.
Ejemplo 9 Encuentra el rango de valores de la función y=x.
Ejemplo 9 Encuentra el rango de valores de la función y=x.
Solución: Sea x-1=t, (t0) entonces x= 1
∵y= t 1= , y t0, por Las propiedades de la función cuadrática se pueden conocer
Cuando t=0, y=1, cuando t→0, y→∞.
Entonces el rango de valores de la función es [1, ∞ )
8 Método de combinación de números y formas
El tipo de pregunta es una expresión analítica de función con un significado geométrico obvio, como la fórmula de la distancia entre dos puntos, la pendiente de una línea recta, etc. Si este tipo de pregunta es Usar el método de combinar números y formas suele ser más simple, claro y agradable a la vista.
Ejemplo 10 Encuentra el rango de valores de la función y=.
Solución: El original La función se puede simplificar a: y= ∣x-2∣ ∣x 8∣
La fórmula anterior se puede considerar como la suma de las distancias desde el punto P(x) en el eje numérico hasta los puntos fijos A. (2) y B(-8).
Se puede ver en la figura anterior: cuando el punto P está en el segmento AB,
y=∣x-2∣ ∣ x 8∣=∣AB∣=10
Cuando el punto P es la extensión o extensión inversa del segmento AB
En la línea larga,
y=∣x-2∣ ∣x 8∣gt;∣AB∣=10
Entonces el rango de valores de la función buscada es: [10, ∞]
Ejemplo 11 Encuentre el rango de valores de la función y=
Solución: La función original se puede transformar en: y=
La fórmula anterior se puede considerado como un punto en el eje x La suma de las distancias desde P (x, 0) a dos puntos fijos A (3, 2) y B (-2, -1),
Puede En la figura se puede ver que cuando el punto P es la intersección del segmento de línea y el eje x, y=|AB|==,
Entonces el rango de valores de la función es [, ∞].
Ejemplo 12: Encuentre el rango de valores de la función y=-
Solución: Transforme la función en: y=-
Se puede considerar la fórmula anterior como la distancia entre el punto fijo A (3, 2) y el punto P (x, 0) y el punto fijo B (-2, 1) al punto P(x, 0) Es decir: y=∣AP∣-∣BP). ∣
Se puede ver en la figura: (1) Cuando el punto P está en el eje x y no es una línea recta AB Cuando se cruza con el eje x, como el punto P, forma △ABP Según la diferencia entre los dos lados del triángulo es menor que el tercer lado,
hay ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣lt;∣AB∣==
Es decir: - (2) Cuando el punto P es exactamente la intersección de la recta AB y el eje x, existe ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= .
En resumen, se puede ver que el rango de valores de la función es: (-, - Nota: Del Ejemplo 11 y Ejemplo 12, se puede ver que al encontrar la suma de dos distancias, se utiliza la fórmula funcional). debe transformarse para que los dos puntos A y B estén en el eje x. Al encontrar la diferencia entre las dos distancias, los dos puntos A y B deben estar en el mismo lado del eje x.
Por ejemplo: las coordenadas de los dos puntos A y B en el Ejemplo 17 son: (3 , 2), (-2, -1), en el mismo lado del eje x;
Las Las coordenadas de los dos puntos A y B en el ejemplo 18 son: (3, 2), (2, -1), en el mismo lado del eje x.
En resumen, cuando se busca específicamente el rango de valores de una función, primero debe observar cuidadosamente las características del tipo de pregunta y luego elegir el método apropiado. Generalmente, se da prioridad directa al método, el método de monotonicidad de la función y luego considerar el uso de varios otros métodos especiales.