1. El modelo de función es una función proporcional inversa
Ejemplo 1: La escuela contrató a 30 carpinteros para hacer 200 sillas y 100 escritorios. Se sabe que la proporción de horas de trabajo para hacer una mesa y una silla es de 10: 7. ¿Cómo se deben agrupar 30 carpinteros (un grupo para hacer la mesa, un grupo para hacer las sillas) para completar todas las tareas lo más rápido posible? ?
Análisis: para esta pregunta, debemos prestar atención al uso de perspectivas cambiantes para analizar y explorar las relaciones cuantitativas en problemas específicos, encontrar las conexiones internas entre cantidades conocidas y desconocidas, y luego combinar estas conexiones internas con conocimiento matemático Conéctelos, establezca relaciones funcionales o ecuaciones y resuélvalos desde la perspectiva de propiedades funcionales o ecuaciones, para que los problemas de aplicación puedan madurar y resolverse lo antes posible.
Solución: Sea x carpinteros que hagan mesas y (30-x) carpinteros que hagan sillas. Un carpintero puede hacer 7 mesas o 10 sillas en unidad de tiempo, entonces el tiempo necesario para hacer 100 mesas es una función, el tiempo necesario para hacer 200 sillas es una función y el tiempo necesario para completar todas las tareas es una función y( x )=máx{P(x).
El valor mínimo requerido de y(x) debe satisfacer P(x)=Q(x), es decir, x=12,5. Considerando que el número de personas es un número entero, examinemos P(12) y q (13), P(12)= 1
Q(13)= y(12)>y(13),
Así que utilizar 13 carpinteros para hacer escritorios y 17 carpinteros para hacer sillas es la forma más rápida de completar todas las tareas.
2. El modelo de función es un problema de función lineal
Ejemplo 2: una empresa de periódicos compra un periódico a un precio de 0,35 yuanes y vende un periódico a un precio de 0,50 yuanes. Se puede devolver un periódico no vendido por $0,80. En un mes (30 días), se pueden vender 400 copias cada día durante los siguientes 20 días, y sólo se pueden vender 250 copias cada día durante los 10 días restantes. Suponiendo que la cantidad de periódicos que se compran a la empresa de periódicos es la misma todos los días, ¿cuántas copias se deben vender a la empresa de periódicos todos los días para maximizar las ganancias mensuales? Además, ¿calcula cuánto puede ganar como máximo el punto de venta en un mes?
Análisis: esta pregunta trata principalmente de analizar las condiciones de la pregunta, establecer relaciones apropiadas, aplicar las propiedades de las funciones para resolver problemas y considerar las limitaciones y la importancia práctica del dominio de definición. El dinero que gana cada mes = el dinero que gana vendiendo periódicos - el dinero que le paga al editor del periódico. El dinero de la venta de periódicos se divide en tres partes. para que se puedan enumerar las funciones analíticas.
Solución: si compras X ejemplares del periódico todos los días, puedes obtener 250≦x≦400, y si ganas Y yuanes cada mes, puedes obtener y = 0,5x 20,5×250 ×1(x-250)×0.08×10-0.35×30
=0.3x+1050 x∈
Porque y =0.3x+1050 es el aumento en el dominio función, entonces cuando x = 400, y = 120 + 1050 = 1170 (yuanes).
Respuesta: Vendo 400 ejemplares del periódico cada día y obtengo la mayor ganancia cada mes. Puedes ganar 1.070 yuanes al mes.
3. El modelo de función es una función cuadrática.
Ejemplo 3: Se va a convertir acero con una longitud (m) en un marco de ventana como se muestra en la figura. La mitad superior es un semicírculo y la mitad inferior es un rectángulo compuesto por seis rectángulos congruentes. ¿Cuál es la relación de aspecto del pequeño rectángulo que permitirá que pase la mayor cantidad de luz a través de la ventana? Calcule el tamaño máximo del marco de la ventana.
Análisis: Utilizar conocimientos matemáticos para resolver problemas de aplicación es uno de los contenidos formativos para mejorar la calidad matemática, y también aparece en los libros de texto. Para el análisis de este problema, debemos prestar atención a observar las características estructurales del problema, revelar las conexiones internas y explorar las condiciones ocultas, para construir adecuadamente una función y aplicar las propiedades específicas de la función para resolver el problema. En este problema, el área se divide en dos partes, el área es la luz que pasa a través de la ventana, por lo que se puede formular la función de resolución para resolver aún más el problema.
Solución: Supongamos que la longitud de un rectángulo pequeño es x y el ancho es y, entonces podemos obtenerlo de la imagen:
11x+x+9y = ∴9y=- (11+ )x
Para permitir que la mayor cantidad de luz pase a través de la ventana, es decir, maximizar el área del marco de la ventana, entonces
S==+[ x-(11+)x2]
=-(x-+).
Entonces, cuando x=, y=
Es decir = 1: 1. En este momento, el área S del marco de la ventana tiene el valor máximo s =
Cuarto, modelo de función Es otro problema de función
Ejemplo 4: Hay dos productos A y B. Las ganancias de la venta de estos dos productos son P y Q (10.000 yuanes). Existe una fórmula empírica para su relación con el capital invertido Q (10.000 yuanes): vender estas dos mercancías e invertir 30.000 yuanes. ¿Cuánto capital se debe invertir en cada uno para maximizar las ganancias? ¿Cuál es el beneficio máximo?
Análisis: Primero, de acuerdo con el significado de la pregunta, establecer la relación funcional entre ganancia y capital, encontrar la función analítica y luego transformarla en un problema de encontrar el valor máximo de la función. La clave para resolver este problema es establecer la función objetivo y encontrar el valor máximo. El método de sustitución es un método común para encontrar el valor máximo de una función irracional. Durante el método de sustitución, se debe prestar atención a los cambios en el rango de la variable.
Solución: si inviertes 10.000 yuanes en el producto A y 10.000 yuanes en el producto B (3-x), la ganancia total será de 10.000 yuanes. Según el significado de la pregunta:
y = (0≤x≤3)
Supongamos = t entonces x=3-t2, 0≦x≠.
Entonces y= 0≦x≦.
Cuando x=, y=1,05, cuando x=0,75, 3-x=2,25.
Por lo tanto, para obtener el máximo beneficio, la inversión de capital en los dos productos debe ser de 7.500 yuanes y 22.500 yuanes respectivamente, y el beneficio total obtenido es de 65.438 yuanes + 0.500 yuanes.
En resumen, la aplicación de funciones es la encarnación de ideas matemáticas y una forma eficaz de aplicar el conocimiento matemático para resolver problemas prácticos. Después de aprender esta parte, analizaremos las preguntas específicas, descubriremos la relación entre las cantidades relacionadas, estableceremos relaciones funcionales apropiadas, transformaremos los problemas reales en modelos matemáticos y luego usaremos las propiedades de funciones elementales para resolver los problemas. Matematizar problemas abstractos y ponerlos en práctica.