1. (Ciudad de Guiyang, provincia de Guizhou) Como se muestra en la figura, se sabe que AB es la cuerda de ⊙O, el radio OA=2cm, ∠AOB=120°. (1) Encuentre el valor de tan∠OAB; (2) Calcule S△AOB (3) El último punto móvil P en ⊙O comienza desde el punto A y se mueve en sentido antihorario cuando S△POA = S△AOB. encuentre P La longitud del arco que pasa por el punto (sin considerar la coincidencia del punto P y el punto B). Solución: (1) ∵OA=OB, ∠AOB=120°, ∴∠OAB=30° ∴tan∠OAB= 3 3 ····················· ··············································· ··· ··············· 4 puntos (2) Como se muestra en la Figura 1, a través de O, OH⊥AB está en H, entonces OH= 2 1 OA=1, AB=2AH=32OH =32 ∴S△POQ = 21AB?OH＝2 1 ×32×1＝3 (cm2) ···························· · 8 Puntos (3) Como se muestra en la Figura 2, extienda BO para cruzar ⊙O en el punto P1, conectando AP1 y OP1. El punto O es el punto medio del diámetro BP1, ∴S△P1OA=S△AOB, ∠AOP1=60°. y la longitud de ∴AP1︵ es 3 2 π (cm) ···································· ····· ·······················10 minutos para construir el punto de simetría P2 del punto A con respecto al diámetro BP1, conectar AP2, OP2, es fácil obtener S△P2OA=S△AOB, ∠AOP2 =120° La longitud de ∴AP2︵ es 3 4 π (cm) ··················· ··············· ··································· ··················································· ··················································· ·····················11 puntos pase el punto B y haga BP3∥OA para cruzar ⊙O en el punto P3, conectando AP3 y OP3 Fácil Obtenga S△P3OA=. S△AOB, la longitud de ∴ABP3︵ es 3 10 π (cm) ····························· ···· ························· 12 puntos A O B P A O B P2 P3 P1 Figura 2 A O B P Figura 1 H 2 Ciudad de Nantong) Como se muestra en la figura, en el rectángulo ABCD, AB=m (m es una constante mayor que 0), BC=8, E es el punto móvil en el segmento de línea BC (no coincide con B y C), conecta DE y dibuja EF⊥. EF y el rayo BA se cruzan en el punto F, suponiendo CE=x, BF=y (1) Encuentre la expresión de la relación funcional de y con respecto a x (2) Si m=8, encuentre el valor de y cuando x es el; valor máximo, ¿cuál es el valor máximo? (3) Si y=m12, ¿cuál debería ser el valor de m para hacer que △DEF sea un triángulo isósceles? (1) ∵EF⊥DE, ∴∠DEF=90°, ∴∠ BEF＋∠CED＝90° ∵∠BEF＋∠BFE＝90°, ∴∠BFE＝∠CED y ∵∠B＝∠C＝90°, ∴Rt△BFE∽Rt△CED ∴ BEBF＝CDCE, es decir, xy?8＝ m x ∴y＝－ m1x 2＋m 8 x ····································· ··· ··············································· 4 puntos (2) Si m=8, entonces y=-81x 2+x=-8 1 (x-4)2+2 ∴Cuando x=4
, el valor de y es el mayor, y es el mayor=2 ··································· ··· ... 2, x2=6 ······································· ···· ··············· 8 puntos En ∵△DEF, ∠FED es un ángulo recto. Para hacer de △DEF un triángulo isósceles, solo DE=EF. Rt△BFE≌Rt△CED ∴ Cuando EC=2, m=CD=BE=6 ····························· ······ ···························· 10 puntos Cuando EC=6, m=CD=BE=2, es decir , el valor de m debe ser 6 o Cuando 2, △DEF es un triángulo isósceles································ ······ 12 puntos 3. (2010 ciudad de Xining, provincia de Qinghai) Como se muestra en la figura, la línea recta y = kx-1 cruza el eje x y el eje y en dos puntos B y C respectivamente, tan∠OCB = 2 1. (1) Encuentre las coordenadas del punto B y el valor de k; (2) Si el punto A (x, y) es un punto en movimiento en la línea recta y = kx-1 en el primer cuadrante, cuando el punto A se está moviendo, intenta escribir la relación funcional entre el área S de △AOB y 3 ② Cuando se establece ①, ¿hay un punto P en el eje x de modo que △POA sea un triángulo isósceles? Si existe, escriba las coordenadas de todos los puntos P que cumplen las condiciones; si no existe, explique el motivo.
Solución:
（
1
)
x
＝
Sustituir
y
＝
kx
－
1
p>, obtenemos
y
=
-
1
, ∴
C
(
-
1
)
OC
＝
1
Y∵
bronceado
∠
OCB
＝
OC
OB
＝
2
1
, ∴
OB
＝
2
1
∴
B
(
2
1
)
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p>·
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>
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p>·
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>
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2
Puntos
Mano
B
（
2
1
) Sustituir
y
＝
kx
-
1
, obtén
2
1
k
-
1
＝
0
∴
k
＝
2
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4
Puntos
(
2
) como se muestra en la imagen
1
, a través de
A
AD
⊥
x
eje, el pie vertical es
D
Conocemos la recta de (
1
)
BC
La expresión de relación funcional es
y
=
2
x
-
1
∴
S
＝
2
1
OB
AD
＝
2
1
2
1
(
2
x
<p>－
1
)
＝
2
1
x
－
4
1
es decir,
S
=
2
1
x
-
4
1
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6
Puntos
（
3
) ① por
2
1
x
－
4
1
＝
4
1
, obtenemos
x
=
1
, ∴
y
＝
2
×
1
－
1
＝
1
∴
A
(
1
1
）
Entonces, cuando el punto
A
se mueve a (
1
1
), el área de
△
AOB
es
4
1
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8
Puntos
②Existencia
Como se muestra
2
P
1
(
-
2
)
P
2
(
1
)
P
3
(
2
)
P
4
(
2
)
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1
2
Puntos