(1) Encuentre el rango de valores de m
(2) Sea y = x1 x2. Cuando y toma el valor mínimo, encuentre el valor de m correspondiente al valor mínimo.
Análisis: (1) Si una ecuación cuadrática tiene dos raíces desiguales, entonces el discriminante de las raíces es △=b2-4ac≥0. Establezca una desigualdad sobre m y podrá encontrar el rango de valores; (2) Según la relación entre raíces y coeficientes, se puede obtener la expresión de x1 x2, y luego se puede obtener la relación funcional entre y y m según la naturaleza de la función y el rango de valores de la variable independiente. Se puede obtener el valor mínimo de y y el valor m correspondiente.
Solución: (1) Organizar la ecuación original como x2 2 (m-1) x m2 = 0.
La ecuación original tiene dos raíces reales,
∴△ = [2 (m-1) 2-4m2 =-8m 4 ≥ 0, donde m ≤.
(2) ∵ x1, donde x2 es dos de x2 2 (m-1) x m2 = 0,
Y = x1 x2 =-2m 2, m ≤ .
Entonces y disminuye a medida que m aumenta, por lo que cuando m =, el valor mínimo es 1.
2. Síntesis de ecuaciones cuadráticas de una variable y funciones proporcionales inversas
Ejemplo 2 (adaptado en Zibo, Shandong, 2010) Dada la ecuación sobre x, si las dos raíces de la La ecuación se usa como abscisa, el punto en la ordenada está exactamente en la imagen de la función proporcional inversa, encuentre el valor mínimo de m que satisface la condición.
Análisis: Escribe el producto de los dos, el producto de los dos es igual a m, y luego encuentra el valor mínimo de m.
Solución: Sean las dos raíces de la ecuación be,
De acuerdo con el significado de la pregunta y la relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática,
Por lo tanto, cuando k = 2, m toma el valor mínimo - 5.
Comentarios: El discriminante de las raíces de una ecuación cuadrática y la relación entre raíces y coeficientes son completos y de dificultad moderada.
En tercer lugar, la síntesis de ecuaciones cuadráticas y funciones cuadráticas
El ejemplo 3 (ciudad de Jingzhou, provincia de Hubei, 2008) se conoce de la siguiente manera: como se muestra en la figura, Rt△AOB dos lados rectángulos OA y OB están en el semieje positivo del eje X y el semieje negativo del eje Y respectivamente. C es un punto encima de OA, OC = OB y la parábola Y = (x. -2)-(x-m)-(p-m ) (m y p son respectivamente
(1) M y P se utilizan para representar la longitud de OA y OC respectivamente;
( 2) Cuando M y P satisfacen qué relación, △ El área de AOB es la más grande
Análisis: (1) Debido a que el punto A y el punto C están en el eje X, el valor de p. se puede obtener estableciendo y=0 (2) Listado según la fórmula del área del triángulo La expresión del área de △AOB se puede resolver según la expresión del valor máximo de la función cuadrática. Solución: (1) Supongamos y=0: (x-2)(x-m)-(p- 2)(p-m)=0,
Vamos a resolverlo: (x-p)(x-m-2 p )=0,
∴x1=p, x2=m 2-p,
∫m 2 > 2 > 0
∴m 2-p> p>0,
∴OA=m 2-p, OC=P.
(2)∫OC = OB, S△AOB = OA,
?∴S△AOB= OB= P? >
=-P2 (m 2)
Cuando p==(m 2), S△AOB es el más grande. /p>
Comentarios: Dominar la función cuadrática. Imagen, valor máximo, valor mínimo, encontrar el área de un triángulo en una función cuadrática, generalmente relacionada con su punto más alto y su punto más bajo.
4. Síntesis de ecuaciones y desigualdades cuadráticas
Ejemplo 4 (ciudad de Jingzhou, provincia de Hubei, 2008) La suma de las dos raíces reales de la ecuación es m, y satisface la ecuación. acerca de y La desigualdad no significa que el grupo tenga una solución real, por lo que el rango de valores de k es _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
Análisis: Debido a que la ecuación tiene dos raíces reales, △=[2(k 1)]2-4k2≥0≥0, y debido a que el grupo de desigualdad Y > -4y < m tiene soluciones reales, entonces Y debe estar entre -4 y m, es decir, m debe ser mayor que -4, por lo que m = -2 (k 66).
Solución: ∵La ecuación x2 2(k 1)x k2=0 tiene dos raíces reales.
∴△=[2(k 1)]2-4k2≥0, y la solución es k ≥- 12
El grupo de desigualdades de y tiene una solución de números reales, ∴ m >- 4.
∫m =-2(k 1),
∴-2 (k 1) >-4, entonces la solución es k < 1.
El rango de valores de ∴k es 1 > k ≥-12. Entonces la respuesta en el espacio en blanco es: 1 > k ≥ -12.
Comentarios: Esta pregunta examina exhaustivamente el discriminante de raíces y la relación entre raíces y coeficientes. Al resolver desigualdades, asegúrese de prestar atención a la relación cambiante entre los valores y las desigualdades positivos y negativos.
5. Ecuación cuadrática y síntesis de probabilidad
Ejemplo 5 (Ciudad de Huanggang, 2065 438 00) Dos estudiantes A y B lanzan dados. Las letras P y Q representan sus respectivas tiradas de. agujas.
(1) Encuentra la probabilidad de que la ecuación sobre x tenga una solución real.
(2) Encuentre la probabilidad de que la ecuación en (1) tenga dos soluciones reales idénticas.
Análisis: (1) La ecuación x2 px q=0 tiene solución de números reales, entonces P2-4Q≥0, sustituye los 36 valores correspondientes de P y Q del lanzamiento de dados en la prueba para encuentre el número calificado; (2) La ecuación x2 px q=0 tiene la misma solución real, entonces p2-4q=0. Sustituya los 36 valores correspondientes de P y Q en la prueba para encontrar el número que pasa.
Solución: Hay 36 posibilidades para que dos personas lancen dados.
(1) Entre ellos, hay 19 casos donde la ecuación tiene soluciones reales:
Cuando p=6, q=6, 5, 4, 3, 2, 1 ;
Cuando p=5, q=6,5,4,3,2,1;
Cuando p=4, q=4,3,2,1 ;
Cuando p=3, q=2,1;
Cuando p=2, q=1 entonces la probabilidad es.
(2) Hay dos situaciones en las que la ecuación tiene soluciones reales iguales * * *:
p=4, q = 4, q = 1; probabilidad si.
Comentarios: Esta pregunta evalúa la relación discriminante y de probabilidad de las raíces de una ecuación cuadrática, y también evalúa la capacidad de aplicación integral y la capacidad de razonamiento de los estudiantes. Los puntos de conocimiento utilizados son: probabilidad = la relación entre el número de casos buscados y el número total de casos; la ecuación cuadrática tiene raíces reales y el discriminante no es negativo;
6. Integración de ecuaciones cuadráticas y conocimientos geométricos
Ejemplo 6 (Ciudad de Huangshi, 2009) Las longitudes de los dos lados de un triángulo son 3 y 4 respectivamente, y la longitud de el tercer lado es la raíz de la ecuación, por lo que el perímetro del triángulo es ().
A.14b.12c.12 o 14d. Nada de lo anterior es correcto.
Análisis: Es fácil obtener dos ecuaciones, por lo que de acuerdo con la relación entre los tres lados del triángulo, podemos excluir los lados que no están en la pregunta, y luego podemos obtener el perímetro de el triangulo.
Solución: Resuelve la ecuación x=5 o x=7.
Cuando x=7, 3 4 = 7, y no puede formar un triángulo;
Cuando x=5, 3 4 > 5, y los tres lados pueden formar un triángulo.
El perímetro del triángulo es 3 4 5 = 12, así que elige B.
Comentarios: Esta pregunta examina principalmente la relación entre los tres lados de un triángulo. Primero debes determinar si se puede formar un triángulo y luego encontrar el perímetro.
Ejemplo 7 (Ciudad de Lanzhou, 2010) Se sabe que los radios r y r de los dos círculos son dos ecuaciones, la distancia entre los centros de los dos círculos es 1 y la relación posicional entre los dos círculos son ().
A. Exteriorización b. Insectización c. Intersección d. Exteriorización
Solución: Los radios de los dos círculos son las dos raíces de la ecuación,
∴ La suma de los radios de los dos círculos es 5, el producto de los radios es 6 y la diferencia de radio = 1, es decir, la distancia entre centros es igual a la diferencia de radio.
∴De acuerdo con la relación cuantitativa entre la distancia al centro y el radio, se puede ver que la relación posicional entre ⊙ O1 y ⊙ O2 es una relación inscrita. Entonces elegí a D.