Rodillo de goma tangencial cotangente csc
(o cosec)
(o ctg, ctn) [editar] Además de las seis funciones básicas, existen las cuatro siguientes funciones en la historia: Funciones: secantes y cotangentes fuera del vector normal [editar] Historia Con el reconocimiento de que triángulos semejantes mantienen las mismas proporciones entre sus lados, surgió la idea de que las longitudes de los lados de un triángulo y los ángulos del triángulo existen Debería haber alguna correspondencia estándar entre ellos. Es decir, para cualquier triángulo semejante, por ejemplo, la razón entre la hipotenusa y los otros dos catetos es la misma. Si la hipotenusa se vuelve el doble de larga, los otros lados también lo serán el doble. Estas razones se expresan usando funciones trigonométricas. Hiparco de Nigeria (180-125 a. C.), Ptolomeo de Egipto (90-180 d. C.), Ayebodo (476-550 d. C.), Varahomihiro, Torre Brahmagu, Huarazimi, etc. han estudiado funciones trigonométricas. Nasir al-Din Artusi, Ghius Alcahi (siglo XIV), Ur Ugberg (siglo XIV), John Muller (1464), Rheticus y sus alumnos Valentin Otto. Mad Hava del Sanggamagramma (c. 1400) realizó sus primeras investigaciones sobre el análisis de funciones trigonométricas en forma de series infinitas. La introducción de Euler en Análisis infinito (1748) hizo la contribución más importante al establecimiento de las funciones trigonométricas europeas. También definió funciones trigonométricas como series infinitas y expresó la fórmula de Euler, así como abreviaturas casi modernas como sin. ,porque. , Tang. ,cuna. ,Segundo. Y cosec. [Editar] Definición de triángulo rectángulo [Editar] Sólo hay definiciones de funciones trigonométricas agudas en triángulos rectángulos. El seno de un ángulo agudo es la razón entre su lado opuesto y su hipotenusa. En la figura, senA = lado opuesto/hipotenusa = a/h El coseno de un ángulo agudo es la relación entre su lado adyacente y su hipotenusa. En la figura, cosA = lado adyacente/hipotenusa = b/h La tangente de un ángulo agudo es la relación entre su lado opuesto y el lado adyacente. En la figura, tanA = lado opuesto/lado adyacente = a/b [Editar] En el sistema de coordenadas rectangular, sea α un ángulo de cuadrante en el sistema de coordenadas rectangular plano xOy, el punto en el último lado del ángulo, la distancia desde P hasta el origen O, entonces las seis funciones trigonométricas de α se definen como: definición del nombre de la función definición del nombre de la función seno coseno tangente cotangente línea cotangente [editar] definición del círculo unitario El círculo unitario también puede definir seis funciones trigonométricas basadas en el círculo unitario con el radio como centro. La definición del círculo unitario no tiene mucho valor en los cálculos prácticos; de hecho, para la mayoría de los ángulos depende del triángulo rectángulo. Pero la definición del círculo unitario permite definir funciones trigonométricas para todos los radianes positivos y negativos, no solo para ángulos entre 0 y π/2 radianes. Proporciona una única imagen visual que resume todas las funciones trigonométricas importantes a la vez. Según el teorema de Pitágoras, la ecuación del círculo unitario es: En la imagen, dado un ángulo común medido en radianes.
Las medidas en el sentido contrario a las agujas del reloj son ángulos positivos, las medidas en el sentido de las agujas del reloj son ángulos negativos. Supongamos que una línea recta que pasa por el origen forma un ángulo θ con la mitad positiva del eje X y corta el círculo unitario. Las coordenadas xey de esta intersección son iguales a cos θ y sen θ respectivamente. El triángulo en esta figura garantiza esta fórmula; el radio es igual a la hipotenusa y la longitud es 1, entonces sen θ = y/1 y cos θ = x/1. Se puede considerar el círculo unitario como una forma de ver un número infinito de triángulos cambiando las longitudes de los lados adyacentes y opuestos, manteniendo la hipotenusa igual a 1. Imagen de las funciones f(x) = sin(x) y f(x) = cos(x) en el plano cartesiano. ¿Por mayor que 2π o menos? Ángulo de 6?12π, simplemente continúe girando alrededor del círculo unitario. De esta forma, el seno y el coseno se convierten en funciones periódicas con un período de 2π: para cualquier ángulo θ y cualquier número entero k, el período positivo mínimo de la función periódica se denomina "período original" de esta función. El período básico del seno, coseno, secante o cotangente es un círculo completo, que mide 2π radianes o 360 grados; el período básico de la tangente o cotangente es un semicírculo, que mide π radianes o 180 grados. Sólo el seno y el coseno están definidos directamente por el círculo unitario, y las otras cuatro funciones trigonométricas se pueden definir como: la imagen de la función f(x) = tan(x) en el plano cartesiano. En la gráfica de la función tangente, el cambio es lento cerca del ángulo kπ y el cambio es rápido cerca del ángulo (k 1/2)π. La gráfica de la función tangente tiene una asíntota vertical en θ = (k 1/2)π. Esto se debe a que cuando θ se conecta a (k 1/2)π desde la izquierda, la función se acerca al infinito positivo, y cuando θ se acerca a (k 1/2)π desde la derecha, la función se acerca al infinito negativo. Como alternativa, todas las funciones trigonométricas básicas se pueden definir en términos de un círculo unitario centrado en o, similar a las definiciones geométricas utilizadas históricamente. Específicamente para la cuerda AB de este círculo, donde θ es la mitad del ángulo opuesto, sin(θ) es AC (media cuerda), que era la definición de Aryabhata (476-550 d.C.) en la India. Cos(θ) es la distancia horizontal OC, versin(θ) = 1?6?1 cos(θ) es CD. Tan(θ) es la longitud de la recta tangente del segmento AE que pasa por A, por lo que esta función se llama tangente. Cot(θ) es otra recta tangente AF. Sec(θ) = OE y csc(θ) = OF son segmentos de línea secantes (que se cruzan con el círculo en dos puntos), por lo que pueden considerarse como proyecciones de OA a lo largo de la tangente de A a los ejes horizontal y vertical, respectivamente. DE exsec(θ) = sec(θ)? 6?1 1 (la parte que se corta del círculo). Con estas construcciones, es fácil ver que cuando θ se acerca a π/2 (90 grados), las funciones secante y tangente divergen, mientras que cuando θ se acerca a cero, las funciones cotangente y cotangente divergen. [Editar] La función seno definida por la serie (azul) es una aproximación de la serie de Taylor de quinto orden (rosa) del círculo completo con el centro del círculo como origen. Utilizando únicamente la geometría y las propiedades de los límites, podemos demostrar que la derivada del seno es coseno y la derivada del coseno es seno negativo. En cálculo, todos los ángulos se miden en radianes. Luego, se puede utilizar la teoría de series de Taylor para demostrar que las siguientes identidades son válidas para todos los números reales X: Estas identidades se utilizan a menudo como definición de las funciones seno y coseno. A menudo se utilizan como punto de partida para tratamientos y aplicaciones serias de funciones trigonométricas (por ejemplo, en series de Fourier), ya que la teoría de series infinitas se desarrolla a partir del sistema de números reales independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones a menudo se establecen por separado de la definición de la serie misma. Para ver otra secuencia, consulte: [1]}-Aquí está el número de N-ésimo grado arriba/abajo, el número de Bernoulli de N-ésimo grado, (abajo) es el número de Euler de N-ésimo grado. En esta forma de expresión, el denominador es el factorial correspondiente y el numerador se llama "tangente", que tiene una interpretación combinatoria: enumeran disposiciones alternas de un número finito de conjuntos potenciales impares. }-En esta forma de expresión, el denominador es el factorial correspondiente, y el numerador se llama "número secante", que tiene una interpretación combinatoria: enumeran las permutaciones interactivas de un conjunto finito de potenciales pares. Desde un teorema de análisis complejo, esta función real tiene una extensión analítica única a los números complejos. Tienen la misma serie de Taylor, por lo que las funciones trigonométricas definidas sobre números complejos utilizan la serie de Taylor anterior.
[Editor] Conexión con funciones exponenciales y números complejos A partir de la definición de serie anterior, se puede demostrar que cuando la variable independiente de la función exponencial compleja es un número imaginario puro, la función seno y la función coseno son tanto la parte imaginaria como la parte real de la función exponencial compleja. Esta conexión fue notada por primera vez por Euler, y la identidad se conoce como fórmula de Euler. De esta forma, las funciones trigonométricas se vuelven esenciales en la interpretación geométrica de análisis complejos. Por ejemplo, a través de la identidad anterior, si consideramos el círculo unitario en el plano complejo definido por eix, como arriba, podemos parametrizar este círculo según el coseno y el seno, y la conexión entre funciones exponenciales y trigonométricas complejas se vuelve muy obvia. Además, esto permite definir funciones trigonométricas del argumento complejo z: i2 =? 6?11. Para números reales puros x, también sabemos que el procesamiento exponencial está estrechamente relacionado con el comportamiento periódico. [Editor] La definición de ecuaciones diferenciales Tanto las funciones seno como coseno satisfacen ecuaciones diferenciales, es decir, cada una es el valor negativo de su propia derivada de segundo orden. En el espacio vectorial bidimensional V de todas las soluciones de esta ecuación, la función seno es la única solución que satisface las condiciones iniciales y(0) = 0 e y′(0) = 1, mientras que la función coseno es la única solución que satisface la condición inicial y′(0) = 1 0 y y′(0)= 0 solución. Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, juntas forman la base de v. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a usar la fórmula de Euler. (Ver ecuaciones diferenciales lineales). Obviamente, esta ecuación diferencial no solo se puede usar para definir las funciones seno y coseno, sino que también se puede usar para probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno. Además, se observa que las funciones seno y coseno se satisfacen, lo que significa que son funciones características de operadores de segundo orden. La función tangente es la única solución a una ecuación diferencial no lineal que satisface la condición inicial y(0) = 0. Hay una prueba intuitiva interesante de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial; consulte el análisis de complejos visuales de Needham; [2][editar]Importancia de los radianes Los radianes especifican un ángulo midiendo la longitud de una trayectoria a lo largo del círculo unitario, formando el ángulo de arco específico de las funciones seno y coseno. En particular, sólo aquellas funciones seno y coseno que asignan radianes a razones satisfacen las ecuaciones diferenciales clásicas que las describen. Si los radianes de las funciones seno y coseno son proporcionales a la frecuencia, entonces las derivadas son proporcionales a la "amplitud". Aquí k es una constante que representa el mapeo entre unidades. Si x es grado, entonces la segunda derivada del seno de grado no satisface la ecuación diferencial, pero también el coseno. Esto significa que estos seno y coseno son funciones diferentes, por lo que la cuarta derivada del seno es nuevamente seno, excepto que su ángulo de radiación está en radianes. [Editor] Identidades trigonométricas Entrada principal: Identidades trigonométricas Hay muchas identidades en funciones trigonométricas. La más utilizada es la identidad pitagórica, que establece que el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado siempre es 1 para cualquier ángulo. Esto se puede obtener del teorema de Pitágoras del triángulo rectángulo con hipotenusa 1. En forma simbólica, la identidad de Pitágoras es: Más a menudo escrita como una potencia de "2" después de los símbolos seno y coseno: En algunos casos, los corchetes interiores pueden omitirse. Otro vínculo clave es la fórmula de suma-diferencia, que da el seno y el coseno de la suma de los dos ángulos basándose en el seno y el coseno de los dos ángulos mismos. Se pueden derivar geométricamente utilizando el método de argumentos de Ptolomeo; también se pueden obtener utilizando la fórmula de Euler en álgebra. Cuando dos ángulos son iguales, la fórmula de suma se reduce a una ecuación más simple llamada fórmula de ángulos múltiples. Estas ecuaciones también se pueden usar para derivar identidades de productos y diferencias, que se usaban en la antigüedad para convertir el producto de dos números en la suma de dos números, lo que permitía operaciones más rápidas como los logaritmos. Las integrales y derivadas de funciones trigonométricas se pueden encontrar en la tabla de derivadas, la tabla de integrales y la tabla de integrales de funciones trigonométricas. [Editar] Valores especiales de funciones trigonométricas Hay algunos valores de funciones especiales comúnmente utilizados en funciones trigonométricas. El nombre de la función es 0 sin 0 }-cos 1 }-tan 01 cot 1 sec 1 }-2cs C2 }-o... (Por supuesto, se requiere una reducción adicional). Función ╲ángulo sincostan[editar] Término principal de la función trigonométrica inversa : Funciones trigonométricas inversas Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, por lo que no son funciones inyectivas, por lo que estrictamente hablando no existe una función inversa. Por tanto, para definir funciones inversas, debemos limitar su dominio de modo que las funciones trigonométricas sean funciones biyectivas. La función de abajo a la izquierda está definida por la ecuación de la derecha; estas no son pruebas de identidad.
La función inversa básica generalmente se define como: Para funciones trigonométricas inversas, el símbolo sen? 6?11 y porque? 6?11 se usa comúnmente en arcsin y arccos. Al utilizar esta notación, la función inversa puede confundirse con el recíproco de esta función. Esta confusión se puede evitar utilizando símbolos con el prefijo "arc-", aunque "arcsec" puede confundirse ocasionalmente con "arcsegundo". Al igual que el seno y el coseno, las funciones trigonométricas inversas se definen en términos de series infinitas. Por ejemplo, estas funciones también se pueden definir demostrando que son integrales indefinidas de otras funciones. Por ejemplo, la función seno se puede escribir como una integral de la siguiente manera: Se puede encontrar una fórmula similar en la entrada sobre funciones trigonométricas inversas. Usando logaritmos complejos, estas funciones se pueden extender a ángulos radiales complejos:
[Editor] Las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas, como su nombre lo indica, son cruciales en trigonometría, principalmente debido a los dos resultados siguientes. [Editor] Ley del seno La ley del seno establece que para cualquier triángulo cuyos lados sean A, B y C y los ángulos relativos a estos lados sean A, B y C, entonces existe: También expresada como: Curva de Lissajous, dada por la base del triángulo La imagen formada por la función. La división de un triángulo en dos triángulos rectángulos se puede demostrar utilizando la definición de seno anterior. El número común (sinA)/a que aparece en este teorema es el recíproco del diámetro del círculo que pasa por A, B y c. El teorema del seno se utiliza para calcular la longitud del lado desconocido cuando dos ángulos y un lado de. Se conocen un triángulo. Ésta es una situación común en la triangulación. [Editor] Ley del coseno La ley del coseno (también llamada fórmula del coseno) es una extensión del teorema de Ptolomeo, que también se puede demostrar dividiendo un triángulo en dos triángulos rectángulos. La ley de los cosenos se utiliza para determinar datos desconocidos dados dos lados y un ángulo de un triángulo. Si el ángulo no está contenido entre los dos lados, el triángulo puede no ser único (ambigüedad de congruencia de ángulo lado-lado-ángulo). Cuidado con esta ambigüedad de la ley del coseno. [editar] Otras propiedades útiles incluyen la ley de la tangente: [editar] Análisis aditivo animado de una onda cuadrada con una función periódica de número armónico creciente. Las funciones trigonométricas también son importantes en física. Por ejemplo, las funciones seno y coseno se utilizan para describir el movimiento armónico simple, que simula muchos fenómenos naturales, como la vibración de un peso sujeto a un resorte y el balanceo de ángulo pequeño de un peso colgado de una cuerda. Las funciones seno y coseno son proyecciones unidimensionales de movimiento circular. Las funciones trigonométricas también han demostrado ser muy útiles en el estudio de funciones periódicas en general. Estas funciones tienen formas de onda características como imágenes, que son útiles para modelar fenómenos cíclicos como ondas sonoras u ondas de luz. Todas las señales se pueden escribir como la suma de funciones seno y coseno de diferentes frecuencias (generalmente infinito); esta es la idea básica del análisis de Fourier, que utiliza series trigonométricas para resolver problemas de valores límite en varias ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, una onda cuadrada se puede escribir como una serie de Fourier. En la animación de la derecha puedes ver que se genera una muy buena aproximación con sólo unos pocos elementos.