El teorema del valor medio diferencial es el nombre general de una serie de teoremas del valor medio. Existen: teorema del valor medio de Fermat, teorema de Rolle, fórmula de Taylor, teorema del valor medio de Lagrange, regla de L'Obidard, teorema del valor medio de Cauchy, teorema de Darboux. Se puede decir que otros teoremas de la media son casos especiales o generalizaciones del teorema de la media de Lagrange.
Contenido del teorema del valor medio de Fermat: Supongamos que la función f(x) obtiene un valor extremo en ξ, y f(x) es diferenciable en el punto ξ, entonces f'(ξ)=0. Corolario: Si el valor máximo (valor mínimo) de la función f(x) en el intervalo I se alcanza en el punto c en I, y f(x) es diferenciable en el punto c, entonces f'(c)=0.
Contenido del teorema de Rolle: Si la función f(x) satisface: es continua en el intervalo cerrado [a, b]; es diferenciable en el intervalo abierto (a, b); en el punto final del intervalo son iguales, es decir, f(a)=f(b), entonces hay al menos un punto ξ(alt; ξlt; b) en (a, b), tal que f'(ξ )=0.
Contenido de la fórmula de Taylor: Si la función f(x) tiene una derivada hasta n de 1er orden en el intervalo abierto (a, b), entonces cuando la función está en este intervalo, se puede expandir en una función sobre (x-x. ) La suma de un polinomio y un resto: f(x)=f(x.) f'(x.)(x-x.) f''(x.)/2!·(x-x .)^2, f'' '(x.)/3!·(x-x.)^3 …… f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n Rn donde Rn=f(n 1)(ξ)/(n 1)!·(x-x.)^(n 1), donde ξ está entre x y x., y este resto se denomina resto del tipo lagrangiano. (Nota: f(n)(x.) es la derivada de orden n de f(x.), no la multiplicación de f(n) y x.) Corolario: fórmula de McLaughlin.
Contenido de la fórmula de McLaughlin: Si la función f(x) tiene una derivada hasta n de 1er orden en el intervalo abierto (a, b), entonces cuando la función está en este intervalo, se puede expandir en una función sobre x La suma de un polinomio y un resto: f(x)=f(0) f'(0)x f''(0)/2!·x^2, f''(0) /3!·x^2 3... f(n)(0)/n!·x^n Rn donde Rn=f(n 1)(θx)/(n 1)!·x^(n 1) , donde 0lt; θlt;
Contenido del teorema del valor medio de Lagrange: Si la función f(x) satisface: 1) es continua en el intervalo cerrado [a, b]; 2) es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) . Entonces: hay al menos un punto ξ(alt; ξlt; b) en (a, b), de modo que se cumple la ecuación f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).
Contenido de la regla de Lópida: Supongamos
(1) Cuando x→a, ambas funciones f(x) y F(x) tienden a cero;
(2) En la vecindad descentrada del punto a, tanto f'(x) como F'(x) existen y F'(x)≠0;
(3) Cuando x→a Cuando lim f '(x)/F'(x) existe (o es infinito), entonces cuando x→a, lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x).
Supongamos
(1) Cuando x→∞, ambas funciones f(x) y F(x) tienden a cero;
(2) Cuando | x|gt; N, tanto f'(x) como F'(x) existen, y F'(x)≠0 (3) Cuando x→∞, lim f'(x)/F'(x ) existe; (o es infinito), entonces lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x) cuando x→∞.
Contenido del teorema del valor medio de Cauchy:
Si las funciones f(x) y F(x) satisfacen
(1) En el intervalo cerrado [a , b] Continuo;
(2) Diferenciable en el intervalo abierto (a, b
(3) Para cualquier x (a, b), F'(x); ≠ 0 Entonces hay al menos un punto ξ en (a, b), de modo que la ecuación [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ) Se establece /F'( ξ).
Contenido del teorema de Darboux: Si la función f(x) es diferenciable en [a, b], entonces f′(x) puede tomar f′(a) y f′ en [a, b] (b) cualquier valor entre. Generalización: si f(x) y g(x) son diferenciables en [a, b] y en [a, b], g′(x)≠0, entonces f′(x)/g′( x) puede tomar cualquier valor entre f′(a)/g′(a) y f′(b)/g′(b).