Cuando un número se puede escribir en forma de raíz de una ecuación polinómica que contiene coeficientes racionales, ya sea un número real o un número complejo, entonces el número se puede definir como un número algebraico. De lo contrario, es un número trascendental. Es decir, si hay números racionales distintos de cero que hacen que la ecuación sea verdadera, decimos que el número en la fórmula es un número algebraico. Cuando es un número trascendental, este número es. no es la raíz de ninguna ecuación polinómica que contenga coeficientes de números racionales distintos de cero.
Si a y b son números racionales, esta ecuación no se cumple. Por lo tanto, para este número b eso no es una potencia de. base a, su logaritmo debería denominarse apropiadamente número trascendental." La primera persona que demostró la existencia de números trascendentales fue el matemático francés J. Liouville (1809~1882). Construyó un número en 1851: L=1/10 1 /10^2! 1/10^3 !. Este decimal infinito se llamó más tarde el "número de Liouville". Liouville demostró con éxito que este número es un número trascendental.
Más de 20 años después de la construcción de el "número de Liouville", matemáticas Cantor demostró que: el conjunto de todos los números algebraicos es contable, es decir, el número de números algebraicos es tanto como el de los números naturales. Sobre esta base, Cantor se basó en otra conclusión de su teoría de conjuntos: el conjunto de los números reales es incontable, sabemos que el conjunto de los números complejos también es incontable, y así llegamos a una conclusión adicional: debe haber números complejos que no sean números algebraicos, ¡así que deben existir los números trascendentales!
Siguiendo a Liouville, los matemáticos para demostrar ciertos Se han hecho varios esfuerzos para lograr la trascendencia de números específicos: en 1873, el matemático francés C. Hermite (1822 ~ 1901) demostró la base de los logaritmos naturales
e=2.7182818… …
Es un número trascendental En 1882, el matemático alemán Lindemann (1852~1939) demostró que pi
π=3.1415926…
Es un número trascendental.
Demostrar que ciertos números son números trascendentales es de gran importancia. Por ejemplo, la prueba de la trascendencia de π resolvió por completo los tres principales problemas de representación gráfica en la antigua Grecia: convertir un círculo. en El problema del cuadrado, es decir, es imposible cuadrar un círculo. Es demasiado difícil juzgar si algunos números dados son trascendentales. Aun así, los matemáticos han trabajado duro durante más de un siglo. este campo todavía está envuelto en un misterio. Por ejemplo, la gente todavía no puede determinar si números como e+π son algebraicos o trascendentales.
Existen diferencias obvias entre los números trascendentales y los números algebraicos, e incluso los números trascendentales. reglas de operación También hay diferencias. Por ejemplo, la ley de eliminación de la suma y la multiplicación, que es válida para números algebraicos, no es válida para números trascendentales. Por ejemplo, si la siguiente fórmula es válida para tres números trascendentales a, b, c:
a＋b＝a＋c
Pero
b＝c no es necesariamente cierto, de manera similar, para estos tres números, si la siguiente fórmula es verdadera:
a ×b＝a×c
Pero
b＝c
no es necesariamente cierto.