Durante sus 50 años de carrera científica, Wiener incursionó sucesivamente en la filosofía, las matemáticas, la física y la ingeniería, y finalmente se dedicó a la biología. Ha logrado resultados fructíferos en diversos campos y se le puede llamar Engels el más celebrado. gigantes científicos versátiles y conocedores de este siglo. Publicó más de 240 artículos y 14 libros a lo largo de su vida. Sus obras principales incluyen "Cibernética" (1948), "Obras seleccionadas de Wiener" (1964) y "Artículos recopilados de Wiener sobre matemáticas" (1980). Wiener también tiene dos autobiografías, "Érase una vez un prodigio" y "Soy matemático".
Sus principales logros incluyen los siguientes ocho aspectos: Wiener fue el primer matemático en estudiar matemáticamente en profundidad el movimiento browniano. En 1921, utilizó puntos en el espacio funcional para representar las trayectorias de las partículas en movimiento browniano y demostró que todas estas trayectorias, excepto el conjunto con probabilidad O, son continuas pero no suaves, es decir, casi en todas partes no son diferenciables. . Usó integrales de Lebesgue para calcular el promedio de las funciones a lo largo de estos caminos. En 1923, Wiener dio la primera definición rigurosa de función aleatoria, demostrando que podía ser un modelo teórico del movimiento browniano. A partir del concepto de distancia muestral, Wiener estudió el conjunto de "caminos", introdujo la medida de Wiener y reveló las características físicas de funciones continuas y no diferenciables. Por lo tanto, el movimiento browniano también se denomina proceso de Wiener.
El trabajo de Wiener sobre la probabilidad fue extremadamente fructífero. No sólo da nueva vida a viejos problemas, sino que, lo que es más importante, abre un campo de investigación completamente nuevo y revela conexiones convincentes entre la teoría de la probabilidad y otras ramas de las matemáticas. Se puede decir que la investigación de Wiener es el trabajo pionero de la teoría de probabilidad moderna. Ahora bien, una medida que describe el movimiento browniano definido en un espacio funcional continuo se llama medida de Wiener, y la integral sobre esta medida se llama integral de Wiener. Posteriormente, el matemático japonés Ito Kiyoshi desarrolló la teoría integral estocástica sobre esta base. En 1920, Wiener amplió la teoría general de límites y diferenciales del matemático francés Flechet al espacio vectorial y proporcionó un conjunto completo de axiomas. Los resultados de Wiener coincidieron con el artículo de Banach publicado unas semanas después en una revista matemática polaca, y el alcance de la generalización fue exactamente el mismo. Banach concibió y publicó su teoría varios meses antes que Wiener, pero los dos eran igualmente independientes. Por lo tanto, estas dos obras alguna vez se denominaron teoría espacial de Banach-Wiener. Wiener continuó publicando resultados en esta área en un corto período de tiempo, lo que sentó las bases para el método del axioma de von Neumann de 1927 para espacios de Hilbert y operadores en espacios de Hilbert.
Más tarde, Wiener abandonó paulatinamente este campo, pero su trabajo pionero sobre el análisis funcional, una rama emergente de las matemáticas que surgió y floreció en el siglo XX, ha quedado registrado en la historia de las matemáticas. De 1923 a 1925, Wiener hizo contribuciones básicas a la teoría potencial. Para el problema de Dirichlet dadas funciones de valor de frontera continuas, se deriva el grupo generalizado exacto. Definir el concepto de capacidad para conjuntos compactos generales y dar el famoso criterio de regularidad. El concepto anterior del potencial electromagnético dentro de una región sostenía que debería ser exactamente igual a los dados en los límites.
Siguiendo conceptos similares a las integrales generalizadas que ya había estudiado, Wiener observó que el potencial dentro de una región puede verse determinado por una combinación lineal de los potenciales alrededor del límite, incluso si según esta definición es cercano a No se puede dar el límite de una función continua en un punto límite. Este era un concepto completamente nuevo y Wiener amplió enormemente muchos conceptos de la teoría del potencial, incluidos los conceptos de carga y capacitancia.
La importancia de este resultado es que la nueva teoría cree que la relación entre el potencial de un punto interior y el valor límite es una integral generalizada, en lugar de una combinación de estos potenciales internos y el potencial en el límite. Esto pone patas arriba la visión original sobre la cuestión fronteriza. Como tantos cambios en matemáticas, la reformulación de la teoría potencial fue un soplo de aire fresco después de años de estar estancado por un argumento demasiado convencional. Alrededor de 1930. Wiener colaboró con el astrónomo Hopf para estudiar una clase de ecuaciones integrales singulares dado un núcleo de diferencia en un intervalo semiinfinito. Estas ecuaciones ahora se conocen como ecuaciones de Wiener-Wipf. Wiener popularizó la investigación de Hopf sobre los estados de equilibrio de la radiación y obtuvo su método de solución en 1931. La idea básica es transformar la ecuación original en una ecuación funcional mediante transformación integral y luego utilizar el método de factorización de funciones para resolverla. Por lo tanto, el método de Wiener-Hopf también se denomina método de factorización. Se ha convertido en un método común para estudiar diversos problemas de física matemática.
Wiener demostró creativamente que la aplicación más sorprendente de la ecuación de Wiener-Hopf es que el límite entre los dos procesos está en el tiempo y no en el espacio, que es exactamente lo que se necesita en la teoría de la predicción. Una herramienta muy apropiada. para determinadas aplicaciones. Señaló además que hay muchas más cuestiones generales sobre instrumentación que pueden resolverse utilizando esta técnica de actuación a tiempo. Después de la década de 1940, la teoría de esta ecuación se desarrolló sistemáticamente sobre la base de problemas de valores límite de funciones analíticas, análisis armónicos y teoría de operadores. Su aplicación también se ha expandido desde los problemas de radiación a muchos otros campos, como la migración de neutrones y la difracción de ondas electromagnéticas. , cibernética, problemas de muchos cuerpos y teoría de entradas, etc. Durante la Segunda Guerra Mundial, para resolver los problemas del control de fuego antiaéreo y el filtrado de ruido de radar, Wiener aplicó exhaustivamente su trabajo anterior en varios aspectos. En febrero de 1942, presentó por primera vez el método para inferir dimensiones futuras a partir de series temporales pasadas. datos La fórmula del nanofiltro establece la teoría del filtro de Wiener para la predicción directa de series de tiempo bajo el criterio de error cuadrático medio mínimo.
Este trabajo de Wiener proporciona una base teórica para el diseño de problemas de predicción en el control automático de fuego de artillería en defensa aérea, y abre una vía teórica para evaluar la eficiencia y calidad del procesamiento de la información en un sistema de comunicación y control. sistema. . Tiene un impacto importante en la ciencia de la tecnología de automatización. Wiener introdujo factores estadísticos en el problema y utilizó funciones de autocorrelación y correlación cruzada, que resultaron ser extremadamente importantes. En la década de 1950, el modelo de filtro de Wiener se extendió a procesos estacionarios que solo se observan dentro de un intervalo de tiempo limitado y su alcance de aplicación también se ha expandido a más campos. Todavía se utiliza para procesar diversos datos dinámicos. como meteorología, hidrología, exploración sísmica, etc.) y una de las poderosas herramientas para predecir el futuro. Wiener es uno de los fundadores de la teoría de la información. Estudió teoría de la información a partir de circuitos con corriente continua o, al menos, que pueden considerarse corriente continua. Independientemente de Shannon, introdujo métodos estadísticos en la ingeniería de comunicaciones y sentó las bases teóricas de la teoría de la información. Wiener consideraba los mensajes como una secuencia temporal de acontecimientos mensurables, la comunicación como un problema estadístico y la estudiaba matemáticamente como un proceso aleatorio estacionario y su transformación. Aclaró los principios y métodos de cuantificación de información, utilizó de manera similar la "entropía" para definir la cantidad de información de señales continuas y propuso la fórmula de Shannon-Wiener para medir la cantidad de información: la cantidad de información unitaria es la elección entre dos conceptos iguales. enviado al hacer una única elección sobre una cosa.
Estos trabajos pioneros de Wiener promovieron fuertemente la creación de la teoría de la información y abrieron amplias perspectivas para la aplicación de la teoría de la información. Shannon, el fundador de la teoría de la información, dijo: "La gloria debería ser para el profesor Wiener". La mayor contribución de Wiener al desarrollo de la ciencia fue la creación de la cibernética. Esta es una ventaja formada mediante el uso de las matemáticas como vínculo para conectar la investigación sobre regulación automática, ingeniería de comunicaciones, computadoras y tecnología informática, así como la neurofisiología y patología en las ciencias biológicas y otras disciplinas con los temas fundamentales de la disciplina.
En octubre de 1947, Wiener escribió su libro que hizo época "Cibernética". Después de su publicación en 1948, inmediatamente se hizo popular en todo el mundo. Los profundos pensamientos de Wiener atrajeron gran atención de la gente. Revela las leyes únicas de las funciones de comunicación y control en las máquinas y las funciones nerviosas y sensoriales humanas; proporciona un nuevo método científico para la investigación científica y tecnológica moderna; rompe los grilletes del pensamiento tradicional en muchos aspectos y lo promueve eficazmente; una serie de cambios en las formas de pensar científicas modernas y los conceptos filosóficos contemporáneos.
Hoy en día, se han producido muchos avances importantes en la cibernética, pero las ideas de Wiener de utilizar la mecánica estadística de Gibbs para tratar con ciertos modelos matemáticos todavía están en el centro. Definió la cibernética como: "Supongamos que hay dos variables de estado, una de las cuales podemos ajustar y la otra no puede controlarse. El problema que enfrentamos en este momento es cómo utilizar la información del pasado al presente en esa variable incontrolable. Para determinar adecuadamente los valores óptimos de las variables que se pueden ajustar para lograr el estado más adecuado y beneficioso para nosotros”