Tres Preguntas de Matemáticas
1 Complete los espacios en blanco (Esta pregunta tiene 6 preguntas, cada pregunta vale 4 puntos, con una puntuación total de 24 puntos. Complete las respuestas de las preguntas (en la línea horizontal)
(1) Si su función derivada es continua en x=0, entonces el rango de valores de es _ _ _ _.
(2) La curva dada es tangente al plano completo, entonces = _ _ _ _ _.
(4) Establezca un vector de n dimensiones; e es la matriz identidad de orden n, matriz.
, ,
La matriz inversa de A es B, entonces A = _ _ _ _ _.
(5) Supongamos que el coeficiente de correlación entre las variables aleatorias X e Y es 0,9. Si es así, entonces el coeficiente de correlación entre Y y Z es _ _ _ _ _ _ _ _.
(6) Supongamos que la población X obedece a una distribución exponencial con un parámetro de 2 y es una muestra aleatoria simple de la población
2. Preguntas de opción múltiple (esta pregunta tiene 6 preguntas, cada pregunta vale 4 puntos y la puntuación total es 24 puntos. Solo una de las cuatro opciones dadas en cada pregunta cumple con los requisitos del cuestionario). pregunta. El número antes de la opción seleccionada Complete las letras entre paréntesis después de la pregunta)
(1) Supongamos que f(x) es una función impar distinta de cero y existe, entonces la función
(a) Izquierda El límite lateral no existe cuando x=0. (b) Hay una discontinuidad de salto x=0.
(c) El límite derecho no existe cuando x=0. (d) Es suficiente aplicar el teorema de Rolle al punto x=0. La condición f (0) + f (1) + f (2) = 3 es equivalente a convertir el problema a 1 entre los valores máximos de f (x). Finalmente, se puede utilizar el teorema del valor intermedio.
Debido a que f(x) es continua en el mundo y diferenciable en (c, 3), se puede ver por el teorema de Rolle que debe existir, lo que hace.
Comentarios: El teorema del valor medio, el teorema del valor medio diferencial y el teorema del valor medio integral son puntos de conocimiento común y, por lo general, se prueban en pares. Este problema es un ejemplo típico de la combinación del teorema del valor medio y el teorema del valor medio diferencial.
Nueve, (la puntuación total para esta pregunta es 13)
Ecuaciones lineales homogéneas conocidas
Al intentar discutir la relación entre B y B,
(1) El sistema de ecuaciones solo tiene soluciones cero;
(2) El sistema de ecuaciones tiene soluciones distintas de cero. Cuando hay una solución distinta de cero, encuentre el sistema de solución básica del sistema de ecuaciones.
El número de ecuaciones analíticas es igual al número de incógnitas. La pregunta se transforma en si el determinante de la matriz de coeficientes es cero. El cálculo del determinante del coeficiente tiene características obvias: todos los elementos correspondientes en la columna son iguales cuando se suman. Puedes calcular el valor del determinante sumando primero todos los elementos correspondientes en la columna, luego encontrando los factores comunes y luego multiplicando (-1) en la primera fila por las otras filas.
Solución detallada al determinante de los coeficientes de la ecuación
=
(1) Cuando y cuando, rango (A)=n, el sistema de ecuaciones solo tiene solución cero.
(2) Cuando b=0, la misma ecuación solución de la ecuación original es
Se puede ver que no todas son cero. Se puede suponer que el sistema de solución básico de la ecuación original es
, ,
La matriz de coeficientes de la ecuación original se puede simplificar a
(multiplicar -1 en la línea 1 por otras filas, luego multiplica la fila 2 por la fila n)
(Multiplica el número de filas n a la fila 2 por la fila 1, luego mueve la fila 1 a la última fila)
>Así, la misma ecuación solución de la ecuación original se obtiene de la siguiente manera
, , .
El sistema solución básico de la ecuación original es
De hecho, comenta sobre este tema La dificultad también se puede analizar de esta manera: en este momento, el rango de la matriz de coeficientes es n-1 (hay una subfórmula de orden n-1 que no es cero), que obviamente es una solución distinta de cero del sistema de ecuaciones y puede usarse como sistema de solución básico.
Diez, (la puntuación total de esta pregunta es 13)
Establecer forma cuadrática
,
Los valores propios de la matriz cuadrática A La suma es 1 y el producto de valores propios es -12.
(3) Encuentre los valores de a y b;
(4) Utilice la transformación ortogonal para convertir la forma cuadrática a la forma estándar y escriba la transformación ortogonal y la matriz de forma ortogonal correspondiente.
La suma de los valores propios es la suma de los elementos de la diagonal principal de A, y el producto de los valores propios es el determinante de A, de donde se obtienen los valores de A y Se puede obtener B. Encuentre además los valores propios y los vectores propios de a, ortogonalice los vectores propios con los mismos valores propios (si es necesario), luego unifique los vectores propios y construya una matriz basada en esto como una columna, que es la matriz ortogonal resultante.
(1) La matriz del tipo cuadrático F se detalla a continuación
Supongamos que el valor propio de A es la pregunta, hay
,
La solución es a = 1, b =-2.
(2) Obtener el valor propio de a a través del polinomio característico de la matriz A
,
Para resolver ecuaciones lineales homogéneas, Se obtiene el sistema de solución básico.
,
Para resolver ecuaciones lineales homogéneas se obtiene el sistema de solución básico.
Debido a que ya es un grupo de vectores ortogonales, para obtener un grupo de vectores ortogonales regulares, solo necesitas unificarlo, obteniendo así
, ,
Matriz de orden
,
Entonces q es una matriz ortogonal. Bajo la transformación ortogonal, primero encuentre el polinomio característico y luego use la relación entre raíces y coeficientes para determinar:
El polinomio característico de la matriz A correspondiente al tipo cuadrático F es
Supongamos que el valor propio de a es, entonces lo establece el problema
,
La solución es a = 1, b = 2.
Once, (la puntuación total para esta pregunta es 13)
Supongamos que la densidad de probabilidad de la variable aleatoria x es
F(x) es la distribución función de X, encuentre la función de distribución aleatoria de la variable Y=F(X).
Primero puede encontrar la forma específica de la función de distribución F (x) para determinar Y = F (X), y luego encontrar la función de distribución de Y de acuerdo con la definición. Tenga en cuenta que primero debe determinar el rango de valores de Y=F(X) y luego analizar Y en secciones.
La explicación detallada es fácil de ver. Cuando X
Sí, hay
Supongamos que G (y) es una variable aleatoria Y = F (X). función de distribución. G(y)=1.
Sí, existe
=
=
Por lo tanto, la función de distribución de Y=F(X) es
Explicación De hecho, en este problema X puede ser cualquier variable aleatoria continua, Y=F(X) todavía obedece a la distribución uniforme:
Cuando y < 0, G(y) = 0;
g(y)= 1;
Cuando 0,
=
=
Doce, ( La puntuación máxima para esta pregunta es 13)
Supongamos que las variables aleatorias X e Y son independientes, donde la distribución de probabilidad de X es
,
y la probabilidad la densidad de y es f(y). Encuentre la densidad de probabilidad g (u) de la variable aleatoria u = x+y.
Utilice el método de la función de distribución para analizar y encontrar la distribución de la función de variable aleatoria bidimensional, que generalmente se convierte en encontrar la probabilidad correspondiente. Tenga en cuenta que solo hay dos valores posibles de x y la probabilidad se puede calcular utilizando la fórmula de probabilidad total.
Supongamos que F(y) es la función de distribución detallada de Y, luego, a partir de la fórmula de probabilidad total, podemos saber que la función de distribución de U=X+Y es la siguiente
=
= .
Dado que x e y son independientes, se puede ver que
g(u)= 1
=
De esta forma, obtenemos la densidad de probabilidad de u.
=
Explicación: Esta pregunta es un nuevo tipo de pregunta. Es difícil y completo encontrar la distribución de la suma de dos variables aleatorias. Una de ellas es continua y la otra. es discreto. Requiere calcular usando la fórmula de probabilidad completa.