2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética La compatibilidad de la geometría euclidiana se puede atribuir a la compatibilidad de los axiomas de la aritmética. Hilbert propuso una vez utilizar el método de la teoría de la prueba del plan formalista para demostrarlo. El teorema de incompletitud publicado por Gödel en 2008+0931 refuta esta opinión. En 2008+0936, el matemático alemán GNC demostró la compatibilidad de los axiomas aritméticos mediante inducción transfinita. 49860. 48868888681
El "Volumen de Matemáticas de la Enciclopedia de China" publicado en 1988 señaló que el problema de compatibilidad matemática no se ha resuelto.
3. Los volúmenes de dos tetraedros con bases iguales y alturas iguales son iguales.
El problema es que hay dos tetraedros con lados iguales y alturas iguales, y no se puede descomponer en un número finito de tetraedros pequeños para hacer que los dos tetraedros sean congruentes. M.W. Dean respondió afirmativamente a esta pregunta en 1900.
4. El problema de utilizar una línea recta como distancia más corta entre dos puntos es demasiado general. Hay muchas geometrías que satisfacen esta propiedad, por lo que es necesario agregar algunas restricciones. En 1973, el matemático soviético Pogrelov anunció que había resuelto este problema bajo la condición de distancia simétrica.
La "Enciclopedia de China" decía que después de Hilbert, ha habido muchos avances en la construcción y discusión de varias geometrías métricas especiales, pero el problema no se ha resuelto.
5. Concepto de mentira del grupo de transformación continua. La cuestión de si no se supone que las funciones que definen este grupo son diferenciables se denomina simplemente analiticidad de grupos continuos, es decir, ¿debe todo grupo euclidiano local ser un grupo de Lie? Por von Neumann (1933, para el caso de grupos compactos), Bandeli Genya (1939, para el caso de grupos conmutativos) y Sheva Bode (1941, para el caso de grupos solubles), 1952, por Gri Sen.
6. Axiomatización de la física Hilbert sugirió que toda la física debería derivarse utilizando métodos axiomáticos matemáticos, empezando por la probabilidad y la mecánica. En 1938+0933, el matemático soviético Andrei Kolmogorov realizó la axiomatización de la teoría de la probabilidad. Posteriormente logró grandes éxitos en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. Sin embargo, muchos dudan de que la física pueda ser completamente axiomática.
7. Números irracionales y trascendencia de algunos números En 1934, A.O Gelfond y T. Schneider resolvieron de forma independiente la segunda mitad del problema, es decir, demostraron que α β para cualquier número algebraico α ≠ 0, 1 y cualquier número irracional algebraico La trascendencia de β.
8. Los problemas de números primos incluyen la conjetura de Riemann, la conjetura de Goldbach y los problemas de números primos gemelos. En general, todavía es necesario resolver la hipótesis de Riemann. El mejor resultado de la conjetura de Goldbach pertenece a Chen Jingrun (1966), pero aún está lejos de estar resuelto. El mejor resultado actual en el problema de los primos gemelos también pertenece a Chen Jingrun.
9. Demuestra la ley de reciprocidad más general en cualquier campo numérico. Este problema ha sido resuelto por el matemático japonés Takagi Masaharu (1921) y el matemático alemán Aydin (1927).
10. La solubilidad de la ecuación diofántica se puede utilizar para encontrar las raíces enteras de una ecuación de coeficiente integral, lo que se denomina solubilidad de la ecuación diofántica. Hilbert preguntó si se podría utilizar un algoritmo general que constara de pasos finitos para determinar la solubilidad de una ecuación diofántica. En 1970, Ío. B Matiyasevich de la Unión Soviética demostró que el algoritmo que Hilbert esperaba no existía.
11. H cuadrática con coeficientes algebraicos arbitrarios Hasse (1929) y C. L. Siegel (1936, 1951) obtuvieron importantes resultados sobre este problema.
12. El problema de extender el teorema de Crocker sobre campos abelianos a campos de números racionales algebraicos arbitrarios tiene sólo algunos resultados esporádicos y está lejos de estar completamente resuelto.
13. Es imposible resolver una ecuación general de séptimo grado con una función con sólo dos variables.
Las raíces de la séptima ecuación dependen de tres parámetros A, B, C, es decir, x=x (a, B, C). ¿Se puede representar esta función como una función binaria? El matemático soviético Arnold resolvió el caso de funciones continuas (1957) y Vishkin lo generalizó al caso de funciones continuas diferenciables (1964). Sin embargo, si se requiere una función de análisis, el problema aún no se resuelve.
14. Demostrar la finitud de un sistema de funciones completo, que se relaciona con invariantes algebraicas. En 1958, el matemático japonés Masayo Nagata dio un contraejemplo.
15. Un problema típico basado estrictamente en el cálculo de conteo de Schubert es: hay cuatro líneas rectas en un espacio tridimensional. ¿Cuántas rectas pueden cortar las cuatro rectas? Schubert dio una solución intuitiva. Hilbert exigió que el problema se generalizara y se le diera una base rigurosa. En la actualidad existen algunos métodos computables que no están muy relacionados con la geometría algebraica. Pero todavía no se ha establecido una base rigurosa.
16. Los problemas topológicos de curvas algebraicas y de curvas y superficies algebraicas se dividen en dos partes. La primera parte trata del número máximo de curvas de rama cerrada en curvas algebraicas. La segunda parte requiere una discusión del número máximo y las posiciones relativas de los ciclos límite, donde X e Y son polinomios de grado n de. La conclusión es errónea y un matemático chino ha dado un contraejemplo.
17. La suma de cuadrados en forma semidefinida positiva significa un polinomio con coeficientes reales n para todos los arreglos (x1, x2,..., xn). ¿Se puede escribir como suma de cuadrados? En 1927 Atin demostró que tenía razón.
18. Los matemáticos alemanes Biber Mach (1910) y Albert Einstein (1928) resolvieron parcialmente el problema de la construcción del espacio con poliedros congruentes.
19. Pocas personas han estudiado si la solución de problemas de variación canónica debe ser analítica. Bernstein y Petrovsky ya habían obtenido algunos resultados.
20. Los problemas generales de valores en la frontera han progresado rápidamente y se han convertido en una rama importante de las matemáticas. Aún bajo investigación.
21. Los trabajos del propio Hilbert (1905) y H. Rolle (1957) han demostrado la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales lineales para un grupo de valores único dado.
22. La naturaleza unilobulada de las funciones analíticas compuestas de funciones automorfas implica la teoría de las superficies riemannianas duras. P. Cobb hizo un avance importante en 1907, pero otros aspectos aún no han sido resueltos.
23. El mayor desarrollo del cálculo de variaciones no es un problema matemático claro, sino una visión general del cálculo de variaciones, que se ha desarrollado mucho desde el siglo XX.
Estas 23 preguntas involucran las áreas más importantes de las matemáticas modernas y promovieron el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX.