Sección 1 Europa medieval
Durante los períodos prósperos de la civilización babilónica, la civilización egipcia, la civilización china, la civilización india, la civilización griega y la civilización romana, Europa (griega y (excepto Italia) todavía se encontraban en el período de civilización primitiva, y nuevas culturas comenzaron a aparecer alrededor del año 500 d.C. Los siglos V al XI fueron un período oscuro en la historia europea. La Iglesia católica se convirtió en el poder absoluto en la sociedad europea, y el gobierno religioso feudal hizo que la gente corriente creyera en el cielo y buscara la otra vida, volviéndose así indiferente a la vida secular y desinteresada por la naturaleza. La iglesia predicaba la verdad de la revelación y tenía la autoridad absoluta para interpretar esta verdad, lo que llevó a la supresión de la razón y a la civilización europea a un estado de estancamiento durante toda la Edad Media.
Debido a que los romanos enfatizaron la practicidad en lugar de desarrollar las matemáticas abstractas, esto también tuvo un cierto impacto en las matemáticas europeas después del colapso del Imperio Romano. Al final, Europa en la Edad Media no logró nada en el campo de las matemáticas. Sin embargo, debido a las necesidades de la educación religiosa, también existen algunos libros de texto de aritmética y geometría de bajo nivel. Boizi (alrededor de 480-524), un romano, escribió geometría, aritmética y otros libros de texto en latín basados en materiales griegos. El contenido de geometría sólo incluye algunas proposiciones de los Tomos 1 y 3 y 4 de Geometría, así como algunas medidas sencillas. La aritmética se basa en un sencillo libro escrito por Nicómaco hace cuatrocientos años. Un libro tan sencillo siempre ha sido un libro de texto estándar en las escuelas religiosas europeas. Además, durante este período, el inglés Beda (674~735) y el francés Gerberto (alrededor de 950~1003, el primer cristiano que estudió en una escuela musulmana española) también discutieron sobre matemáticas. El primero estudió notación en aritmética y se dice que el segundo pudo haber traído los números arábigos indios a Europa.
No fue hasta el siglo XII d.C. que las matemáticas europeas mostraron signos de recuperación. La traducción y difusión de obras en árabe y griego comenzaron a estimular este resurgimiento. Alrededor de 1100, los europeos entraron en contacto con los árabes del Mediterráneo y Cercano Oriente y los bizantinos del Imperio Romano de Oriente a través del comercio y los viajes. Las Cruzadas llevaron a los europeos al mundo árabe mediante la apropiación de tierras. A partir de entonces, los europeos aprendieron los clásicos griegos y orientales de los árabes y bizantinos, lo que estimuló su búsqueda, exploración y estudio de estos trabajos académicos, que eventualmente desembocaron en la locura de las matemáticas europeas durante el Renacimiento. Como puesto de avanzada del Renacimiento, Italia se integró fácilmente con civilizaciones externas debido a su especial ubicación geográfica y también se convirtió en un crisol de culturas orientales y occidentales. La ruta de los antiguos intercambios académicos en Europa occidental se muestra en la siguiente figura.
La traducción de obras matemáticas incluye principalmente "Elementos de geometría" y "Tabla astronómica Hua" traducidas por la británica Adelaida (alrededor de 1120). El italiano Platón (65438 + primera mitad del siglo II) tradujo la astronomía de Albatani, la geometría esférica de Theodore Hughes y otras obras. Gherardo (1114 ~ 1187), el mayor traductor del siglo XII, tradujo más de 90 obras árabes al latín, incluidas la "Colección", los "Elementos" de Ptolomeo y la de Hua. Por tanto, se puede decir que el siglo XII fue la era de la traducción de las matemáticas europeas.
Después de la Edad Media europea, el primer matemático influyente fue Fibonacci (1170 ~ 1250). En sus primeros años estudió aritmética con los árabes del norte de África con su padre. Posteriormente viajó a varios países del Mediterráneo y regresó a Italia para escribir "Abbache" (1202). Esta obra maestra trata principalmente sobre obras matemáticas antiguas chinas, indias y griegas, incluidos números arábigos indios, aritmética de fracciones, métodos de raíces, ecuaciones cuadráticas y cúbicas, ecuaciones indefinidas, así como la mayoría de los contenidos de geometría y trigonometría griega (como las matemáticas chinas). ). "El problema de Sun Tzu" y "El problema de las cien gallinas" aparecen en este libro). En particular, el libro introdujo sistemáticamente los números indios e influyó en la faceta de las matemáticas europeas. El "Libro del Ábaco" puede verse como el toque de atención para que las matemáticas europeas revivan después de una larga noche.
El proceso de recuperación de las matemáticas europeas es muy tortuoso. Desde el siglo XII hasta mediados del XV, el ala escolástica de la iglesia utilizó los elementos negativos de los escritos griegos reintroducidos para resistir el progreso científico. En particular, consideran que algunos estudios de Aristóteles y Ptolomeo son dogmas absolutamente correctos e intentan seguir utilizando este nuevo autoritarismo para limitar las mentes de las personas. El verdadero resurgimiento de las matemáticas europeas se produciría en los siglos XV y XVI. Durante el clímax del Renacimiento, el desarrollo de las matemáticas estuvo estrechamente integrado con la innovación científica. Los representantes del Renacimiento enfatizaron mucho la importancia de las matemáticas para comprender la naturaleza y explorar la verdad.
Leonardo da Vinci (1452~1519) dijo: "Si una persona duda de la extrema confiabilidad de las matemáticas, caerá en la confusión y nunca podrá resolver las disputas en la ciencia sofística, lo que sólo conducirá a interminables conversaciones vacías. ... ..Porque las discusiones de la gente no pueden llamarse ciencia a menos que sean explicadas y demostradas usando las matemáticas "Galileo simplemente creía que el universo "está escrito en el lenguaje de las matemáticas". El desarrollo de tendencias matemáticas en la ciencia ha promovido la prosperidad de las matemáticas mismas. La siguiente es una breve introducción a aspectos importantes del desarrollo de las matemáticas durante este período.
Sección 2 Transición a las Matemáticas Modernas
2.1 Álgebra
El progreso de los europeos en matemáticas comenzó con el álgebra, que fue el más destacado durante el Renacimiento, el más lejano -Alcanza el campo, abriendo la antesala de las matemáticas modernas. Incluye principalmente la solución de ecuaciones cúbicas y cuárticas y la introducción del álgebra simbólica.
El traductor Grado (1114 ~ 1187) tradujo el "Álgebra" de Varazimi al latín y comenzó a difundirse por Europa. Sin embargo, hasta el siglo XV, las ecuaciones cúbicas y cuárticas se consideraban tan difíciles de resolver como el problema de la cuadratura de un círculo. El primer avance lo logró alrededor de 1515 Scipionedel Ferro (1465 ~ 1526), profesor de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Descubrió la forma de (m, solución algebraica de la ecuación cúbica de n). En ese momento, los eruditos populares no revelaron los resultados de sus investigaciones y Ferro pasó en secreto su solución a su alumno Antonio María Fio. Al mismo tiempo, ¿otro matemático italiano, Niccolò Fontana, en 1499? ~1557, apodado Tartaglia, también afirmó ser descomponible en (m, n > 0) ecuaciones cúbicas. Entonces Feo comenzó a desafiar a Tattaglia, exigiéndoles que resolvieran las trece ecuaciones cúbicas propuestas por la otra parte. Resulta que Tattaglia resolvió rápidamente formas y formas (m, n > 0), mientras que Feo solo pudo resolver ecuaciones del primer tipo. Tattaglia tampoco publicó su solución. A petición repetida de G. Cardano (1501~1576), un erudito que enseñaba y practicaba la medicina en Milán, Tattaglia le enseñó la solución. Pronto, Cardin rompió su promesa y publicó estas soluciones en Ars magna, 1545). La solución a la ecuación cúbica x3+px= q incluida en Dafa considera esencialmente la identidad (a-b)3+3ab(a-b) = a3-b3.
Si eliges A y B, 3ab= p, a3-b3 = q, (*)
No es difícil calcular a y b a partir de (*).
a = b=
Entonces, obtener a-b es la x esperada, que las generaciones posteriores denominan fórmula de Cardan.
Poco después de la solución de la ecuación cúbica, en 1540, el matemático italiano T. Dacoi le hizo a Cardan una pregunta sobre la ecuación de cuarto grado. Para resolverlo, Cardin le pidió a su alumno Lodovich Ferrari (1522 ~ 1565) que lo resolviera, y su solución también fue escrita por Cardin en el "Libro Grande". La solución es simplificar la ecuación de cuarto grado general mediante el uso de transformaciones, y además
Entonces, para cualquier z, hay
Luego elija una z adecuada tal que el lado derecho de la La fórmula anterior es plana y completa, lo que en realidad hace que
simplemente lo hagas. Esta se convierte en la ecuación cúbica de z.
Los principales tipos de ecuaciones de cuarto grado discutidas por Ferrari son:
Por supuesto, es injusto decir que Cardin la plagió completamente, porque ha anotado en el libro que Tarzán le contó Esta solución, Taishan no dio ninguna prueba. Cardin no sólo generalizó el método de Tadeshi a ecuaciones cúbicas generales, sino que también añadió pruebas geométricas. El libro confunde los llamados casos "irreducibles" en la solución de ecuaciones cúbicas (los casos irreducibles son discriminantes), que esencialmente implican la representación compleja de números reales. En 1572, cuatro años después de la muerte de Karl Marx, el matemático italiano R. Bombelli (alrededor de 1526-1573) introdujo números imaginarios en su libro de texto "Álgebra" para resolver la irreductibilidad de ecuaciones cúbicas y los expresó como DIMMRQ11. -11. Cardan creía que las raíces complejas aparecen en pares (esta conjetura fue demostrada más tarde por Newton (1642~1727) en su "Aritmética Universal"), y se dio cuenta de que las ecuaciones cúbicas tienen tres raíces y las ecuaciones cuárticas tienen cuatro raíces.
Sobre esta base, el holandés Albert Girard (1593 ~ 1632) hizo más inferencias en "Nuevo descubrimiento del álgebra" (1629): Para ecuaciones polinómicas de n grados, si se tiene en cuenta la imposibilidad (raíces complejas), incluso si hay múltiples raíces, debería haber n raíces. Sin embargo, no se proporcionó ninguna prueba. Cardin también descubrió que la suma de las tres raíces de una ecuación cúbica es igual al recíproco del coeficiente del término x2, la suma de cada dos productos es igual al coeficiente del término x, y así sucesivamente. La relación entre raíces y coeficientes fue resuelta posteriormente por David (F. Vita, 1540 ~ 1603), Newton y Gregory (James Gregory, 1638).
En Francia, el matemático Veda también escribió varios libros sobre teoría de ecuaciones, como "Introducción a los métodos analíticos" (1591), "Sobre la disposición y corrección de ecuaciones" (1615), "Valores numéricos efectivos". "Solución" (1600). Los Vedas dan aproximaciones a ecuaciones algebraicas. En 1637, Descartes (1596 ~ 1650) utilizó por primera vez el método del coeficiente indeterminado para descomponer la ecuación de cuarto grado en dos ecuaciones cuadráticas. El teorema de factorización del que hablamos hoy fue propuesto por primera vez por Descartes en Geometría. Dijo: f (x) es divisible por (x-a) si y sólo si A es raíz de f (x) = 0. También demostró que si una ecuación cúbica con coeficientes racionales tiene raíces racionales, un polinomio se puede expresar como producto de factores con coeficientes racionales, citando el principio del método de los coeficientes indeterminados. Descartes no lo demostró geométricamente. La conclusión de que una ecuación polinómica de grado n debe tener n raíces, y lo que hoy se llama la "regla de los signos cartesianos": el número máximo de raíces positivas de una ecuación polinómica f(x) = 0 es igual al número de cambios de signo del coeficiente, y el número máximo de raíces negativas es igual a dos El número de apariciones consecutivas de un signo positivo y dos signos negativos. A lo largo de la obra de Descartes, no es difícil encontrar que inicialmente estableció el método moderno de raíces racionales de ecuaciones polinómicas.
El estudio de la teoría de ecuaciones y el álgebra europeos durante el Renacimiento es una página maravillosa en la historia de las matemáticas. El trabajo italiano sobre la resolución de ecuaciones cúbicas y cuárticas fue el punto de partida de una serie larga y de gran alcance de exploraciones en la teoría de ecuaciones algebraicas de orden superior en matemáticas a lo largo de los siglos XVII y XVIII.
El progreso en álgebra también radica en la introducción de un mejor sistema de notación, lo cual es muy importante para el desarrollo del álgebra en sí y el desarrollo del análisis. Precisamente gracias al establecimiento de un sistema simbólico el álgebra se convierte en ciencia. Uno de los signos más obvios y destacados de las matemáticas modernas es el uso extensivo de símbolos matemáticos, que refleja el alto grado de abstracción y simplicidad de las matemáticas. Otro avance importante en álgebra durante el Renacimiento fue la introducción sistemática del álgebra simbólica.
Aunque los egipcios, griegos e indios utilizaban abreviaturas y símbolos esporádicamente, y los matemáticos chinos de las dinastías Song y Yuan introdujeron Tianyuan, Diyuan, Renyuan y Wuyuan para representar cantidades desconocidas, no se dieron cuenta de ese significado. de hacer. Sólo Diofanto hizo el uso consciente de símbolos para hacer que el pensamiento y la escritura algebraicos fueran más compactos y eficientes. Quizás como resultado de la introducción de la imprenta en Europa, aunque la forma de escritura de las obras matemáticas europeas en el siglo XV y principios del XVI era principalmente en forma de artículos, era popular el uso de algunas palabras especiales y abreviaturas de símbolos matemáticos específicos. Entre los resúmenes de las propiedades de la aritmética del monje italiano L. Pacioli (alrededor de 1445 ~ 1509) ~ 1567), la geometría y la proporción, la aritmética integral (1544) y la búsqueda de raíces de C. Rudolff (alrededor de 1500 ~ 1545) son particularmente significativo.
La sistematización de la notación matemática se atribuye por primera vez al matemático francés Veda, cuya introducción de su sistema de notación condujo a los cambios más significativos en las propiedades del álgebra. David era originalmente un abogado y político que estudiaba matemáticas en su tiempo libre. Sirvió en el Consejo de Bretaña y posteriormente como asesor del Consejo del Príncipe Enrique de Navarra. Cuando se sintió frustrado políticamente, se dedicó a la investigación matemática de 1584 a 1589, estudiando a Cardin, Tattaglia, Bombelli y Steven (Steven, 1549). De estas obras, especialmente las de Diofanto, sacó la idea del uso de las letras. En "Introducción al análisis" (1591), utilizó conscientemente por primera vez letras y símbolos algebraicos sistemáticos, donde las consonantes representaban cantidades conocidas y las vocales representaban cantidades desconocidas. Llamó al álgebra simbólica "la aritmética de clases". Al mismo tiempo, se aclaró la división entre aritmética y álgebra, y se creía que las operaciones algebraicas debían aplicarse a clases o formas de cosas, y las operaciones aritméticas debían aplicarse a números específicos. Esto hace que el álgebra sea una materia que estudia tipos generales de formas y ecuaciones, y sus aplicaciones están más extendidas debido a su naturaleza abstracta.
El enfoque de David fue apreciado por las generaciones posteriores y fue citado por "Nuevos descubrimientos en álgebra" de Girard y "Análisis práctico" de Outred (Otred, 1575 ~ 1660). Heredado y utilizado de manera flexible, especialmente a través de las obras de este último. la tendencia de utilizar símbolos matemáticos se hizo popular. Descartes mejoró el método algebraico utilizado por los Vedas. Primero usó las primeras letras latinas (a, b, c, d,...) para representar cantidades conocidas, y las últimas (x, y, z, w,...) para representar cantidades desconocidas. convertirse en un hábito hoy. Cambió la convención védica y adoptó coeficientes literales indiscriminadamente. El álgebra simbólica de David conservó el principio de homogeneidad, requiriendo que todos los términos de una ecuación fueran "homogéneos", es decir, que el volumen se suma al volumen y el área se suma al área. Este obstáculo también fue eliminado con el nacimiento de la geometría analítica de Descartes.
A finales del siglo XVII, los matemáticos europeos en general se dieron cuenta de que el uso deliberado de símbolos en matemáticas tenía buenos efectos. y generalizar problemas matemáticos. Sin embargo, se introdujeron demasiados símbolos al azar en ese momento. Los símbolos que usamos hoy en realidad son restos después de un largo período de eliminación.