Demostración:
1. Supongamos que G es un grupo abeliano, σ: x→ x (-1), demuestre que σ es una aplicación isomorfa.
(1) Supongamos que a, b∈G, a≠b, entonces σ(a)= a(-1)≠b(-1)=σ(b), entonces σ es inyectivo <; /p>
(2) Supongamos que b∈G, porque b = (b (-1)) (-1), entonces σ (b (-1)) = b, entonces σ es sobreyectivo
;(3) Sea a, b ∈ g, σ(ab)=(ab)(-1)= b(-1)a(-1)= a(-1)b.
En resumen, σ es una aplicación isomorfa;
2. Si σ: x→ x (-1) es una aplicación isomorfa.
Supongamos a, b∈G, entonces σ (a (-1)) = a, σ (b (-1)) = b.
ab=σ(a^(-1))σ(b^(-1))=σ(a^(-1)b^(-1))=σ((ba)^ (-1))=ba
Entonces G es un grupo abeliano.
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