Demuestre que un grupo G es un grupo conmutativo si y sólo si la inversa de la aplicación X a X es una aplicación isomórfica.

Cuando vi el tema de la teoría de grupos, me sentí muy familiar.

Demostración:

1. Supongamos que G es un grupo abeliano, σ: x→ x (-1), demuestre que σ es una aplicación isomorfa.

(1) Supongamos que a, b∈G, a≠b, entonces σ(a)= a(-1)≠b(-1)=σ(b), entonces σ es inyectivo <; /p>

(2) Supongamos que b∈G, porque b = (b (-1)) (-1), entonces σ (b (-1)) = b, entonces σ es sobreyectivo

;

(3) Sea a, b ∈ g, σ(ab)=(ab)(-1)= b(-1)a(-1)= a(-1)b.

En resumen, σ es una aplicación isomorfa;

2. Si σ: x→ x (-1) es una aplicación isomorfa.

Supongamos a, b∈G, entonces σ (a (-1)) = a, σ (b (-1)) = b.

ab=σ(a^(-1))σ(b^(-1))=σ(a^(-1)b^(-1))=σ((ba)^ (-1))=ba

Entonces G es un grupo abeliano.

Espero que esto ayude. Si el problema se resuelve, haga clic en el botón "Elegir una respuesta satisfactoria" a continuación.