Jiangsu Wang Haiping
Las secuencias son un contenido importante del álgebra de la escuela secundaria y la base para el aprendizaje de matemáticas avanzadas. Desempeñan un papel importante en el ingreso a la universidad. Exámenes y diversos concursos de matemáticas.
1. Sucesión aritmética y sucesión geométrica
Ejemplo 1. A={Aumentar la razón común de la secuencia geométrica}, B={Disminuir la razón común de la secuencia geométrica}, encontrar a ∩ B.
Solución: Supongamos q∈A, entonces q gt0 (de lo contrario esta serie es la serie de swing).
De an 1-an = a 1 qn-a 1 qn-1 = a 1 qn-1(q-1)> 0, obtenemos
Cuando a1 >; , entonces q gt1; cuando a1
Ejemplo 2. Encuentra la suma de los primeros n términos de la secuencia 1, (1 2), (1 2 22),...
Análisis: Para encontrar la suma de una serie, lo más importante es encontrar el término general de la serie, a partir del cual proponer algunas reglas. El término general es la suma de una serie geométrica. Supongamos que el término general de la serie es an, entonces an = 1 2 22... 2n-1 = = 2n-1.
sn =(2-1) (22-1) (23-1) … (2n-1)
=(2 22 23 … 2n)-n =-n = 2norte 1-norte-2.
Nota: Usar las siguientes fórmulas de suma utilizadas comúnmente para sumar es el método más básico e importante para sumar una secuencia.
La fórmula para la suma de la secuencia aritmética:
2. La fórmula para la suma de la secuencia aritmética:
4,
Suma de secuencia aritmética Los métodos de suma incluyen: suma mediante el método de suma de términos divididos; suma mediante el método de suma inversa; términos generales de una secuencia, etc.
Ejemplo 3. Se sabe que la tolerancia de la secuencia aritmética {an} es d=, S100=145. Sea s impar = A1 A3 A5 ... A99, S' = A3 A6 A9 ... A99, encuentre S impar, S.
Solución: Según el significado de la pregunta, podemos obtener S impar S par = 145.
Es decir, S impar (S impar 50d)=145, es decir, 2 impar 25=145, la solución es S impar=120.
Y de S100=145 obtenemos =145, por lo que obtenemos a1 a100=2.9.
S'=a3 a6 a9 ...... a99
=====1.7 33=56.1.
Explicación: La idea general es ¡Eficaz para resolver problemas de secuencia!
Ejemplo 4. En la secuencia {an}, a1=b(b≠0), los primeros n términos y Sn forman una serie geométrica con una razón común de q.
(1) Verificación: la secuencia {an} no es una serie geométrica;
(2) Sea bn = a 1s 1 a2 S2 ... ansn, |
Solución: (1) Prueba: Se sabe que S1 = A1 = B.
∫{ Sn } forma una serie geométrica, y la razón común es q.
∴sn=bqn-1, ∴sn-1=b qn-2 (n≥2 ).
Cuando n≥2, an = sn-sn-1 = bqn-1-bqn-2 = b(q-1)qn-2.
Por lo tanto, cuando q≠1, ==q,
Y ==q-1≠q, ∴{an} no es una serie geométrica.
Cuando q = 1 y n ≥ 2, an=0, entonces {an} no es una serie geométrica.
En resumen, {an} no es una serie geométrica.
(2)∵ | q | lt; 1. De (1) se puede ver que n≥2, a2, a3, a4,..., an constituye una serie geométrica con una razón común. de q, ∴a2S2, a3S3,…,anSn son series geométricas cuya razón común es q2.
∴bn=b2 a2s2(1 Q2 Q4 … q2n-4)
∫S2 = bq, a2=S2-S1=bq-b
∴ a2S2=b2q(q-1)
∴bn=b2 b2q(q-1)
∵|q|0,1600[()n-1]-4000×[ 1-()n] gt; 0
Simplificar, 5×()n 2×()n-7 gt;
Supongamos que x = () n, 5x 2 -7x 2>0?∴x1(levantarse)? Es decir ()n4, por lo que el valor mínimo n∈N de la fórmula anterior se mantiene en 5.
Por lo tanto, se necesitarán al menos cinco años de esfuerzos para llevar la tasa de ecologización del condado al 60%.
3. Inducción, conjetura y demostración
Ejemplo 7. Se sabe que la secuencia {an} satisface Sn an=(n2 3n-2), y la secuencia {bn} satisface b1=a1.
Y bn=an-an-1-1(n≥2).
(1) Intenta adivinar la fórmula general de la secuencia {an} para probar tu conclusión
Solución: (1)∫sn an =(N2 3n-2), S1 = A1, ∴2a 1 = (1 3×1-2.
∴a1==1-. Cuando n=2, hay 2a2=(22 3×2-2)=4, ∴a2 ==2-
Adivina, la fórmula general de la secuencia {an} es an=n-
(2) Si cn=b1 b2...bn, entonces el valor de <. /p>
Cuando n=3, 3a3=8, ∴a3==3-.
Se demuestra por inducción matemática de la siguiente manera:
①Cuando n=1 Cuando, a1=1-=, la ecuación se cumple
② Supongamos que n=k, la ecuación ak=k- se cumple, entonces
Cuando n=k 1. , AK 1 =. Cuando SK 1-SK =[-AK 1]-[-AK], ∴2 ak 1=k 2 ak, 2 ak 1=k 2 (k-),
∴ ak 1=(k 1) -es decir, cuando n=k 1, la ecuación también se cumple
En resumen, sabemos que an=n- se cumple para todos los números naturales n /p>.
(2)∵b1=a1=, bn = an-an-1-1 =[n-]-[(n-1)-]-1 =
∴ =[1. -()n]=1. ∴cn=b1 b2 … bn=1-()n
Ejemplo 8. Se sabe que la secuencia {an} satisface a1=2, para cualquier n∈N. , hay >: 0, (N 1)an2 an 1-N an 12 = 0. También se sabe que la secuencia {bn} satisface: bn=2n-1 1..
( I) Encontrar Encontrar el término general an de la secuencia {an} y sus primeros n términos y Sn;
(ii) Encontrar los primeros n términos de la secuencia {bn} y t n
( 3) Adivina la relación entre Sn y Tn, y explica el motivo.
Solución: (n 1)an2 an an 1-n an 12 = 0. Es una homogeneidad cuadrática aproximadamente. an y an 1. Expresión, por lo que podemos usar la fórmula raíz para obtener una relación más obvia entre an y an 1, y luego podemos calcular (ⅰ)∵an gt 0 (n∈N), y (N 1) an2 an 1-N an 12 = 0,
∴ (n 1)()2 ()-n=0
∴=-1 o =
<. p>∵an gt; 0(n∈N), ∴=.∴=
Y a1=2, entonces, an=2n.
∴sn=a1 a2 a3 …… an=2(1 2 3…… n)=n2 n.
(ⅱ)∵bn = 2n-1 1,?
∴tn=b1 b2 b3 …… bn = 20 21 22 …… 2n-1 n = 2n n-1
(ⅲ)Tn-Sn = 2n-N2-1 . ?
Cuando n=1, T1-S1 = 0, ∴t 1 = s 1;
Cuando n=2, T2-S2=-1,? ∴T2 Cuando n=3, T3-S3=-2. T3 cuando n=4, T4-S4=-1,? ∴t4s5;
Cuando n=6, T6-S6=27,? ∴t6gt; S6;
Conjetura: Cuando n≥5, TN>;Sn. Eso es 2n gtN2 1. Utilice la inducción matemática para demostrar:?
1 Cuando n=5, se ha verificado lo primero;
2 Si n=k (k≥5), la proposición es verdadera, es decir, 2k >; . Establecido,
Entonces cuando n=k 1,
2k 1 = 2 2k gt 2(k2 1)= k2 k2 2≥k2 5k 2 gt; k 1)2 1.
Es decir, la proposición también es cierta cuando n=k 1 (k≥5).
Se puede ver en 1 y 2 anteriores que cuando n ≥ 5, hay TN > Sn. ;
En resumen, cuando n=1, t 1 = s 1; cuando 2 ≤ n
Nota: Tenga en cuenta que la tasa de crecimiento de 2n es más rápida que n2 1. Por tanto, en el proceso de observación e inducción, no podemos sacar la conclusión de que Tn ≤ Sn. Sólo porque Tn ≤ Sn de n=1 a n=4, deberíamos creer firmemente que debe existir, lo que hace que 2n >: N2 1, permitiendo así que el proceso de observación continúe.
Ejemplo 9. Se sabe que la función f(x)=x2-3, (x≤-3)
(1) Encuentra la función inversa f-1(x) de f(x);
(2) Recuerde A1 = 1, an =-f-1 (an-1) (n ≥ 2), escriba los valores de A2, A3, A4 y adivine la expresión de an . Luego pruébalo mediante inducción matemática.
Solución: (1) Sea y=f(x)= x2-3, (x≤-3), sea y2 = x2-3 (x ≤-), x =-y2 3.
Es decir, f-1(x)= -x2 3 (x≥0).
(2) Si a1=1 y an= -f-1(an-1) (n≥2 entero), a2 =-f-1 (a1) =-(-a).
a3=3 4=7, a4=3 7=10.
Según la inducción incompleta, podemos adivinar: an=3n-2 (n números naturales)
Utilizando inducción matemática se demuestra lo siguiente:
Cuando n =1, se establece la proposición a1=3×1-2 =1.
Suponiendo n=k (1≤k≤n), la proposición es verdadera: ak=3k-2.
Entonces, cuando n=k 1, ak 1=-f-1(ak).
=ak2 3 =3k-2 3 =3k 1-2
En resumen, an=3n-2 se aplica a todos los números naturales n.
Ejemplo 10. En la secuencia conocida {an}, a7=4, an 1=,.
(I) Si existe un número natural m, tal que cuando n≥m, an
(2) Si existe un número natural p, tal que cuando n≥p , siempre hay 13 y hay un
Entonces, cuando examinamos la relación entre un 1-2 y un-2, es fácil de obtener.
un 1-2=-2 =.
Se puede ver que cuando
Uno de los métodos es verificar uno por uno, es decir, el método de resolver an= mediante condiciones conocidas.
A partir de esto podemos calcular los términos 6º al 1º de esta secuencia desde a7 y sacar la conclusión.
Además, gracias a la solución anterior, también podemos plantearnos la siguiente pregunta: "Si un 1>2. podemos obtener una copia de gt2"
De an-2 = -2=No es difícil saber que la conclusión anterior es correcta.
Entonces hay m=10, entonces cuando n≥m, an
(2) La pregunta es equivalente a si existe un número natural p, de modo que cuando n≥p , siempre hay un -1-un 1-2 un <0.
Se puede obtener de (I): an-1-an 1-2 an=.
Ya sabemos que cuando n≥10, an
Observando los resultados del cálculo anterior, podemos ver: a100 y sacar la conclusión.
Explicación: (1) En resumen, la conjetura se basa en una observación cuidadosa y un análisis cuidadoso. No es agua sin fuente ni un árbol sin raíz. (2) Si el proceso de análisis anterior se escribe mediante inducción matemática, es bastante conciso, pero también oculta el proceso de pensamiento.
Cuarto, analice el problema de secuencia a partir de la fórmula de recursividad
Ejemplo 11. Supongamos que An es la suma de los primeros n términos de la serie {an}, An=(an-1), y la fórmula general de la serie {bn} es bn=4n 3.
(1) Encuentra la fórmula general de la secuencia {an};
(2) Ordena los términos generales de la serie {an} y {bn} en uno de menor a grande La nueva serie {dn}, demuestra que la fórmula general de la serie {dn} es dn = 32n 1;
(3) Sea el enésimo término de la serie {dn} la serie {bn } El r término en , Br es la suma de los primeros r términos de la serie {bn}, dn es la suma de los primeros n términos de la serie {dn}, Tn=Br-Dn.
Solución: (1) De An= (an-1), sabemos que An 1= (an 1-1).
∴an 1-an =(an 1-an)= an 1, es decir, =3.
Y a 1 = a 1 =(a 1-1), a1=3.
Entonces la sucesión {an} es una serie geométrica cuyo primer término es 3 y la razón común es 3. La fórmula general de la secuencia {an} es an=3n.
(2)∵32n 1 = 3 32n = 3(4-1)2n
= 3×(42n c 12n 42n-1(-1) … C2n2n-1 4 (-1) (-1)2n)
=4m 3
∴32n 1∈{bn}
Y el número 32n=(4-1 ) 2n.
= 42n c2n 1 42n-1(-1) … C2n2n-1 4(-1) (-1)2n
=(4k 1)
∴32n{bn}
Y la secuencia { an } = { 32n 1 } ∨{ 32n }
∴ dn=32n 1
(3) De 32n 1 = 4 r 3, sabemos que r=
∫Br = = r(2r 5)= 1
Dn= (1-9n)=(9n-1 )
∴Tn=Br-Dn=-(9n-1)
= entre 34n- 32n
∫(an)4 = 34n
∴=
Ejemplo 12. Se sabe que la función f(x) = x x2-A2(a >; 0)
(1) Encuentre la función inversa f-1(x) de f(x) y su dominio;
(2) La secuencia {an} satisface a 1 = 3an 1 = f-1an.
Supongamos que bn= y la suma de los primeros n elementos de la secuencia {bn} es Sn. Intente comparar la suma de Sn y Sn para demostrar su conclusión.
Solución: (1) Eleva ambos lados de y-x=x2-a2 para obtener x=
∫y-x = y-= = 0
∴y≥ a o -a ≤ y
Entonces f-1(x)=, su posición es [-a, 0)∩[a, ∞].
(2)∫an 1 = f-1(an)= 1
∴ bn 1 = … = () 2 = bn2 (Ambos lados se pueden resolver usando logaritmos)
Y a1 = 3a, b1 = =
∴bn=(bn-1)2=(bn-2)=(bn-3)
= …=(b1) =()
∴Sn=b1 b2 … bn
= ()2 () [() () … ()]= = 1-() n
Por lo tanto, cuando n
∫2n-1 =(1 1)n-1 = 1 c 1n-1 C2N-1 C3N-.
Entonces cuando n≥4, 2n-1 > 1 c 1n-1 C2n-1
=1 (n-1) >n 1
∴().
Cuando n=3, Sn = () 2 () = =
Entonces, cuando n≤3, Sn2, entonces a22, an >; an} disminuye monótonamente. Y porque an >: 2, entonces
An-2 = lt; (An-1-2)
lt()2(an-2-2) lt; .. .…2pq, a1, b1 no son cero, ∴ C22 ≠ C1 C3, por lo que {cn} no es una serie geométrica.
Nota: Esta pregunta es una pregunta de Matemáticas del Examen Nacional de Ingreso a la Universidad del año 2000. Hay muchas pruebas y se recomienda a los lectores que analicen este tema desde diferentes ángulos. Podemos sacar una conclusión más general.
Corolario 1: Supongamos que la secuencia {cn}, cn=an bn y a≠b, entonces la condición necesaria y suficiente para que la secuencia {cn 1-pcn} sea una serie geométrica es p=a o p = B.
Corolario 2: Supongamos que {an} y {bn} son dos series geométricas, entonces la condición necesaria y suficiente para que la secuencia {an bn} sea una serie geométrica es el denominador común de las secuencias {an} y {bn} La relación es igual.
Corolario 3: Las razones comunes son las series geométricas {an} y {bn} de A y B, A ≠ B, S y T son números reales que no son todos cero. La condición necesaria y suficiente para que cn=san tbn sea una serie geométrica es st=0.
Ejemplo 15. En la secuencia {an}, a1=8, a4=2, an 2=2an 1-an n∈N se satisfacen.
(1) Encuentra la fórmula general de la secuencia {an};
(2) Supongamos que sn = | >
(3) Supongamos que BN = (n∈N), TN = B1 B2…BN (n ∈ n), si existe un entero máximo m tal que para cualquier n∈N, existe TN >; existe, encuentre el valor m; si no está presente, explique por qué.
Solución: (1) es un 2=2an 1-an.
Un 2-an 1=an 1-an, lo que indica que {an} se convierte en una secuencia aritmética, d==-2.
-∴an=10-2n
(2) De an=10-2n≥0, n≤5.
Cuando n≤5, ∴, Sn=-n2 9n.
Cuando n >; a las 5 en punto, Sn=n2-9n 40.
Por lo tanto, Sn =-N2 9N 1≤N≤5 N2-9N 40N > 5(N∈N)
(3)bn===()
∴Tn= b1 b2 … bn
=[(1-) (-) (-) … (-)]=(1-)=
gt gtTN - 1 gt;
∴Siempre es un hecho que se realizará y requerirá tn gt