Empecemos con dos ejemplos
Las espigas de trigo de Sócrates
Platón le preguntó a Sócrates qué es el amor. Sócrates dijo, bueno, ve al campo de trigo, no mires atrás, sigue adelante, corta las espigas más grandes que encuentres y tráemelas. Todo el mundo sabe lo que pasó después: Platón siempre pensó que sucedería algo mejor, pero al final no consiguió ni una sola espiga de trigo.
Además, Merrill Flood planteó un problema clásico en la teoría de juegos: el dilema del prisionero también planteó un problema similar: Supongamos que hay una serie de pretendientes, registrados como 1, 2, 3, 4, 5. .n, solo puedes entrevistar a uno de ellos a la vez, y tienes que tomar una decisión cada vez, aceptar o rechazar, y estos pretendientes son buenos y malos, entonces, ¿cómo puedes seleccionar al mejor con mayor probabilidad?
En matemáticas, existe una constante llamada constante natural (también llamada número de Euler). La razón por la que este número se llama constante natural es porque muchas leyes de la naturaleza están relacionadas con este número. Sin embargo, este número no se descubrió originalmente en la naturaleza, sino que estaba relacionado con el interés compuesto en los bancos.
Imagina que si depositas tu dinero en un banco y la tasa de interés anual es 100, el dinero aumentará a (1 1) 1 = 2 veces después de un año. Si el banco no liquida los intereses de esta manera, sino que los calcula cada seis meses, pero la tasa de interés semestral es el 50% de la tasa de interés anual anterior, entonces el dinero después de un año aumentará a (1 0,5) 2 = 2,25 veces la cantidad original. De la misma forma, si el tipo de interés diario es 1/365, el dinero aumentará a (1 1/365)365≈2,71 veces al cabo de un año.
Es decir, a medida que se acorte el tiempo de liquidación, los ingresos finales serán cada vez mayores. Si el tiempo de liquidación es infinitamente corto, ¿el ingreso final será infinito? Este problema equivale a resolver el siguiente límite:
A través de una prueba matemática estricta, se puede ver que el límite anterior existe. No es infinito, sino una constante, ahora llamada constante natural e:
También se demuestra que la constante natural e es un número irracional, por lo que es un decimal infinitamente recurrente, con un valor específico de 2,71828.
De acuerdo con el desarrollo en serie de Taylor de la función exponencial basada en E, se puede derivar otra expresión de E:
Se puede observar que la suma de los recíprocos de los factoriales de los números naturales es exactamente E, por lo que esto puede reflejar la "naturalidad" de las constantes naturales.
? En la naturaleza, existen muchas leyes relacionadas con e, como el crecimiento, la reproducción y la decadencia de los seres vivos, que son infinitamente continuas, similares al interés compuesto infinito de un banco.
Las matemáticas en la vida
Parece que a mucha gente no le gustan las matemáticas. Muchos estudiantes suelen formular esta queja: "¿Por qué debería aprender estas cosas?". Normalmente no es necesario. "Pero la verdad es que, como adulto, comprender algunos conceptos matemáticos básicos es muy importante para la vida cotidiana. Necesitamos matemáticas para contar efectivo, calcular hipotecas y completar declaraciones de impuestos. De hecho, muchos asuntos financieros en el pasado facilitaron el desarrollo. de las matemáticas mismas. Por ejemplo, los números negativos se usaron originalmente para representar la deuda.
En la vida, a menudo nos referimos al concepto matemático de crecimiento exponencial en realidad se refiere a la cantidad de un sistema durante un período. de tiempo. Este crecimiento se duplicará, por supuesto, el número se puede duplicar, triplicar, veces n. El problema de la reproducción bacteriana es un ejemplo de crecimiento exponencial si el número de bacterias en una placa de Petri se duplica de vez en cuando. y su reproducción es ilimitada, su número crecerá exponencialmente
Otro ejemplo familiar de crecimiento exponencial es la Ley de Moore, que lleva el nombre de Gordon Moore, uno de los fundadores de Intel. En 1965, Moore notó que el tamaño. El número de transistores estaba disminuyendo rápidamente, lo que significaba que se podían incluir más transistores en los chips de computadora, por lo que predijo que la potencia de procesamiento de los chips se duplicaría cada dos años. El crecimiento exponencial ha estado ocurriendo durante décadas, pero muchos creen que la Ley de Moore pronto lo hará. caducan debido a limitaciones tecnológicas.
La magia de e
Ahora suponemos que hay un banco con una tasa de interés anual de 100. Si el período de cálculo de intereses (período de cálculo de intereses) es de un año, al final del año, 100 yuanes se convertirán en 200 yuanes. Si tienes la suerte de encontrar este banco, ahorra algo de dinero y tu dinero crecerá exponencialmente.
Si el periodo de interés es más corto, obtendrás más intereses. Por ejemplo, el período de cálculo de intereses de ese banco es de medio año. Después de medio año, se incluyen 50 yuanes en el capital y luego se calcula el interés para el siguiente período en base a esto. De esta manera, al final del año, además de los 100 yuanes de interés generados sobre el principal original, también se generarán 50 yuanes de interés después de medio año, que son 25 yuanes. De esta manera, el principal y los intereses finales que el banco devuelve al cliente son 225 yuanes, no 200 yuanes.
Si el período de cálculo de intereses es de un trimestre, entonces los intereses del trimestre anterior pueden acumular intereses y el capital final y los intereses al final del año son 244 años. Evidentemente, cuanto más corto sea el período de devengo de intereses, mayores serán el principal y los intereses finales. Pero a medida que acorte el período de acumulación de intereses, los intereses se acumularán cada vez menos. Si el período de acumulación de intereses es de 1 día, el capital y los intereses finales serán de 271 yuanes. En otras palabras, el principal y los intereses finales son 2,71 veces el principal original.
Entonces surge una pregunta: si el interés se calcula cada minuto, cada segundo o incluso en menos tiempo, ¿cuántas veces serán el capital y el interés finales? Los matemáticos no comprendieron este problema hasta el siglo XVII. En 1683, el matemático suizo Jacob Bernoulli encontró la respuesta: 2,718818... Este número es similar a π y es un número irracional. Los matemáticos llaman a este número constante natural, representada por la letra e.
Este modelo de crecimiento que incluye intereses cada minuto se llama crecimiento compuesto continuo. Mientras exista este modelo de crecimiento, aparecerá E. Los matemáticos también descubrieron que e es la constante más básica en matemáticas. Actualmente se encuentra en muchas disciplinas, incluidas la contabilidad, la física, la ingeniería, la estadística y la teoría de la probabilidad.
Encontrar el amor verdadero
El ejemplo más interesante de la aplicación de E es el problema de la secretaria. Imaginemos que 100 personas solicitan un puesto de secretariado. Fueron entrevistados en orden aleatorio, y el entrevistador entrevistaba a una persona a la vez. Después de la entrevista, deberá decidir si contratarlo de inmediato. Si decide no contratarlo en ese momento, no podrá volver a contratarlo; si lo contratan, toda la entrevista termina inmediatamente. Si el entrevistador quiere entrevistar a todos los solicitantes, equivale a rechazar a los primeros 99 solicitantes, y el último solicitante debe ser contratado independientemente de su capacidad. La pregunta es, ¿cuándo tomará el entrevistador la decisión para tener mayores posibilidades de conseguir al mejor candidato?
Después del análisis, los matemáticos creen que la mejor manera es entrevistar primero a algunas personas y luego, entre los solicitantes restantes, admitir a los mejores candidatos que sean mejores o estén más cerca de la última entrevista. Entonces, ¿a cuántas personas debería entrevistar primero? Este cálculo es un poco complicado, por lo que la respuesta te la dirá directamente: 100/e, que son unos 37. En otras palabras, cuando entreviste a 37 personas, elija la mejor como estándar y los candidatos posteriores conocerán a esa persona de inmediato. De hecho, este ejemplo también se puede aplicar a la búsqueda de objetos. Por ejemplo, si tienes la oportunidad de conocer a 100 personas, luego de conocer a 37 personas, puedes decidir enamorarte de una de las siguientes 63 personas.
Así que, los conocimientos matemáticos no sólo son útiles para calcular el dinero, sino que en ocasiones también pueden ayudarte a encontrar el amor verdadero.
¡Tu atención y reenvío son el mayor apoyo!