Introducción a la Conjetura de Kakutani: La Conjetura de Kauratz, también conocida como Conjetura 3N+1, Conjetura de Kakutani, Conjetura de Hasse, Conjetura de Ulam o Conjetura de Siracusa, significa que para cada entero positivo, si es un número impar, multiplícalo por 3 y suma 1. Si es un número par, divídelo por 2, y así sucesivamente, finalmente podrás obtener 1. Tomando un número como n = 6, de acuerdo con la fórmula anterior, podemos obtener 6→3→10→5→16→8→4→2→1. (El mayor número de pasos es 16, ** hay siete pasos), como n = 11. De acuerdo con la fórmula anterior, podemos obtener 11→34→17→52→26→13. (El número máximo de pasos es 40, * * * hay 13 pasos) Si n = 27, según la fórmula anterior: 27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→ 107→ 324. +0 → 274 → 137 → 412 → 206 → 103 → 310 → 155 → 466 → 233 → 700 → 350 → 175 → 526 → 263 → 790 → 395 → 1186 → 593 → 1780 → 890 → 445 → 65438 +0336 → 668 →334→167→502→251→754→377→1132→566→283→850→425→1276 →638→319→958→479→1438→719→2158→6543 8+0079→3238→1619→4858→ 2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232 →4616→23 08→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244 →122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10 →5→16→8→4→2→1. (El número más alto de pasos es 9232, y hay 111 pasos). Koraz conjetura que cualquier número entero positivo eventualmente obtendrá 1 después de los pasos de cálculo anteriores. Nota: Lo opuesto a la conjetura de Kakutani es el efecto mariposa. El valor inicial es extremadamente pequeño, lo que producirá una gran diferencia y 3x+1, no importa cuán grande sea el error, se recuperará por sí solo; 2. Pensamiento inverso (1) La conjetura de Kakutani se refiere a cualquier número natural. Si es un número par, divídelo por 2. Si es un número impar, multiplícalo por 3 y súmale 1. Finalmente, después de varias iteraciones se obtiene 1. En otras palabras, no importa cómo se repita, eventualmente llegará a 2n dividido por 2 y el resultado final es 1. Mientras haya potencias de 2 en el proceso iterativo, el problema está resuelto. En otras palabras, el primer nivel es 2 n (2) El segundo nivel es: después de multiplicar todos los números impares m por 3 y sumar 1, se obtiene: m 1 = (2 n-1)/3. En otras palabras, siempre que ingrese m1, puede regresar a 2 N en un solo paso. Por ejemplo, cuando n=4, m 1 = 5; O: 1+2^2 = 5. Cuando n=6; m1 = 21; O: 5+2^4 = 21. Cuando n=8; m1 = 85; O: 21+2^6 = 85. Cuando n=10;m1=341;341×3+1=1024. O: 85+2 8 = 341. Cuando n=12; m1 = 1365; O 341+2 10 = 1365. Cuando n=12;m5461; Es decir: m (x+1) = m (x)+2 n...; hasta el infinito, porque ya conocemos el teorema: cuando n es un número par, 3 (2n-1); 1) = m(x)+2^n. Después de ingresar cualquier número impar, el problema de M1 = 2 N-1)/3 (hay infinitos M1 = (2 N-1)/3) se resuelve y puede regresar a 2 N en un solo paso. Podemos encontrar fácilmente cualquier tamaño de m1. (3) El tercer nivel es: del primero se puede saber que hay infinitos números impares M 1 = (2 N-1)/3. Para cualquier número impar, solo ingresa 5; 341;…. El problema está resuelto.
Solo tomamos los primeros 5 como ejemplo. El número impar que puede devolver 5 es (5× 2 N-1)/3, como por ejemplo: (5×2 1-1)/3 = 3; =10; 10÷2 =5,5×2^3-1)/3=13;13×3+1=40;40÷8=5,5×2^5-1)/3=53;53×3+1 =160,160 ÷32=5 5×2^7-1)/3=213;213×3+1=640,640÷128=5. Cuando n=número impar, hay solución, hay infinitos M1 = (2 N-1)/3..es decir, 2 N | En otras palabras, siempre que se ingrese el problema de M 1 = (2 N-1)/3, el problema está completamente resuelto. Podemos encontrar fácilmente m 1 = (2 n-1)/3 arbitrariamente grande. (3), sabiendo así que hay infinitos números impares que se pueden devolver a 5. Para 13, solo podemos regresar a 13: hay 173;...; =metro(x)+2 ^norte×13. Por ejemplo, 17=m2, 17×3+1 = 52; 52÷4=13 17+2^2×13=69; ×13 =277;277×3+1=832;832÷64=13 277+2^6×13=1109;1109×3+1=3328;3328÷256=13. =4437 .;4437×3+1=13312;13312÷1024=13. …….. Hay infinitos m (x+1) = m (x)+2 n × 13. Pueden volver al 13. Simplemente regrese al problema y el problema estará resuelto. Podemos encontrar fácilmente m (x+1) = m (x)+2 n × 13 arbitrariamente grande. Vea el diagrama resumen a continuación: (Cada columna tiene valores infinitos y se puede extender horizontalmente sin repetición). Por ejemplo, el primer número en la esquina superior derecha es 33, 33×3+1 = 100, 100÷4 = 25; 25×3+1=76,76÷4=19; 58÷2= 29;29×3+1=88,88÷8=11;11×3+1=34,34÷2=17;17×3+1=52,52÷4=13;13× 3+1= 40,40÷8=5;5×3+1=16,16÷16=1. Cada número en la imagen se puede devolver al punto final 2 n. Por ejemplo: 177. 177×3+1=532,532÷4=133,133→25→19→29→11→17→13→5→2^n. 709× 3+1 = 2128, 2128÷16=133→25→19→29→11→17→13→5→2^n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se devuelve un número ilimitado de valores a cualquier columna y se devuelve un número ilimitado de valores a cualquier fila. Evidentemente, tal procedimiento podría continuar indefinidamente. En cualquier número natural A, (1) A. Si A es un número par, divide por 2 B. Si A es un número impar, multiplica por 3 y suma 1 para obtener el número B. (2) Sustituye B en A, y luego Después de ejecutar (1) durante varios pasos, el número es 1. Este tipo de adivinanzas se llama adivinanzas de esquina. Stuart Kurtz; Simon Janos, "Incertidumbre". "Problema generalizado de Coratz", Departamento de Ciencias de la Computación. Universidad de Chicago, 26 de diciembre de 2006.
Edite este párrafo para demostrar un error.
Demuestre que Kakutani (3n+1) es La forma más fácil de adivinar es que cualquier número par se puede convertir en 2 a o en un número impar multiplicado por 2 b. El primero debe ser 1 después de dividirlo continuamente por 2, porque solo tiene un factor primo de 2, y el segundo solo puede ser 1. dejar los números impares. Deja los números pares a un lado. Ahora solo quedan los números impares. Suponemos un número impar m, que se convierte en 3m+1 después de la operación. Si esta conjetura es incorrecta, entonces hay (3m+1)/2 c. = m, m no es igual a 1.
Probemos: cuando c = 1, 3m+1 = 2m,,, m =-1, descartar si no cumple los requisitos; cuando c = 2, 3m+1 = 4m,,, m = 1; no cumple con los requisitos, se desechará cuando c = 3, 3m+1 = 8m,,, m = 0,2 no cumple con los requisitos, se desechará cuando c = 4, 3m+1 = 16m,,, m = 1/; 13, no Si coincide, descartarlo;……………………………………………………………………………………………………………… …………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………… …………………………………………………………………………………………………………………… ………… ………………………………………………………………………………………………………………
Edite el análisis de errores de este párrafo
No estoy de acuerdo con la siguiente supuesta prueba: "Asumimos un número impar m, que realiza una operación y se convierte en 3m+1. Si esta conjetura es incorrecta, entonces hay (3m+1)/2 c = m, m No es igual a 1. Probemos: cuando c = 1, 3m+1 = 2m,,, m =-1, descartar si no coincide cuando c =; 2, 3m+1 = 4m,,, m = 1; si no cumple con los requisitos, será desechado cuando c = 3, 3m+1 = 8m,,, m = 0.2 Si no cumple con los requisitos; , será descartado; cuando c = 4, 3m + 1 = 16m,,, m = 1/13, deséchelo si no coincide;... Se puede ver que el número que puede anular la conjetura de Jiaogu está solo dentro el rango de 1 o menos, por lo que esta conjetura es correcta La ecuación (3m+1)/2 c = m es diferente alrededor de M. Aunque ambas M son números impares, ¡esta M no es otra M! Lo anterior no es más que decir que un número impar multiplicado por 3 más 1 debe ser divisible por 2 elevado a la enésima potencia. Por supuesto, el tamaño de N depende de la situación real. Sin embargo, ¡esta afirmación es absolutamente errónea! Si no lo crees, puedes intentarlo. Si sustituyes cualquier número impar M a la izquierda, la mayoría de los M de la derecha son diferentes de los de la izquierda. Esta prueba también tiene inconsistencias obvias. Anteriormente se asumió un número impar M, pero los resultados de M = 0,2 y M = 1/13 se obtuvieron más tarde. ¿Son estos los llamados números impares? Ni siquiera puedes notar la diferencia entre las dos M, y mucho menos probarlas. No vuelvas a cometer errores tan estúpidos, es cierto tener los pies en la tierra.
Edite la implementación del programa de este párrafo
Conjetura de Kakutani (secuencia de granizo) Código Java: /* * @ param int n, número de inicio * @ param int len, longitud de la lista, if longitud Muy largo, tal vez sin memoria * @ return list, list */public list
Promoción de la conjetura de Kakutani al editar este párrafo
La conjetura de Kakutani también se llama conjetura de Syracuse . Una generalización del mismo es el problema de Kratz. Hablemos brevemente de este problema: desde la década de 1950, un problema matemático tan extraño e interesante ha circulado ampliamente en la comunidad matemática internacional: dado un número natural, un número impar se convierte en 3x+1. Continuaremos modificando los números más adelante. Por ejemplo, si x=52, podemos obtener 20, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Si continuamos así, obtendremos un ciclo: (4, 2, 1). Prueba con otros números naturales y obtendrás el mismo resultado. Esto se llama la Conjetura de Siracusa. La transformación anterior en realidad está iterando la siguiente función {x/2 (x es un número par) C(x) = 3x+1 (x es un número impar). La pregunta es si partiendo de cualquier número natural y realizando un número finito de iteraciones en la función c, finalmente podemos obtener el ciclo (4, 2, 1), o equivalentemente, 65438+. Se dice que Kratz habló en un Congreso Internacional de Matemáticos en 1950, por lo que mucha gente lo llama el problema de Kratz. Pero luego muchas personas descubrieron de forma independiente el mismo problema. Por lo tanto, tal vez para evitar disputas sobre la propiedad del problema, mucha literatura lo llama el problema 3x+1. El atractivo del problema de Kratz es que una vez que aparece una potencia de 2 durante la iteración de C, el problema se resuelve fácilmente y hay infinitas potencias de 2.
Se cree que mientras el proceso de iteración sea lo suficientemente largo, el problema de la potencia de 2 se resolverá de forma positiva. Es esta creencia la que ha desencadenado una ola de "problemas 3x+1" donde quiera que vaya el problema. Las universidades y las instituciones de investigación están involucradas en este tema en diversos grados. Muchos matemáticos comenzaron a ofrecer premios, algunos de los cuales ascendían a 500 dólares. Algunos cuestan hasta £ 1.000. Tammy Nobuo de la Universidad de Tokio en Japón probó 240, un número natural que es aproximadamente 1.654,38+0,000 mil millones. En 2002, Levine y Vermeulen probaron 5,6*6.543. No se encontró ningún contraejemplo. El significado de este problema es tan claro, inequívoco y simple que incluso los estudiantes de primaria pueden entenderlo, lo que fue difícil para muchos de los grandes matemáticos del siglo XX. Cuando el famoso erudito R.K. Guy presentó este problema mundial, incluso le puso el título "No intentes resolver estos problemas". Después de décadas de exploración e investigación, la gente parece aceptar al gran matemático P. Erdos. Algunas personas han sugerido que el problema 3x+1 debería ser el próximo problema de Fermat. Los siguientes son los resultados de mi investigación preliminar sobre el problema de Kratz, pero he descubierto un pequeño patrón que está lejos de estar resuelto. Proposición de Kratz: Supongamos n∈N, y f(n)= n/2 (si N es un número par) o 3n+1 (si N es un número impar). Actualmente f1(n) representa f (n), F2 (n) = f (f (n))...fk (n) = f (f). Sea fm(n)=1. (En adelante, n/2 se denomina transformación par, 3n+1 es una transformación impar y la primera transformación impar es una transformación total). Se demuestra el lema 1 de la proposición de Kratz: si n=2m, entonces fm(n)= 1 (metro∈N). Supongamos que es cierto cuando m = k, entonces cuando m = k + 1, Fk + 1 (n) = f (Fk (2k + 1)) = = f (2) = 2/2 = 1. Pruébalo. Lema 2: Si n = 1+4+42+43+. Entonces f(n)= 3n+1 = 4k+1 = 22k+2, entonces f2k+3(n)=1. Prueba: La prueba es obvia y se omite. Lema 3: Si n = 2m (4k+1-. Entonces fm+2k+3(n)=1. Prueba: puntos suspensivos. Teorema 1: Conjunto O={X|X=2k-1, k∈N} Es cerrado para la transformación f (X). Prueba: Para cualquier número natural n, si n = 2 m, entonces consideramos el caso de números impares, es decir, el caso del conjunto o. Para números impares, primero se debe realizar la transformación impar. , y luego la transformación par, por lo que para números impares, es necesaria una transformación completa. Por intuición, organizamos la columna de números impares y su transformación completa de la siguiente manera: k 123456789 101121314 15 16 65438+. 44 45 46 47 48 49 50 51 2k-1 1 35 7 91 1 1 65438 93 95 97 99 101 1 3k-1 2 5 8 1 1 4 1 7 20 23 26 29 32 3 5 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 87 58 61 64 67 70 73 76 3 3k-1 2 5 8 1 1 1 4 1 7 20 23 26 29 32 35 38 4 3k-2 1 4 7 1 6 16 19 5 3k 6k-1 regresa a la primera fila Las siguientes filas son las secuencias aritméticas escalonadas 3k-2 y 3k-1 Debido a que al final todas se convierten en números impares, el conjunto O está cerrado para la transformación f(X): Cualquier número natural impar. se convierten en 1 después de varias transformaciones. Prueba: Vemos que la mitad de los números impares 3k-1 aún se convierten en números impares 3k-1 después de todas las transformaciones, y los números impares 3k-1 aún se convierten en 3k. después de dividir por 2, y 3k-2 números impares se convierten en 3k-1 números impares después de la transformación completa. En otras palabras, es imposible obtener 3k-2 números impares después de la transformación completa. Después de varias transformaciones de números pares, todavía tenemos que hacerlo. Volver al número impar Primero demostramos que el número impar debe convertirse en un número par en un determinado paso después de varias transformaciones completas.
Sea 2a0-1 el número impar que queremos estudiar. Después de la transformación completa, se convierte en 3a0-1. Sea un número impar e igual a 2a1-1 se transforma en 3A1-1 = 2A2-1. 3A2-1 = 2A3- 1,...A2 = (3/2) A1,...ak = (3/2) AK-1. Entonces al final ak=(3/2)ka0. Para hacer de AK un número entero, sea a0=2kn, (n es un número impar)... entonces ak=3kn. Entonces empieza con 2a0. 3*2kn-1->32*2k-1n-1->33*2k-2n-1->...->3k+1n-1 (número par). Luego demostramos que un número impar que se convierte en par después de una transformación completa debe ser mayor que un número impar que se convierte en par después de varias transformaciones pares. Supongamos que 3k+1n-1=2mh (h es un número impar), demostraremos que h; Definición: A continuación, nos referimos al proceso anterior de transformación completa continua de un número impar a otro número impar seguido de una transformación continua de números pares como una cadena de transformación. Luego demostramos que el número impar obtenido al pasar un número impar a través de una cadena de transformación no puede ser ningún resultado intermedio en la cadena de transformación, incluido el primer número impar. Si B(n) representa el número de transformaciones de un número impar N, y m es el primer número impar encontrado después de N transformación, entonces existe el Teorema 3: B(n)=k+1+B(m), donde k satisface 3n +1=2km es un número entero no negativo. Se demuestra que n sufre k transformaciones impares antes de la transformación par, y se demuestra que, por ejemplo, B(15)= 2+B(23)= 2+2+B(35)= 2+2+B(53) = 2+ 2+2+5+1+B(5)= 2+2+2+2+2+ Este artículo estudia el problema de iteración de funciones. En su cuaderno de notas de julio de 1932, estudió la siguiente función: F(x) = 2x/3 (si x es divisible por 3 o (4x-1)/3 (si x es divisible por 3, 1) o (4x+ 1)/3 (si x es divisible por 3, 2), entonces f (65438+, F (6) = 4, F (7) = 9, F (8) = 11, F (9) = 6, ...Para observar los resultados de la iteración anterior, los escribimos en forma de permutación: 123456789...1325749 116...observe que la iteración F de x=2,3 produce x=4,5,6, 7, 9 bucle (2, 3). El siguiente paso es iterar x = 8. Kratz tuvo dificultades aquí. No estaba seguro de si dicha iteración formaría un bucle, ni sabía que iterar sobre todos los números naturales daría como resultado algo más que los dos bucles anteriores. ¿Habrá otros ciclos? Las generaciones posteriores llamaron a este problema el problema original de Kratz. Ahora la gente está más interesada en su problema inverso: G(x) = 3x/2 (si x es un número par) o (3x+1)/4 (si x se divide entre 4, 1) o (3x-1) / 4. Después del cálculo, se obtuvieron los siguientes cuatro ciclos: (1), (2, 3), (4, 6, 9, 7, 5), (44, 66, 99, 74, 11, 83, 62. 105, 70 , 93, 62, 83, 111, 74, 99, 66, 44). ¿Hay otros bucles en la iteración g? Para encontrar otros bucles, a la gente se le ocurrió el siguiente método inteligente: debido a la iteración G, el último elemento es 3/2 del elemento anterior (cuando el elemento actual es par) o aproximadamente 3/4 (cuando el elemento actual es extraño). Por ejemplo, si hay un bucle en la iteración G, el término T en de la iteración se repetirá junto con el término S como (t)
Edite el rango de profundidad de la esquina estimada en este párrafo
Dar Set un entero positivo n. Si n es divisible por a, se convierte en n/a. Si es divisible, se multiplica por b más c (es decir, bn + c). Repitiendo esta operación, después de un número limitado de pasos, ¿obtendremos definitivamente D? Solo hay tres respuestas a esta pregunta: 1 no es necesariamente 2, no necesariamente 3. Las siguientes son algunas situaciones: A = b = C = D = m II A = MB A = m b = 1 C =-1D = 0D = 03A = MB = C = D = 14A = 2B.
1) Cinco A = 2 B = 2m-1 C = 1D = 1 Seis A = 2 B = C = D = 2 M-1 M es el caso más simple de cualquier número natural: A = B = C = D = 2 A = 2 B = 8+0 C =-1D = 0M = 2 cuando el título original es solo cinco. Se dice que mucha gente en China demostrará que el título original es sólo una parte muy pequeña del paquete de expansión. El título original es sólo un pequeño caso especial creado por el quinto conjunto de datos del paquete de expansión. Todos los datos anteriores son válidos y no hay contraejemplos. Esta pregunta es muy breve, pero contiene ideas matemáticas muy ricas... Hay muchas cosas que deben usarse. Los teoremas y fórmulas son muy completos y pueden expresar leyes matemáticas muy generales. Esta es una pregunta matemática, no una suposición, absolutamente correcta. Este número se centra en cultivar la capacidad de los estudiantes para pensar de forma independiente. Y pensamiento inverso... En realidad esta pregunta es muy sencilla. No estoy seguro si la prueba general de lo anterior está probada. El primer paso: (para el quinto conjunto de datos anterior) Primero, construya una función de 2 variables. Esta función revela un secreto: convertir todos los números naturales que no son divisibles por 2 en números naturales que sí son divisibles por 2. f (m, N) tiene A (para el quinto conjunto de datos anterior) f (m, N) = 2 m * (2n-1) cinco A = 2b = 2m-1c = 1d = 1 Utilice inducción matemática y factores de división La fórmula descompone números naturales... Prueba: (2 (Mn)-65438. e es un número impar m = 1a 1 = (1)m = 2 a2 = (1, 5) m = 3a3 = (1, 9, 11)m = 4 a4 = 23)m = 5 A5 =(1,33,35,37,39) m=6 A6=(1,65............. ... ................................................. ............................................................ ........................... ....................... .......................................... ...