Cuando la ecuación de onda de partículas libres se escribe en forma exponencial, ¿por qué tiene i y números imaginarios? Sin embargo, cuando se expresa como una función trigonométrica, no hay números imaginarios.

Puede corresponder. Como dijiste, solo toma la parte real.

Por ejemplo, una ecuación de onda Z=A*cos(wt) se puede escribir como Z=Re[A*exp(iwt)], realizar operaciones en forma exponencial y finalmente tomar la parte real de el resultado.

En cuanto a lo que dijiste, a veces se toma la parte real y otras no, depende principalmente de la amplitud compleja bien conocida y definida. La función de onda A*cos(wt-kx). se puede escribir como A*exp(-iwt)* exp(ikx), si usas esto para hacer operaciones, necesitas tomar la parte real, pero si defines la amplitud compleja U=A*exp(ikx), la El producto de las amplitudes complejas resulta ser el bungalow de la amplitud real, U*U=A^ 2. U*U se refiere al ***yugo de U multiplicado por U, que es solo una técnica aritmética