Resumen del contenido:
Las matemáticas son una herramienta y un medio de la ciencia moderna. Es necesario comprender qué son los modelos matemáticos y la modelización matemática, y comprender los métodos y métodos generales. Pasos del modelado matemático.
Palabras clave:
Modelo matemático, modelado matemático, problemas prácticos
Con el rápido desarrollo de la ciencia y la tecnología en la sociedad actual, las matemáticas han penetrado en diversos campos, y la modelización matemática parece particularmente importante. El modelado matemático juega un papel importante en la vida de las personas y, con el desarrollo de la tecnología informática, el modelado matemático juega un papel importante en las actividades humanas y sirve mejor a la humanidad.
1. Modelo matemático
El modelo matemático está dirigido a objetos específicos y propósitos específicos en el mundo real, de acuerdo con leyes internas únicas, haciendo algunas suposiciones necesarias y utilizando matemáticas apropiadas. Estructura matemática formada por herramientas.
En pocas palabras, es una expresión matemática de la esencia de una determinada característica de un sistema (o una descripción de una parte del mundo real en términos matemáticos), es decir, una fórmula matemática (como una función, gráfica, ecuación algebraica, ecuaciones diferenciales, ecuaciones integrales, ecuaciones en diferencias, etc.) se utilizan para describir (expresar y simular) las leyes de existencia de los objetos o sistemas objetivos estudiados en un determinado aspecto.
Con el desarrollo de la sociedad, la biología, la medicina, la sociedad y la economía..., han surgido una gran cantidad de problemas prácticos en diversas disciplinas e industrias, que necesitan urgentemente personas para estudiar y resolver. Sin embargo, la demanda de matemáticas de la sociedad no se limita solo a matemáticos y talentos especializados en investigación matemática, sino que también requiere que las personas que realizan trabajos prácticos en varios departamentos sean buenos en el uso del conocimiento matemático y los métodos de pensamiento matemático para resolver una gran cantidad de problemas prácticos que enfrentan todos los días. . Lograr beneficios económicos y sociales. No buscan problemas prácticos para aplicar el conocimiento matemático (como resolver problemas matemáticos escritos en la escuela), sino que necesitan usar las matemáticas para resolver problemas prácticos. Además, deben utilizar no sólo las matemáticas, sino también conocimientos de otras materias y campos, experiencia laboral y sentido común. Especialmente en la sociedad moderna, resolver verdaderamente un problema práctico es casi inseparable de las computadoras. Hay pocos problemas que puedan resolverse con conocimientos matemáticos fácilmente disponibles. Lo que puedes encontrar es una mezcla de matemáticas y otras cosas, no matemáticas "limpias", sino matemáticas "sucias". Los misterios de las matemáticas no están esperando que los resuelvas, sino que están escondidos en lo más profundo de tu ser. En otras palabras, hay que analizar y descubrir problemas prácticos complejos.
Los modelos matemáticos tienen las siguientes características: Una característica importante de los modelos matemáticos es que son muy abstractos. A través de modelos matemáticos, el pensamiento de imágenes se puede transformar en pensamiento abstracto, rompiendo así las limitaciones del sistema real y utilizando los resultados de la investigación matemática existente para realizar una investigación en profundidad sobre el objeto de investigación. Otra característica de los modelos matemáticos es la economía. El uso de modelos matemáticos para la investigación puede ahorrar muchos costos de operación y mantenimiento de equipos. El uso de modelos matemáticos puede acelerar enormemente el progreso del trabajo de investigación y acortar el ciclo de la investigación, especialmente hoy en día, cuando se utilizan ampliamente las computadoras electrónicas. Sin embargo, los modelos matemáticos tienen limitaciones e inevitablemente causarán algunas distorsiones durante el proceso de simplificación y abstracción. El llamado "modelo es un modelo" (no un prototipo) se refiere a este atributo.
En segundo lugar, el modelado matemático
El modelado matemático es una práctica que consiste en utilizar métodos matemáticos para resolver problemas prácticos. Es decir, después de abstraer, simplificar, asumir e introducir variables, el problema real se expresa utilizando métodos matemáticos, y luego se establece un modelo matemático, y luego se utilizan métodos matemáticos avanzados y tecnología informática para resolverlo. En resumen, el proceso de construcción de un modelo matemático se denomina modelado matemático.
Un modelo es una simulación de los atributos relevantes de una entidad objetiva. El modelo de avión que se muestra en la ventana debe parecerse a un avión real; no importa si realmente vuela o no. Pero los modelos de aviones que participan en el concurso de modelos de aviones son completamente diferentes. Si el rendimiento del vuelo es deficiente y la apariencia parece la de un avión, no se puede considerar un buen modelo. Un modelo no es necesariamente una imitación de una entidad, sino que también puede ser una abstracción de algunos atributos básicos de una entidad. Por ejemplo, un mapa geológico no requiere simulación física. Puede reflejar la estructura geológica del área utilizando símbolos, palabras y números abstractos. Un modelo matemático es también una simulación que utiliza notación matemática y matemáticas.
Los programas, gráficos, etc. son descripciones abstractas y concisas de los atributos esenciales de temas prácticos que pueden explicar ciertos fenómenos objetivos, predecir patrones de desarrollo futuros o proporcionar la mejor estrategia o mejor para controlar el desarrollo de un determinado fenómeno. Los modelos matemáticos generalmente no son copias directas de problemas reales y su establecimiento a menudo requiere que las personas observen y analicen problemas reales en profundidad y detalle. También requiere que las personas utilicen diversos conocimientos matemáticos de manera flexible y hábil. Este tipo de conocimiento aplicado se abstrae de problemas prácticos y el proceso de extracción de modelos matemáticos se denomina modelado matemático. Hay muchos factores en los problemas reales y es imposible e innecesario considerarlos todos. Sólo puedes considerar los factores más importantes y descartar los menos importantes. Cuando se establece el modelo matemático, el problema real se convierte en un problema matemático. Puedes utilizar herramientas matemáticas y métodos matemáticos para resolver este problema práctico. Sería bueno si existieran herramientas matemáticas ya preparadas. Si no existen herramientas matemáticas listas para usar, los matemáticos buscarán y desarrollarán nuevas herramientas matemáticas para resolver problemas, lo que a su vez promoverá el desarrollo de las matemáticas mismas. Por ejemplo, Kepler resumió las tres leyes de Kepler a partir de los datos de observación del movimiento planetario. Newton intentó explicarlo con sus propias leyes mecánicas, pero las herramientas matemáticas existentes en ese momento no fueron suficientes. Esto llevó a la invención del cálculo. Para resolver modelos matemáticos, además del razonamiento matemático, suele ser necesario procesar una gran cantidad de datos y realizar una gran cantidad de cálculos, lo que era difícil de lograr antes de la invención de las computadoras electrónicas. Por lo tanto, aunque muchos modelos matemáticos se han resuelto teóricamente, debido a la gran cantidad de cálculos, no se pueden obtener resultados útiles y solo se pueden archivar. La aparición y el rápido desarrollo de las computadoras electrónicas han abierto un amplio camino para utilizar modelos matemáticos para resolver problemas prácticos. Hoy en día, es casi imposible resolver un problema real sin una computadora. Si se establece y resuelve un modelo matemático mediante métodos matemáticos o numéricos, ¿todo irá bien? No, debido a que el modelo matemático sólo puede reflejar aproximadamente las relaciones y leyes en problemas reales, es necesario probar la calidad de la reflexión. Si el modelo matemático no está bien establecido y el problema real dado se describe incorrectamente, no importa cuán correcta sea la solución matemática, será inútil. Por lo tanto, después de obtener la solución matemática, se debe probar la conclusión para ver si es razonable y factible. Si no es práctico, debemos averiguar el motivo, modificar el modelo original, resolverlo nuevamente y probarlo nuevamente. Solo cuando sea más razonable y factible podremos obtener la respuesta y ponerla en práctica primero. Sin embargo, no existe una respuesta perfecta. O puede llegar a su fin temporalmente y se realizarán mejoras en el futuro cuando surjan nuevas situaciones y requisitos.
Al aplicar conocimientos matemáticos para investigar y resolver problemas prácticos, la primera tarea que encontramos es establecer un modelo matemático adecuado. En este sentido, se puede decir que la modelización matemática es la base de toda investigación científica. Sin mejores modelos matemáticos, es imposible obtener mejores resultados de investigación. Por tanto, construir mejores modelos matemáticos es una de las claves para resolver problemas prácticos. El modelado matemático utiliza de manera integral diversos conocimientos para resolver problemas prácticos, cuyo objetivo es cultivar y mejorar la capacidad de los estudiantes para aplicar lo que han aprendido para analizar y resolver problemas.
3. Métodos generales de modelado matemático
No existe un modelo seguro para establecer un modelo matemático, pero un modelo ideal debe reflejar todas las características importantes del sistema: la confiabilidad y disponibilidad de el modelo.
Métodos generales de modelado:
1. Análisis de mecanismos
El análisis de mecanismos se basa en la comprensión de las características de los objetos reales, analizando sus relaciones causales y descubrir los reflejos de las leyes del mecanismo interno. Los modelos establecidos suelen tener un significado físico o práctico claro.
(1) Análisis proporcional: el método más básico y comúnmente utilizado para establecer relaciones funcionales entre variables.
(2) Método algebraico: el método principal para resolver problemas discretos (datos discretos, símbolos, gráficos).
(3) Método lógico: es un método importante para estudiar teorías matemáticas y es práctico tanto para la sociología como para la economía.
Las preguntas se utilizan ampliamente en la toma de decisiones, contramedidas y otras disciplinas.
(4) Ecuaciones diferenciales ordinarias: la clave para resolver el patrón de cambio entre dos variables es establecer la expresión "tasa de cambio instantánea".
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(5) Ecuaciones diferenciales parciales: resuelve el patrón de cambio entre la variable dependiente y dos o más variables independientes.
2. Método de análisis de prueba
El método de análisis de prueba trata el objeto de investigación como un sistema de "caja negra" y no puede buscar directamente el mecanismo interno. Midiendo los datos de entrada y salida del sistema y, en base a esto, utilizando métodos de análisis estadístico, se selecciona el modelo con el mejor ajuste de datos de un determinado tipo de modelo de acuerdo con estándares predeterminados.
(1) Análisis de regresión: expresión utilizada para determinar la función (xi, fi) i = 1, 2,..., n de la función f(x) a partir de un conjunto de observaciones. Debido a que trata con datos estáticos independientes, se le llama método estadístico matemático.
(2) Análisis de series de tiempo: procesamiento de datos dinámicos relacionados, también conocidos como estadísticas de procesos.
(3) El análisis de regresión se utiliza para determinar la expresión de la función f(x) a partir de un conjunto de valores de observación (xi, fi)i=1, 2,...,n, debido a que trata con datos estáticos independientes, se le llama método de estadística matemática.
(4) Análisis de series de tiempo: procesamiento de datos dinámicos relacionados, también conocidos como estadísticas de procesos.
La combinación de estos dos métodos, es decir, establecer la estructura del modelo mediante el análisis del mecanismo y determinar los parámetros del modelo mediante pruebas del sistema, también es un método de modelado comúnmente utilizado. En el proceso real, qué método utilizar para modelar depende principalmente de nuestra comprensión del objeto de investigación y del propósito del modelado. Los pasos específicos para modelar utilizando el método de análisis de mecanismos se muestran aproximadamente en la figura de la izquierda.
3. Simulación y otros métodos
(1) Simulación por computadora (simulación): esencialmente un método de estimación estadística, equivalente a la inspección por muestreo.
①Simulación de sistema discreto: hay un conjunto de variables de estado.
②Simulación continua del sistema: con expresiones analíticas o diagramas de estructura del sistema.
(2) Método de prueba de factores: realice pruebas parciales del sistema y luego analice y modifique continuamente en función de los resultados de la prueba para obtener la estructura del modelo requerida.
(3) Método de realidad artificial: formar artificialmente un sistema basándose en la comprensión del comportamiento pasado del sistema y los objetivos futuros que espera alcanzar, y teniendo en cuenta posibles cambios en los factores relacionados con el sistema. (Ver: Qi Huan's Mathematical Model Methods, Huazhong University of Science and Technology Press, 1996)
Cuarto, clasificación de modelos matemáticos
Los modelos matemáticos se pueden clasificar de diferentes maneras. A continuación se muestran algunos modelos de uso común.
1. Según el campo de aplicación (o disciplina) del modelo, se puede dividir en: modelo poblacional, modelo de transporte, modelo ambiental, modelo ecológico, modelo de planificación urbana, modelo de recurso hídrico, modelo de recurso renovable. modelo de utilización, modelo de contaminación en espera. El ámbito más amplio ha formado muchas disciplinas de vanguardia como la biomatemática, las matemáticas médicas, las matemáticas geológicas, la economía cuantitativa, la sociología matemática, etc.
2. Según el método matemático (o rama matemática) para establecer el modelo, se puede dividir en modelo matemático inicial, modelo geométrico, modelo de ecuación diferencial, modelo de teoría de grafos, modelo de cadena de Markov y teoría de la planificación. modelo, etc
En los libros de texto sobre modelos matemáticos clasificados mediante el primer método, nos centramos en utilizar diferentes métodos para construir modelos en un campo específico, mientras que en los libros clasificados mediante el segundo método, utilizamos modelos matemáticos ya preparados. pertenecientes a diferentes campos se utilizan para explicar la aplicación de algunas técnicas matemáticas. En este libro, nos centramos en cómo aplicar los conocimientos matemáticos básicos que los lectores ya conocen para construir modelos en diferentes campos.
3. Según las características de rendimiento del modelo, hay varios puntos:
El modelo determinista y el modelo estocástico dependen de si se considera la influencia de factores aleatorios. En los últimos años, con el desarrollo de las matemáticas, han surgido los llamados modelos de mutación y modelos difusos.
Los modelos estáticos y los modelos dinámicos dependen de si se consideran los cambios provocados por factores temporales.
Los modelos lineales y los modelos no lineales dependen de las relaciones básicas del modelo, como por ejemplo si la ecuación diferencial es lineal.
El modelo discreto y el modelo continuo se refieren a si las variables del modelo (principalmente variables de tiempo) son discretas o continuas.
Aunque la mayoría de los problemas prácticos son de naturaleza estocástica, dinámica y no lineal, los modelos deterministas, estáticos y lineales son fáciles de manejar y a menudo pueden usarse como aproximaciones preliminares para resolver problemas. y los modelos lineales a menudo se consideran primero al modelar. Los modelos continuos son fáciles de realizar análisis teóricos utilizando soluciones de cálculo, mientras que los modelos discretos son fáciles de calcular en una computadora, por lo que qué modelo usar depende del problema específico. En el proceso de modelado específico, el modelo continuo está descentralizado.
4. Según la finalidad del modelado, existen modelos de descripción, modelos de análisis, modelos de predicción, modelos de optimización, modelos de toma de decisiones, modelos de control, etc.
5. Según el grado de comprensión de la estructura del modelo, existen los llamados modelos de caja blanca, modelos de caja gris y modelos de caja negra. Se trata de comparar el objeto de investigación con un órgano dentro de una caja y revelar sus secretos mediante el modelado. El cuadro blanco incluye principalmente fenómenos descritos por algunas disciplinas con mecanismos bastante claros, como la mecánica, la ciencia térmica y la electricidad, así como las correspondientes cuestiones técnicas y de ingeniería. Básicamente se han determinado la mayoría de los modelos en esta área. Las principales cuestiones que requieren más investigación son el diseño y el control óptimos. El cuadro gris se refiere principalmente a fenómenos cuyos mecanismos no están muy claros en campos como la ecología, la meteorología, la economía y el transporte. , y todavía queda mucho trabajo por hacer para establecer y mejorar los modelos en diversos grados. En cuanto a la caja negra, se refiere principalmente a fenómenos en los campos de las ciencias biológicas y las ciencias sociales donde el mecanismo (relación cuantitativa) no está muy claro. Aunque algunos problemas técnicos y de ingeniería se basan principalmente en principios físicos y químicos, debido a muchos factores, relaciones complejas y dificultades de observación, a menudo se tratan como modelos de caja gris o caja negra. Por supuesto, no existen límites claros entre el blanco, el gris y el negro, y con el desarrollo de la tecnología, el "color" de la caja debe cambiar gradualmente de oscuro a claro.
5. Pasos generales del modelado matemático
Los pasos del modelado generalmente se dividen en los siguientes pasos:
1. Primero, debe comprender los antecedentes reales del problema, aclarar los requisitos del tema y recopilar toda la información necesaria.
2. Supuestos del modelo. A partir de aclarar el propósito de modelar y dominar los datos necesarios, a través del análisis y cálculo de los datos, se encuentran los factores principales, y luego del necesario refinamiento y simplificación, se plantean algunos supuestos que son consistentes con la realidad objetiva, por lo que para resaltar las características principales del problema e ignorar los aspectos secundarios. En general, es difícil, si no imposible, convertir un problema práctico en un problema matemático sin simplificar los supuestos. Diferentes supuestos simplificadores conducirán a resultados diferentes. Si hace suposiciones demasiado detalladas e intenta tener en cuenta todos los factores de un objeto complejo, puede resultarle difícil o incluso imposible continuar trabajando en el siguiente paso. Generalmente, la base para formular hipótesis se basa en la comprensión de las leyes inherentes del problema, el análisis de datos o fenómenos, o una combinación de ambos. Al formular hipótesis, no sólo debe utilizar la física, la química, la biología, la economía y otros conocimientos relacionados con el problema, sino también dar rienda suelta a su imaginación, percepción y juicio. Debemos ser buenos para distinguir las prioridades de los problemas, captar firmemente los factores principales, abandonar los factores secundarios y tratar de linealizar y homogeneizar los problemas tanto como sea posible. La experiencia a menudo juega aquí un papel importante. Al escribir una hipótesis, utilice un lenguaje preciso, tal como escribiría condiciones conocidas al hacer ejercicios.
3. Composición del modelo. Con base en las suposiciones hechas y la relación entre las cosas, utilice herramientas matemáticas apropiadas para describir la relación entre las variables y establecer la estructura matemática correspondiente, es decir, establecer un modelo matemático para convertir el problema en un problema matemático. Preste atención al uso de herramientas matemáticas simples tanto como sea posible, porque los modelos matemáticos simples a menudo pueden reflejar mejor la esencia de las cosas y son más fáciles de dominar y utilizar por más personas.
4. Solución modelo. El uso de métodos matemáticos conocidos para resolver los problemas matemáticos obtenidos en el paso anterior a menudo requiere simplificaciones o suposiciones adicionales. Cuando es difícil obtener una solución analítica, también se debe utilizar una computadora para obtener una solución numérica.
5. Análisis del modelo. Realizar un análisis matemático de la solución del modelo. En ocasiones es necesario analizar la dependencia o estabilidad de variables dependiendo de la naturaleza del problema. A veces es necesario dar una predicción matemática basada en los resultados obtenidos, y otras veces es posible dar una decisión o control matemático óptimo. En cualquier caso, suele ser necesario analizar errores, estabilidad del modelo o sensibilidad a los datos, etc.
6. Pruebas del modelo.
Analice la importancia práctica de los resultados y compárelos con la situación real para ver si son consistentes con la realidad. Si los resultados no son satisfactorios, se deben revisar, complementar o remodelar los supuestos. Algunos modelos deben repetirse varias veces para lograr una mejora continua.
7. Aplicación del modelo. El modelo establecido debe aplicarse en la práctica para producir beneficios y debe mejorarse y perfeccionarse continuamente durante su aplicación. El patrón de aplicación depende naturalmente de la naturaleza del problema y del propósito del modelado.
Materiales de referencia:
(1) Método del modelo matemático de Qi Huan, Prensa de la Universidad de Ciencia y Tecnología de Huazhong, 1996.
(2) "Práctica y comprensión de las matemáticas" (trimestral), editado y publicado por la Sociedad Matemática China.