El ejemplo más simple: si una función binaria se define como 0 en el semiplano izquierdo y 1 en el semiplano derecho, entonces es derivable en cada línea vertical (porque es una constante), en Es discontinua en la recta horizontal (0 a la izquierda, 1 a la derecha), por lo que su derivada parcial de y existe pero no es continua de manera similar, si se define una función binaria, tomando 0 en el semiplano inferior y; 1 en el semiplano superior, entonces La derivada parcial de x existe, pero es discontinua.
Incluso si existen derivadas parciales de una función binaria con respecto a x e y, solo significa que se puede diferenciar en todas las líneas rectas horizontales y verticales, en teoría aún puede ser discontinua en una. línea recta oblicua de. Esta funcionalidad no es tan fácil como se pensaba anteriormente, pero existe. Generalmente, los libros de cálculo darán un ejemplo estándar: f(x, y) toma 0 en el origen de las coordenadas, y en otros lugares = xy/(x^2+y^2).
En resumen, una función multivariada general se puede imaginar como una función en un espacio de alta dimensión, que debe ser continua en todas las direcciones, y la existencia de derivadas parciales solo significa que puede ser en todas planos paralelos al plano coordenado. Tome la derivada anterior; este último no puede deducir el primero. Las funciones unarias no tienen este problema porque solo hay una dirección en la línea.
Este es en realidad un problema de prueba continua.
Las derivadas parciales existen cuando los límites izquierdo y derecho son iguales. Pero el límite en este momento no es necesariamente igual al valor derivado de este punto, ¿entiendes?
Para demostrar que la derivada parcial es continua, es necesario demostrar que los límites izquierdo y derecho son iguales, lo que es igual al valor de la derivada parcial de este punto.
También puedes decir que es un poco como ir a un punto discontinuo~ (esto es sólo una analogía)