La Paradoja de Zenón es una serie de paradojas filosóficas sobre la indivisibilidad del movimiento propuestas por el antiguo matemático griego Zenón de Elea. Estas paradojas llegaron a ser conocidas por las generaciones posteriores porque quedaron registradas en la Física de Aristóteles. Zenón propuso estas paradojas para apoyar la doctrina de su maestro Parménides de que el "ser" es inamovible y uno. Dos de las paradojas más famosas son: "Aquiles no puede correr más rápido que la tortuga" y "Una flecha voladora no puede moverse". Estos métodos ahora se pueden explicar utilizando los conceptos de cálculo (infinito).
La paradoja de la dicotomía
El movimiento es imposible.
Dado que un objeto en movimiento debe llegar a un punto a mitad de camino antes de llegar a su destino, si asumimos que el espacio es infinitamente divisible, entonces la distancia finita incluye infinitos puntos, por lo que el objeto en movimiento pasará por infinitos puntos en un tiempo finito. punto.
La primera declaración debería ser hecha por Zhuangzi en el "Capítulo de Zhuangzi Tianxia": "Si bates un pie de agua, obtendrás la mitad cada día y durará para siempre".
Paradoja de Aquiles (Aquiles)
Aquiles es un héroe de la mitología griega antigua que es bueno corriendo. En la carrera entre él y la tortuga, la tortuga corría delante y él perseguía a la tortuga, pero no podía alcanzarla. Porque en la carrera, el cazador primero debe llegar al punto de partida del perseguido. Cuando Aquiles llega a la posición donde estaba la tortuga en un momento determinado, la tortuga ha avanzado; cuando Aquiles llega nuevamente a la posición de la tortuga, la tortuga ha avanzado; avanzó y corrió un poco más; ...así que dondequiera que Aquiles llegaba al lugar donde había estado la tortuga, la tortuga estaba delante de él. Entonces, no importa qué tan rápido corriera Aquiles, nunca podría alcanzar a la tortuga.
“El objeto que se mueve más lento no será alcanzado por el objeto que se mueve más rápido. Dado que el perseguidor debe llegar primero al punto de partida de la persona perseguida, la persona perseguida ya ha avanzado una cierta distancia. , el perseguido está siempre delante del perseguidor”
─Aristóteles
Como lo describió Platón, Zenón dijo que tal paradoja es interesante. En primer lugar, Parménides inventó esta paradoja para burlarse de la idea de Pitágoras "1>0.999..., 1-0.999...>0" representada por la "escuela matemática". Luego, utilizó esta paradoja para burlarse del pensamiento de su alumno Zenón "1=0.999..., pero 1-0.999...>0". Finalmente, Zenón utilizó esta paradoja para burlarse de la idea de Parménides de "1-0,999...=0, o 1-0,999...>0".
La paradoja de la flecha inamovible
Una flecha voladora está estacionaria.
Dado que la flecha tiene una posición definida en cada momento y por tanto está estacionaria, la flecha no puede estar en movimiento.
Paradoja del desfile
Primero, supongamos que en el patio de recreo, en un instante (una unidad de tiempo mínima), con respecto al auditorio A, los desfiles B y C irán hacia la derecha respectivamente. y muévase una unidad de distancia hacia la izquierda.
□□□□ Auditorio A
■■■■ Cola B...mover a la derecha
▲▲▲▲ Cola C...mover hacia la izquierda
Las dos colas B y C comenzaron a moverse Como se muestra en la siguiente figura, en relación con el auditorio A, B y C se movieron una unidad de distancia hacia la derecha e izquierda respectivamente.
□□□□
■■■■
▲▲▲▲
En este momento, para B, C mueve dos unidades de distancia. Es decir, la cola puede moverse una unidad de distancia en un instante (una unidad de tiempo mínimo), o puede moverse una unidad de distancia en la mitad de la unidad de tiempo mínimo, lo que crea la contradicción de que media unidad de tiempo es igual a un tiempo. unidad. Por lo tanto, la cola no se puede mover.
¿Se puede resolver la paradoja de Zenón mediante la suma de series infinitas?
Peng Zheye (Renzai Jingtian)
Existe la idea de que se puede resolver mediante series infinitas El método de suma de series resuelve este problema (dicotomía y Aquiles persiguiendo a la tortuga).
Asumimos que la distancia espacial recorrida por el objeto después de que finalmente alcanza el punto final es 1, y la distancia recorrida en tiempo es 1. Primero, asumimos que el objeto no tiene un último punto medio por recorrer, entonces la distancia s recorrida por el objeto en el espacio después de pasar por infinitos puntos medios es:
S=1/2+1 /2^ 2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n (n es infinito)
Podemos Puede ser Se ve que aquí s es la distancia espacial real 1 del objeto infinitamente cercano, pero la proximidad infinita no es igual, es decir, el objeto finalmente no llega.
Ahora asumimos que el objeto tiene la distancia espacial real 1 del objeto infinitamente cercano. último punto central para ir.
Luego están
S=1/2+1/2^2+1/2^2
S=1 /2+ 1/2^2+1/2^3+1/2^3
.............
S=1 /2+ 1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n
=(2^n-1) /2^ n+1/2^n=1
Es decir, la distancia recorrida por el objeto después de pasar la distancia entre el último punto medio y el punto final es consistente con la distancia real recorrida por el objeto.
Del cálculo anterior, podemos ver fácilmente que si el objeto alcanza el punto final, ha pasado el último punto medio. Si el objeto no ha pasado el último punto medio, el objeto no puede llegar. Punto final.
De manera similar, podemos calcular el tiempo que tarda un objeto en pasar por infinitos puntos medios. Sea 1 el tiempo de llegada real. Si el objeto no tiene un último punto medio por recorrer, entonces el punto medio. El objeto pasará por infinitos puntos medios. El tiempo t utilizado para el punto es:
t=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^. n-1)/2^n= 1-1/2^n
Se puede ver que aquí es el tiempo que tarda el objeto infinitamente cercano en llegar al punto final, pero infinitamente cercano no es igual a.
Si el objeto tiene Para moverse al último punto medio, hay
t=1/2+1/2^2+1/2^3+ .........1/2^n+1 /2^n
=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1
En otras palabras, el objeto pasa por el último punto medio y el tiempo transcurrido después de la distancia entre los puntos finales es consistente con el tiempo de llegada real del objeto.
A partir del cálculo anterior, Se puede ver claramente que si el objeto tiene el último punto medio para llegar, el tiempo que tarda el objeto en llegar es el mismo que el tiempo de llegada real. Si el objeto no tiene el último punto medio para llegar, el tiempo es. El tiempo que tarda el objeto solo puede ser infinitamente cercano al tiempo que realmente le toma al objeto llegar al punto final, pero no puede ser igual.
Entonces, el nivel infinito El resultado de la suma de números es ese si el objeto puede llegar al punto final, el objeto debe pasar por el último punto medio. Pero, ¿cómo pasa el objeto por el último punto medio? En otras palabras, la paradoja de la dicotomía. Este método de sumar series infinitas ha profundizado la lógica de esta paradoja. La paradoja de la dicotomía y la paradoja de Aquiles persiguiendo a la tortuga son en realidad dos expresiones de la misma paradoja. Ambos métodos de división no pueden resolver el problema, por lo que, por supuesto, Aquiles todavía. persigue a la tortuga.