Palabras clave: ángulo diédrico; método de definición de ángulo; método del plano vertical; método de proyección de áreas; método de vector normal
El ángulo diédrico es la clave de la geometría sólida. El contenido importante es el enfoque del examen de ingreso a la universidad y también la dificultad de aprendizaje de los estudiantes. Por lo tanto, el autor combina algunas preguntas del examen de ingreso a la universidad para analizar y resumir métodos para resolver dichos problemas.
El método para resolver el problema del diédrico se puede resumir en "buscar", "hacer" y "hacer".
"Buscar": vea si hay ángulos planos diédricos en la geometría sólida dada.
La base para "encontrar" son las características principales de los ángulos diédricos: el vértice está en el lado y el plano donde se encuentra el ángulo es perpendicular al lado.
Ejemplo 1 (Beijing, 2008) Como se muestra en la Figura 1, en la pirámide triangular P-ABC, AC=BC=2, ∠ ACB = 90, AP=BP=AB, PC⊥AC.
(1) Verificar: PC⊥ab;
(2) Encontrar el tamaño del ángulo diédrico b-ap-c
(3) Encontrar el punto; C Distancia al plano APB.
Figura 1
Análisis (1) Como se muestra en la Figura 2, tome el punto medio D de AB y conecte PD y CD.
Porque AP=BP, PD⊥AB.
Porque AC=BC, CD⊥AB.
Porque PD∩CD=D,
Entonces AB⊥ planos PCD.
¿Por la PC? Plano PCD, entonces PC⊥AB.
Figura 2
(2) Porque AC=BC, AP=BP, PC=PC,
entonces △APC ≔△BPC.
Y PC⊥AC, entonces PC⊥BC.
Y ∠ ACB = 90, es decir, AC⊥BC, y AC∩PC=C, entonces BC⊥ plano PAC.
Figura 3
Como se muestra en la Figura 3, tome el punto medio e de AP y conecte BE y CE,
Porque AB=BP, BE⊥AP.
Porque EC es la proyección de BE sobre el plano pac
Entonces ∠BEC es el ángulo plano del ángulo diédrico B-AP-C
En △BCE, ∠ BCE = 90, BC = 2, BE = AB =, entonces sen ∠ BEC==. Entonces el ángulo diédrico B-AP-C es el arcoseno.
(3) Omitido.
"Construir"——Construir el ángulo plano con respecto al ángulo diédrico en geometría sólida.
El "trabajo" generalmente tiene los siguientes tres métodos:
1. Método de definición
La definición significa que cualquier punto en el lado de un ángulo diédrico es dos y la mitad Una recta perpendicular al lado del plano El ángulo formado por las dos rectas es el ángulo plano del ángulo diédrico. Adecuado para problemas con cierta simetría.
Ejemplo 2 (2008 Xiangyu) Como se muestra en la Figura 4, la base ABCD de la pirámide cuadrangular P-ABCD es un rombo con longitud de lado 1, ∠ BCD = 60, e es el punto medio de CD, PA ⊥Abajo ABCD, PA=.
(1) Demuestre: Plano PBE⊥Plano pab;
(2) Encuentre el ángulo diédrico a-be-p.
Analice (1) como Sigue la Figura 5, conectando BD, podemos ver que ABCD es un rombo y ∠ BCD = 60, y △BCD es un triángulo equilátero. Debido a que E es el punto medio de CD,
Entonces BE⊥CD y AB∑CD,
Entonces BE⊥AB.
Figura 5
Y porque PA⊥ está al final de ABCD, ¿verdad? Plano ABCD,
Entonces PA⊥BE.
Y PA∩AB=A, entonces BE⊥Plano PAB.
¿Otra vez? Plano PBE,
Entonces Plano PBE⊥Plano Prabhu.
(2) Según (1), BE⊥ plano PAB, PB? Plano Pab, entonces PB⊥BE.
Y AB⊥BE, entonces ∠PBA es el ángulo plano del ángulo diédrico a-be-p
En Rt△PAB, tan ∠ PBA==, entonces ∠PBA = 60.
Por lo tanto, el ángulo diédrico A-Be-P es de 60°.
2. Método de superficie vertical
El método de superficie vertical significa utilizar un plano perpendicular al borde para cortar un ángulo diédrico, y luego los dos planos que cortan el ángulo diédrico. debe tener dos El ángulo formado por estas dos líneas de intersección es el ángulo plano del ángulo diédrico, y luego se utiliza el método para calcular el ángulo plano.
El ejemplo 3 (Nacional I 2008) se muestra en la Figura 6. En la pirámide cuadrangular A-BCDE, la base BCDE es un rectángulo, el lado ABC⊥la base BCDE, BC=2, CD=, AB=CA.
Figura 6
(1) Demuestre: AD ⊥ce;
(2) Suponga que el ángulo entre CE y el plano ABE es de 45°, encuentre Análisis de ángulo de cara C-AD-E.
(1).
Porque ABC⊥ se enfrenta a BCDE y BE⊥BC, BE⊥ se enfrenta a ABC. Entonces ABC⊥ se enfrenta a Abe. Como se muestra en la Figura 7, sea CM⊥AB en my conectado a EM, luego CM⊥ mira a ABE.
Entonces ∠CEM = 45° y CE=, entonces CM=CE=, sin∠CBA=, ∠CBA = 60. Entonces △ABC es un triángulo equilátero.
Figura 7
Sea CH⊥AD en h, conecte eh,
Porque AD⊥CE, CH⊥AD,
Entonces, de cara al coche.
Entonces AD⊥EH y CD⊥AC,
Entonces AD=,
CH=2×=,
DH =. ×=,
EH=.
cos∠CHE==-.
Entonces el ángulo diédrico c-ad-e es arccos -.
3. Método de las tres perpendiculares
El método de las tres perpendiculares significa que un punto P en un semiplano de un ángulo diédrico es perpendicular al otro semiplano (el general). El método es usar la perpendicularidad de la superficie curva para (teorema de propiedad del sexo), el pie vertical es O, luego el pie vertical es O1, luego ∠OO1P es el ángulo plano del ángulo diédrico (el ángulo diédrico obtuso es el ángulo restante). ángulo).
El ejemplo 4 (Tianjin, 2008) se muestra en la Figura 8. En la pirámide cuadrangular P-ABCD, el ABCD inferior es un rectángulo. Se sabe que AB=3, AD=2, PA=2. , PD=2, PAB=60.
(1) Demuestre: AD ⊥ plano pab;
(2) Encuentre el ángulo de intersección entre PC y AD
(3) Encuentre el ángulo diédrico; p- El tamaño de bd-a.
Análisis de (1) (2).
Figura 9
(3) Como se muestra en la Figura 9, la intersección p es PH⊥AB del punto h, la intersección h es HE⊥BD del punto e y conecta PE . Porque AD⊥ avión PAB,
PH? Plano PAB,
Entonces Dr. Ad ⊥
Y AD∩AB=A,
Por lo tanto, PH⊥ plano ABCD.
Así es la proyección de PE en el plano ABCD.
Según el teorema de las tres perpendiculares, BD⊥PE,
Entonces ∠PEH es el ángulo plano del ángulo diédrico P-BD-A.
De la pregunta, podemos ver,
PH=PA? sin60=,
AH=PA? cos60 =1,
BH=AB-AH=2,
BD==,
He=? BH==.
Entonces en Rt△PHE,
Tan ∠PEH==.
Entonces el ángulo diédrico P-BD-A es el arcotangente.
"Construir" - Construir una "proyección" o "vector" para resolver.
1. Método de proyección de área
El llamado método de proyección de área se basa en la relación entre un triángulo y su área proyectada en un determinado plano, utilizando cosθ= para calcular el diédrico. método del ángulo (donde θ es el ángulo de dos caras).
Usando este método, podemos resolver efectivamente el problema de que el ángulo diédrico no tiene aristas y el problema de que el ángulo plano del ángulo diédrico tiene aristas pero es difícil de expresar.
El ejemplo 5 (Tianjin, 2008) es el mismo que el ejemplo 4. Aquí solo se explica la pregunta (3).
Análisis (3) El punto de intersección p es el PH⊥AB del punto h,
El punto de intersección p es el HE⊥BD del punto e, que conecta PE.
¿Porque AD⊥ avión PAB,
PH? Plano PAB,
Entonces Dr. Ad ⊥
Y AD∩AB=A,
Por lo tanto, PH⊥ plano ABCD.
Así es la proyección de PE en el plano ABCD. Según el teorema de las tres rectas verticales, BD⊥PE.
Entonces ∠PEH es el ángulo plano del ángulo diédrico P-BD-A.
Figura 10
Según la pregunta, ¿PH=PA? sin60 =, AH=PA? cos60 =1, BH=AB-AH=2,
BD==,
He=? BH==.
Entonces PE==,
S△PBD=BD? educación física =.
Y AH=1, BH=2, AD=2,
Entonces s △ HBD = s △Abd-s △ AHD = (6-2) = 2.
Entonces cos θ = = =, es decir, el ángulo diédrico P-BD-A es arccos.
Aunque el método anterior ha resuelto con éxito algunos problemas sin aristas, también está sujeto a ciertas condiciones, es decir, un triángulo en la pregunta debe ser la proyección de otro triángulo en un plano determinado. Si esta condición no existe, debemos considerar el uso de otro método, el método vectorial normal.
Este artículo está dirigido a usuarios que aún no han instalado un navegador de PDF. Primero descargue e instale el texto completo del texto original. 2. Método de vectores normales.
El método del vector normal es un método para encontrar el ángulo diédrico encontrando el ángulo formado por dos vectores perpendiculares al ángulo diédrico, y luego usando la relación igual o complementaria entre este ángulo y el ángulo diédrico. Cuando se utilizan vectores normales para encontrar ángulos diédricos, se vuelve un punto difícil e importante determinar si los ángulos formados por los vectores normales de los dos planos y los ángulos diédricos son iguales o complementarios. Aquí el autor se basa en la programación lineal binaria para determinar el área del plano y utiliza analogías.
Cuando se utilizan vectores normales para encontrar ángulos diédricos, solo hay dos situaciones en las que los ángulos entre los vectores normales que bisecan el plano y los ángulos diédricos deben clasificarse según sus vectores normales.
Como se muestra en las cuatro figuras anteriores, sea el ángulo diédrico α-L-β θ, a y b sean vectores normales de α y β respectivamente, y el ángulo incluido es < a, b > . En las Figuras 12 y 13, respectivamente, θ = 〈a, b〉, en la Figura 11. El autor utilizó analogía y asociación para probar si se puede encontrar un vector especial y llegó a la siguiente conclusión:
Supongamos que A∈α, B∈β, A, B. l representa respectivamente el número de productos vectoriales? uno,? El signo de b determina la relación entre θ y
¿Qué es la Figura 11? a>0,?b0,? b & gt0, dos productos del mismo signo, θ = < a, b >;
¿Qué hay en la Figura 14? A0, diferentes signos de los dos productos, θ = π-
Se llama vector de prueba.
Entonces la conclusión anterior se puede resumir como "complementos iguales pero diferentes" (si ?a, ?b tienen el mismo signo, entonces θ = < a, b >; si los signos son diferentes, θ = π-< a, b >), la estrategia adoptada es "arreglar el vector normal y arreglar el vector especial".
Tenga en cuenta que si se toma el vector de prueba (1), la conclusión anterior se establece mediante =-, lo que significa que no tiene nada que ver con la dirección del vector de prueba.
(2)?l, en caso contrario? ¿A=0 todavía? b=0.
El ejemplo 6 (Hunan 2008) es el mismo que el ejemplo 2, aquí solo se explica el problema (2).
Figura 15
Análisis (2) Como se muestra en la Figura 15, establezca el sistema de coordenadas rectangular A-XYZ con A como origen.
Entonces a (0, 0, 0),
B (1, 0, 0),
c,, 0,
d,,0,
P(0,0,),
E1,,0.
Entonces = (1, 0, -),
=0,,0.
Supongamos que n1=(x1, y1, z1) es un plano Vector normal PBE.
¿Entonces por n1? =0,n1? =0,
x 1+0×y 1-×z 1 = 0, 0× x1+× y1+0 = 0.
Entonces y1=0, x1=z1.
Entonces se puede tomar n1=(, 0, 1).
Un vector normal del plano ABE es N2 = (0, 0, 1), y sea el ángulo diédrico a-be-p θ.
Porque cos < n1, N2 > = =,
Entonces < n1, N2 > = 60. Tome el vector de prueba =, donde n es el punto medio de PE, entonces
n1=(,0,1)? ,,= & gt0,?n2=,,? (0, 0, 1) = >0.
Según la conclusión anterior, θ = < N1, N2 > = 60.
Ejemplo 7 (Anhui, 2007) Como se muestra en la Figura 16, en el hexaedro ABCD-a 1b 1c 1d 1, el cuadrilátero ABCD es un cuadrado con longitud de lado 2, y el cuadrilátero A1b1d65438+. DD1⊥ plano A1b1d1, DD1⊥ plano ABCD, DD1=2.
(1) Verificación: A1C1 y AC * *, B1D1 y BD * * *
(2) Verificación: El plano A1ACC1 es perpendicular al plano b 1 BDD 1;
(3) Encuentre el ángulo diédrico A-BB1-C (expresado por el valor de la función trigonométrica inversa).
Figura 16
Análisis de (1)(2).
(3) Con D como origen y las líneas rectas de DA y DD1 como eje X, eje Y y eje Z respectivamente, establezca el sistema de coordenadas rectangular espacial D-XYZ (Figura 16).
Entonces a (2, 0, 0), b (2, 2, 0), c (0, 2, 0),
A1 (1, 0, 2) , B1(1,1,2),
C1(0,1,2), D1(0,0,2).
=(-1,0,2),
=(-1,-1,2),=(0,-1,2).
Supongamos que n=(x1, y1, z1) es el vector normal del plano a 1ab 1, entonces existe
n? =-x1+2z1=0,
n? =-x 1-y 1+2z 1 = 0.
Entonces y1=0. Toma z1=1,
Entonces x1=2, n = (2, 0, 1).
Supongamos que m=(x2, y2, z2) es el vector normal del plano B1BCC1, entonces ¿existe
m? =-x2-y2+2z2=0,
m? =-y2+2z2=0.
Entonces x2=0.
Toma z2=1,
Entonces y2=2, m = (0, 2, 1),
cos÷m, n÷= =.
Entonces el ángulo diédrico A-BB1-C es π-arcos o arccos.
Toma el vector de prueba = (-2, 2, 0),
¿Y luego qué? n=(-2, 2, 0)? (2,0,1)=-40.
De la conclusión anterior, podemos ver que θ = π-< n, m > = π-arccos.
Aquí el autor introduce un método sencillo y eficaz para determinar si el ángulo formado por el vector normal de dos planos y el ángulo diédrico es igual o complementario.
Definición: Supongamos que el vector normal n del plano α está en un lado del plano α. Si la distancia desde el punto final del vector N al plano α es menor que la distancia desde el punto inicial del vector N al plano α, entonces se dice que el vector normal del plano α apunta al plano α (Figura 17). Si la distancia desde el punto final del vector N al plano α es mayor que la distancia desde el punto inicial del vector N al plano α, entonces se dice que el vector normal del plano α se desvía del plano α (como se muestra en la Figura 18) .
Figura 17
Figura 18
Supongamos que los vectores normales de los dos planos están dentro del ángulo diédrico α-L-β.
Si el vector normal n1 del plano α apunta (se desvía del) plano α, y el vector normal n2 del plano β apunta (se desvía del) plano β, entonces el ángulo diédrico α-L-β es π-θ (Figura 19 ). Si el vector normal n1 del plano α apunta (se desvía del) plano α, y el vector normal n2 del plano β apunta (se desvía del) plano β, entonces el ángulo diédrico α-L-β es θ (como se muestra en la Figura 20), por lo que el ángulo diédrico El ángulo plano de α-L-β es el ángulo θ o π-θ formado por el vector normal n1 y el vector normal n2.
Entonces la conclusión anterior se puede resumir como "mismo complemento, diferente equivalencia" (si n1 y n2 apuntan o se desvían de α y β, θ = π-< N1, N2 >; si uno de Los puntos n1 y n2 se desvían de otro punto, θ = < N1, N2 >).
Tomamos los ejemplos 6 y 7 como ejemplos para ilustrar:
En el ejemplo 6, n1 está dentro del ángulo diédrico A-be-p, y el vector n1 apunta al plano PBE , n2 Dentro del ángulo diédrico A-be-p, n2 se desvía del plano ABE, por lo que el ángulo entre los dos vectores normales
En el ejemplo 7, n apunta al plano ABA1B1 en el ángulo diédrico A-BB1, y m apunta al plano BB1CC1 en el ángulo diédrico A-BB1.
Así que el ángulo plano del ángulo diédrico A-BB1-C es el ángulo complementario del ángulo vectorial normal
Como se puede ver en el ejemplo anterior, la idea de utilizar vectores normales para resolver ángulos diédricos es relativamente única y utilizar métodos algebraicos para resolver problemas geométricos. Entre ellos, el establecimiento del sistema de coordenadas rectangulares debería ser la base. Es difícil y clave juzgar si el ángulo formado por los vectores normales de los dos planos y el ángulo plano del ángulo diédrico son iguales o complementarios.
Cuando se utilizan las estrategias anteriores para resolver ángulos diédricos, generalmente se puede proceder de forma secuencial, es decir, primero "buscar" para ver si hay un ángulo plano de un ángulo diédrico en la figura geométrica. "Probar" → "Calcular", como se muestra en el Ejemplo 1, si no puede encontrarlo, hágalo → testifique → calcule; , simplemente hazlo y construye una proyección o vector.
En definitiva, hay muchas formas de resolver el problema del diédrico y son relativamente flexibles. Como principiante, sólo reconociendo claramente las características de cada método y a través de mucho estudio podrás lograr el propósito de dominarlo y utilizarlo de manera competente.
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