La fórmula de desigualdad del valor absoluto es: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
La fórmula de desigualdad del valor absoluto es: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|, |a| representa la distancia entre el punto a en el número eje y el origen se llama valor absoluto del número a. En la aplicación de desigualdades suelen intervenir masa, área, volumen, etc., así como la magnitud o valor absoluto de determinados objetos matemáticos (como números reales, vectores). Todos se miden con números no negativos.
Proceso de derivación de importantes desigualdades de valor absoluto:
Sabemos que |x|={x, (x>0); x< 0);
Por lo tanto, existen:
①-|a|≤a≤|a|
②-|b|≤b≤ |b|
③-|b|≤-b≤|b|
De ①+②:
④-(|a|+|b |) ≤a+b≤|a|+|b|, es decir, |a+b|≤|a|+|b|
De ①+③:
⑤-( |a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|, es decir, |a-b|≤|a|+|b|
Otro: |a|=| (a+b) -b|=|(a-b)+b|, |b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|
De ④:
⑥|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|
⑦| b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|
⑧|a| =|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|
⑨|b|=|(b-a)+ a|≤| b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|
De ⑥, ⑦: ||a|-|b||≤|a+b |.. ....⑩
De ⑧, ⑨, obtenemos: ||a|-|b||≤|a-b|......?
Integrando ④⑤⑩? Obtenga las desigualdades importantes relevantes en valores absolutos: |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
Preste atención a las condiciones para que se cumpla el signo igual (especialmente para encontrar el valor máximo), es decir:
|a-b|=|a|+|b|→ab ≤0
|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→ b(a-b)≥0
De manera similar, podemos obtener |a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0.
El significado geométrico de la desigualdad del valor absoluto
Cuando a y b tienen el mismo signo, están ubicados en el mismo lado del origen. En este momento, la distancia entre a y. -b es igual a la suma de sus distancias desde el origen. Cuando a y b tienen signos diferentes, están ubicados a ambos lados del origen. En este momento, la distancia entre a y -b es menor que la suma de sus distancias desde el origen. (|a-b| representa la distancia entre a-b y el origen, y también representa la distancia entre ay b).
|a|<|b| se puede derivar de forma reversible |b|>|a|, ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|, cuando y El signo igual en el lado izquierdo es verdadero solo cuando ab≤0, y el signo igual en el lado derecho es verdadero cuando ab≥0. Además, hay: |a-b|≤|a|+|-b|=|a|+|-1|*|b|=|a|+|b|, ||a|-|b||≤ |a± b|≤|a|+|b|.