La función de límite superior de variable integral y la función de límite inferior de variable integral se denominan colectivamente función de límite de variable integral. La fórmula anterior es la expresión de la función límite superior de la variable integral y la expresión de la función límite inferior de la variable integral cuando X y A se intercambian, por lo que solo se puede discutir la función límite superior de la variable integral.
Geométricamente, esta función integral superior φ (x) representa el área del trapecio curvo en el intervalo [a, x].
La función de límite de variable integral es muy diferente de todas las funciones que hemos encontrado antes. Primero, está definida por una integral definida; segundo, la variable independiente de esta función aparece en el límite superior o inferior de la integral.
Bornhard Riemann dio una definición matemática estricta de fracciones (ver "Integral de Riemann"). La definición de Riemann utiliza el concepto de límite, imaginando un trapezoide curvo como el límite de una serie de combinaciones rectangulares. A partir del siglo XIX, con la integración de varios tipos de funciones en diversos campos de la integración, surgieron gradualmente definiciones de integración más avanzadas.
Por ejemplo, la integral de trayectoria es la integral de una función multivariada. El intervalo de la integral ya no es un segmento de recta (intervalo [a, b]), sino un segmento de curva en el plano o en. espacio.