El espacio vectorial y sus teorías y métodos son ampliamente utilizados en diversos campos de la ciencia y la tecnología.
Definición detallada
El espacio vectorial también se llama espacio lineal. Es uno de los contenidos centrales y conceptos básicos del álgebra lineal. Sea v un conjunto no vacío y p el dominio. Si:
1. Se define una operación en V, llamada suma, es decir, dos elementos cualesquiera α y β en V corresponden al único elemento cierto α+β en V de acuerdo con una determinada regla, que se llama La suma de α y β. [2]
2. Se define una operación entre los elementos de P y V, llamada multiplicación escalar (también llamada multiplicación de cantidades), es decir, cualquier elemento α en V y cualquier elemento K en P según ciertas reglas, corresponde al único elemento kα en V, que se llama producto de K y α.
3. La suma y la multiplicación escalar satisfacen las siguientes condiciones:
1) α+β=β+α, para cualquier α, β ∈ V.
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ, para cualquier α, β, γ∈V.
3) Existe un elemento 0∈ V, para todo α∈V, hay α+0=α, y el elemento 0 se llama elemento cero de V.
4) Para cualquier α∈V, hay un elemento negativo β∈V tal que α+β= 0, β se llama α y se registra como -α.
5) Para el elemento identidad 1 en P, existe 1α=α(α∈V).
6) Para cualquier k, l∈P, α ∈ v, existe (kl)α=k(lα).
7) Para cualquier k, l∈P, α ∈V, hay (k+l)α=kα+lα.
8) Para cualquier k∈P, α, β∈V, k(α+β)=kα+kβ,
Entonces V se llama espacio lineal en el dominio P O espacio vectorial, los elementos en V se llaman vectores, los puntos cero de V se llaman vectores cero y P se llama dominio base del espacio lineal. Cuando P es el cuerpo de los números reales, V se llama espacio lineal real. Cuando P es un dominio de números complejos, V se denomina espacio lineal complejo. Por ejemplo, si V es el conjunto de todos los vectores (segmentos de línea dirigidos) en el espacio geométrico tridimensional, y P es el campo de números reales R, entonces la suma de V y los vectores (es decir, la regla del paralelogramo) y la multiplicación de números y vectores constituyen linealidad en el campo de números reales R. espacio. Para otro ejemplo, si V es el conjunto Mmn(P) de todas las matrices m×n en el campo de números P, y la suma y la multiplicación escalar de V son matrices. suma y multiplicación de matrices numéricas respectivamente, entonces Mmn(P) es el campo numérico P. En el espacio lineal de , los vectores en V son matrices m×n. Para otro ejemplo, el conjunto P compuesto por todos los vectores de N elementos (a1, a2,..., an) en el dominio P es (a1, a2,..., an) + (b1, b2,... , BN) = (A1+B6544).