Cómo entender el espacio lineal

El espacio vectorial, también conocido como espacio lineal, es uno de los contenidos centrales y conceptos básicos del álgebra lineal. Después de que se introdujo el concepto de vectores en la geometría analítica, muchos problemas se abordaron de manera más concisa y clara. Sobre esta base, se abstrae aún más el concepto de espacio vectorial asociado con el dominio. Por ejemplo, el conjunto de polinomios de coeficientes reales forma un espacio vectorial después de definir las operaciones apropiadas, lo que facilita el procesamiento algebraico. El conjunto de funciones reales con una variable también forma un espacio vectorial después de definir las operaciones apropiadas. La rama de las matemáticas que estudia los espacios vectoriales de dichas funciones se llama análisis funcional.

El espacio vectorial y sus teorías y métodos son ampliamente utilizados en diversos campos de la ciencia y la tecnología.

Definición detallada

El espacio vectorial también se llama espacio lineal. Es uno de los contenidos centrales y conceptos básicos del álgebra lineal. Sea v un conjunto no vacío y p el dominio. Si:

1. Se define una operación en V, llamada suma, es decir, dos elementos cualesquiera α y β en V corresponden al único elemento cierto α+β en V de acuerdo con una determinada regla, que se llama La suma de α y β. [2]

2. Se define una operación entre los elementos de P y V, llamada multiplicación escalar (también llamada multiplicación de cantidades), es decir, cualquier elemento α en V y cualquier elemento K en P según ciertas reglas, corresponde al único elemento kα en V, que se llama producto de K y α.

3. La suma y la multiplicación escalar satisfacen las siguientes condiciones:

1) α+β=β+α, para cualquier α, β ∈ V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ, para cualquier α, β, γ∈V.

3) Existe un elemento 0∈ V, para todo α∈V, hay α+0=α, y el elemento 0 se llama elemento cero de V.

4) Para cualquier α∈V, hay un elemento negativo β∈V tal que α+β= 0, β se llama α y se registra como -α.

5) Para el elemento identidad 1 en P, existe 1α=α(α∈V).

6) Para cualquier k, l∈P, α ∈ v, existe (kl)α=k(lα).

7) Para cualquier k, l∈P, α ∈V, hay (k+l)α=kα+lα.

8) Para cualquier k∈P, α, β∈V, k(α+β)=kα+kβ,

Entonces V se llama espacio lineal en el dominio P O espacio vectorial, los elementos en V se llaman vectores, los puntos cero de V se llaman vectores cero y P se llama dominio base del espacio lineal. Cuando P es el cuerpo de los números reales, V se llama espacio lineal real. Cuando P es un dominio de números complejos, V se denomina espacio lineal complejo. Por ejemplo, si V es el conjunto de todos los vectores (segmentos de línea dirigidos) en el espacio geométrico tridimensional, y P es el campo de números reales R, entonces la suma de V y los vectores (es decir, la regla del paralelogramo) y la multiplicación de números y vectores constituyen linealidad en el campo de números reales R. espacio. Para otro ejemplo, si V es el conjunto Mmn(P) de todas las matrices m×n en el campo de números P, y la suma y la multiplicación escalar de V son matrices. suma y multiplicación de matrices numéricas respectivamente, entonces Mmn(P) es el campo numérico P. En el espacio lineal de , los vectores en V son matrices m×n. Para otro ejemplo, el conjunto P compuesto por todos los vectores de N elementos (a1, a2,..., an) en el dominio P es (a1, a2,..., an) + (b1, b2,... , BN) = (A1+B6544).