2. Habilidades y métodos
1. Prestar atención a la comprensión y dominio de los conceptos básicos, y utilizar de forma correcta y hábil los métodos y operaciones básicos.
El álgebra lineal tiene muchos conceptos, los importantes son:
Cofactores algebraicos, matrices adjuntas, matrices inversas, transformaciones elementales y matrices elementales, transformaciones ortogonales y matrices ortogonales, rango (Matriz, grupo de vectores, forma cuadrática), equivalencia (matriz, grupo de vectores), combinación lineal y representación lineal, dependencia lineal e independencia lineal, grupo linealmente independiente máximo, sistema de solución básico y solución general, estructura de solución y espacio de solución, características Valores y vectores propios, similitud y diagonalización de similitud.
En años anteriores, los candidatos a menudo no captaban con precisión la connotación de los conceptos, ni prestaban atención a las diferencias y conexiones entre conceptos relacionados, lo que provocaba errores al responder las preguntas.
Por ejemplo, la matriz A = (α1, α2,..., αm) es equivalente a B = (β1, β2..., βm), lo que significa que B se puede obtener de A a través de una transformación elemental. Para hacer esto, la clave es ver si los rangos r(A) y r(B) son iguales, y el grupo de vectores α 655. Por lo tanto, tienen el mismo rango, pero cuando los grupos de vectores tienen el mismo rango, no hay garantía de que sean lineales entre sí y no se puede obtener la información de que los grupos de vectores son equivalentes. Por lo tanto, de la equivalencia de los grupos de vectores α1, α2,...αm y β1, β2,...βm, se puede ver que la matriz A = (α 1, α2,
Para En otro ejemplo, las matrices simétricas reales A y B se contraen, es decir, existe una matriz C invertible tal que CTAC = B. Para lograrlo, la clave es si los indicadores de inercia positivos y negativos de las cuadráticas xTAx y XTXB son iguales. , y la similitud entre A y B significa que existe una matriz P invertible tal que P-1AP = B, entonces sabemos que A y B tienen los mismos valores propios. Si los valores propios son iguales, podemos saber que los. Los exponentes de inercia positivos y negativos son los mismos, pero hay muchos algoritmos de álgebra lineal que deben resolverse. Sea claro, no se confunda, las operaciones básicas y los métodos básicos deben pasar la prueba:
El cálculo del determinante (tipo numérico, tipo alfabético), matriz inversa, rango de la matriz, potencia de la matriz cuadrada y rango del grupo de vectores linealmente independiente máximo, determinación de correlación lineal o parámetros, sistema de solución básico, solución general de no- ecuaciones lineales homogéneas, valores propios y vectores propios (método de definición, método del sistema de solución básica de polinomios característicos), matrices diagonales similares La determinación y solución de la matriz simétrica real se transforma en matrices diagonales mediante transformación ortogonal. 2. Preste atención a la conexión y transformación de los puntos de conocimiento y esfuércese por mejorar la capacidad de análisis integral.
El álgebra lineal tiene contenidos entrecruzados y entrelazados, por lo que los métodos de resolución de problemas son flexibles y cambiantes. Al revisar, siempre debes preguntarte si lo estás haciendo bien, ¿de acuerdo? Resume, descubre las conexiones internas, integra el conocimiento que has aprendido, familiarízate con la interfaz y los puntos de entrada, y tus ideas se ampliarán naturalmente. /p>
Por ejemplo, A es una matriz m×n, B es una matriz n×s, AB = 0, entonces a partir de la matriz de bloques podemos saber que todos los vectores columna de B son soluciones del sistema de ecuaciones homogéneo AX = 0, y luego de acuerdo con la teoría básica del sistema de solución y la relación entre el rango de la matriz y el rango del grupo de vectores, podemos tener
R(B)≤n-r(A) significa r (a)+r (b) ≤ n.
Además, se pueden encontrar algunos parámetros en la matriz A o B
Para otro ejemplo, si A es de orden N. matriz, también se puede diagonalizar. Entonces, si P-1ap = ∧Después del procesamiento de la matriz de bloques, podemos saber que A tiene N vectores propios linealmente independientes y P es linealmente independiente de A. Compuesto por vectores propios, entonces a partir de la relación entre vectores propios y del sistema de solución básica, podemos saber que si λi es el valor propio pesado de ni, entonces la solución básica x = 0 de la ecuación homogénea (λ IE-A).
Además, se sabe que el rango r (λie-a) = n-ni. Entonces, si A no puede diagonalizarse de manera similar, entonces los valores propios de A deben tener múltiples raíces y los valores propios λi tales que el rango r (λ ie-a) < n-ni. Si A es una matriz simétrica real, se sabe que para cada valor propio λ i, debe haber r (λ ie-a) = n-ni.
Para dar otro ejemplo, para un determinante de orden n, sabemos:
Si a = 0, ax = 0 debe tener una solución distinta de cero, pero ax = 0. b no tiene solución única Solución (puede haber infinitas soluciones o puede que no haya solución). Cuando | a | ≠ 0, la solución única de ax = b se puede encontrar mediante la regla de Clem.
| a | se puede utilizar para demostrar si la matriz A es invertible. Si es invertible, A-1 se puede encontrar a través de la matriz adjunta;
Para N N-dimensional. vectores α1, α2,... .α n, si el determinante | a | = | α 65438+α 2...α n | se puede utilizar para juzgar la correlación lineal del grupo de vectores.
El rango r(A) de la matriz A está definido por el orden más alto de entradas distintas de cero en A. Si r (a) < r, entonces todas las entradas de R en A son 0;
Los valores propios de la matriz A se pueden obtener calculando el determinante | λ e-a |. Si λ = λ 0 es el valor propio de a, entonces el determinante |λ0e-a | = 0;
Para juzgar la certeza positiva de la xTAx cuadrática, puedes usar los componentes principales de la secuencia para ser mayor que cero.
Esto se debe precisamente a que los puntos de conocimiento del álgebra lineal están inextricablemente vinculados y las preguntas algebraicas son más completas y flexibles. Los estudiantes deben prestar atención a las series, la conexión y la transformación al organizar.
3. Presta atención a la lógica y la narrativa.
El álgebra lineal tiene requisitos más altos en abstracción y lógica. A través de preguntas de prueba, podemos comprender la comprensión y el dominio de los principios y teoremas fundamentales de las matemáticas por parte de los candidatos, y evaluar la capacidad de pensamiento abstracto y de razonamiento lógico de los candidatos. Al revisar y organizar, debes conocer las condiciones para que se establezcan las fórmulas y teoremas, y no debes subestimarte. Al mismo tiempo, también debemos prestar atención a la expresión narrativa precisa y concisa del lenguaje.