Recitación de puntos generales para el examen de ingreso a posgrado

Área integral D1: 1/4 de un círculo con longitud de lado √2R.

∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(0,π/2)∫dθ(0,√2r)∫e(-r^2)rdr=π/ 4*[1-e^(-2r^2)]

Área integral D2: 1/4 de círculo con longitud de lado r

∫∫e^(-x^2 - y^2)dxdy=(0,π/2)∫dθ(0,r)∫e(-r^2)rdr=π/4*[1-e^(-r^2)]

Área de integración d: un cuadrado con longitud de lado r

(El círculo exterior es un círculo con un radio de √2R, que luego está rodeado por un cuadrado, y el cuadrado está rodeado por un círculo con un radio r)

∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(0,r)∫e(-x^2)dx(0,r)∫e( -y^2)dy

=[(0, R)∫e(-x^2)dx]^2

Así que obviamente lo hay

(d2)∫∫e^( -x^2-y^2)dxdylt (d)∫∫e^(-x^2-y^2)dxdylt; -y^2)dxdy

Es decir, π/4 * [1-e (-r 2)

Criterio de pellizco, R→ ∞

Lin [(0, r)∫e (-x^2)dx]^2=[(0, ∞)∫e(-x^2)dx]^2]^2=π/4

Entonces (0, ∞) ∫ e (-x 2) dx = √ π/2.

O un método menos estricto

El área integrada es todo el plano.

∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=[(0, ∞)∫e(-x^2)dx]^2=(0, π/2)∫ dθ(0, ∞)∫e(-r^2)rdr=π/4

(0, ∞)∫e(-x^2)dx=√π/2