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La expresión original de la mecánica clásica fue dada por Newton Los métodos geométricos y los vectores se utilizan ampliamente como herramientas de investigación, por lo que. También se llama mecánica vectorial (a veces también llamada mecánica newtoniana). Lagrange, Hamilton, Jacoby y otros utilizaron coordenadas generalizadas y métodos variacionales para establecer un conjunto de métodos de expresión mecánica equivalentes a la mecánica vectorial. En comparación con la mecánica vectorial, el método de expresión de la mecánica analítica es más universal. Muchos problemas complejos de la mecánica vectorial se pueden resolver simplemente utilizando la mecánica analítica. Los métodos de la mecánica analítica pueden extenderse a sistemas de mecánica cuántica y sistemas dinámicos complejos, y tienen importantes aplicaciones en mecánica cuántica y dinámica no lineal. La mecánica analítica es una rama de la mecánica teórica y una expresión altamente matemática de la mecánica clásica.
Los diferentes sistemas siguen diferentes ecuaciones diferenciales de movimiento; estudiar sistemas con una gran cantidad de partículas requiere mecánica estadística; los procesos con efectos cuánticos no despreciables requieren estudiar mecánica cuántica. Pero el conocimiento de la mecánica analítica sigue desempeñando un papel importante en la mecánica estadística y la mecánica cuántica.
La mecánica analítica es una rama de la mecánica general. Utiliza coordenadas generalizadas como variables para describir el sistema de partículas. Se basa en las leyes del movimiento de Newton y utiliza métodos de análisis matemático para estudiar problemas mecánicos en fenómenos macroscópicos. El libro "Mecánica analítica" publicado por J.-L. Lagrange en 1788 sentó las bases de esta disciplina.
Historia del desarrollo
A partir del siglo XVIII apareció en la historia del desarrollo de la mecánica otro sistema mecánico, la mecánica analítica, que siguió el ritmo de la mecánica vectorial. La característica de este sistema es que el análisis de energía y trabajo sustituye al análisis de fuerza y par. Para evitar la aparición de una fuerza de unión ideal desconocida, un método en mecánica analítica es establecer una relación directa entre la fuerza de unión ideal y la ecuación de restricción, y derivar una ecuación dinámica más obvia que el método general de la mecánica vectorial: el primero. tipo de ecuación lagrangiana. Otro método de la mecánica analítica es utilizar métodos de análisis puramente matemáticos, utilizando principios y fórmulas unificadas para representar las ecuaciones dinámicas descritas por coordenadas independientes, superando las deficiencias de depender de técnicas para establecer esta ecuación en dinámica vectorial. Esta ecuación unificada es la ecuación lagrangiana de segundo tipo. Todo el trabajo anterior fue realizado por J.L. Lagrange en 1788. La mecánica analítica basada en ecuaciones lagrangianas se llama mecánica lagrangiana. En 1834, Hamilton transformó el segundo tipo de ecuación de Lagrange en una forma regular y resumió los principios básicos de la dinámica en la forma variacional del principio de Hamilton, estableciendo así la mecánica hamiltoniana. Para un sistema dinámico, aunque el establecimiento de las ecuaciones lagrangianas de segundo tipo o las ecuaciones canónicas hamiltonianas del sistema no depende de las habilidades, el proceso de derivación matemática es bastante complejo, por lo que es bastante difícil establecer las ecuaciones dinámicas de un sistema multi- Sistema de grado de libertad difícil y propenso a errores. Utilizando el primer tipo de ecuaciones lagrangianas para resolver los problemas dinámicos del sistema, como el método general de dinámica vectorial, aunque es fácil establecer las ecuaciones, la escala de su solución es grande. Es por esta razón que se han dejado de lado el primer tipo de ecuaciones lagrangianas, que no son superiores a los métodos generales de dinámica vectorial en la historia del desarrollo mecánico.
Con el desarrollo de la tecnología informática moderna, los problemas matemáticos con características estilizadas se pueden resolver sin importar cuán grandes sean. Por lo tanto, las ecuaciones lagrangianas del primer tipo para resolver problemas dinámicos han atraído una amplia atención. Se puede decir que en el software de análisis asistido por computadora que resuelve con éxito problemas dinámicos complejos, la primera ecuación de Lagrange y la ecuación de restricción de aceleración se utilizan como modelo dinámico del sistema.
La "Mecánica analítica" de Lagrange, publicada en 1788, es el trabajo de mecánica analítica más antiguo del mundo. La base de la mecánica analítica es el principio del trabajo virtual y el principio de D'Alembert. Combinando las dos, se pueden obtener ecuaciones cinéticas generales y luego se pueden derivar ecuaciones cinéticas para varios sistemas de mecánica analítica.
Durante 1760 ~ 1761, Lagrange combinó estos dos principios con restricciones ideales y obtuvo las ecuaciones generales de la dinámica. Casi todas las ecuaciones cinéticas de la mecánica analítica se derivan directa o indirectamente de esta ecuación.
En 1834, Hamilton derivó una ecuación dinámica expresada en coordenadas generalizadas y momento generalizado, que se llamó ecuación canónica. En el espacio multidimensional del sistema hamiltoniano, el principio de variación de la integral de trayectoria que representa un punto del sistema se puede utilizar para estudiar los problemas mecánicos del sistema completo.
Desde 1861, cuando se dedujo la ecuación de rodadura de una esfera en un plano horizontal, hasta 1899, cuando Appel propuso la ecuación de Appel en mecánica racional, la teoría de la restricción lineal no holonómica se completó básicamente.
En el siglo XX, la mecánica analítica llevó a cabo más investigaciones sobre sistemas mecánicos no lineales, inestables y de masa variable y otros sistemas, y realizó extensas investigaciones sobre la estabilidad del movimiento.
Clasificación
La mecánica analítica se divide en mecánica lagrangiana o mecánica hamiltoniana. El primero usa cantidades lagrangianas para describir sistemas mecánicos, y las ecuaciones de movimiento se llaman ecuaciones lagrangianas. El segundo usa cantidades hamiltonianas para describir sistemas mecánicos, y las ecuaciones de movimiento son ecuaciones canónicas hamiltonianas.
La mecánica analítica es un sistema mecánico adecuado para estudiar fenómenos macroscópicos, y su objeto de investigación es el sistema de partículas. El sistema de partículas puede considerarse como un modelo ideal de un sistema mecánico compuesto por objetos macroscópicos como cuerpos rígidos, cuerpos elásticos, fluidos y sus combinaciones. El número de partículas puede variar de uno a infinito. Por poner otro ejemplo, el sistema solar puede considerarse como un sistema de partículas libres y la interacción entre estrellas es la gravedad. El estudio de la mecánica celeste de los planetas y satélites del sistema solar está estrechamente relacionado con la mecánica analítica y se promueven mutuamente en términos de métodos. La mayoría de los problemas mecánicos en ingeniería son sistemas de partículas restringidos y se forman diferentes sistemas mecánicos debido a diferentes tipos; de ecuaciones de restricción. Por ejemplo, sistemas completos, sistemas no holonómicos, sistemas estables, sistemas inestables, etc.
Los contenidos principales de la investigación en mecánica analítica incluyen: derivar ecuaciones dinámicas de varios sistemas mecánicos, como las ecuaciones de Lagrange, ecuaciones canónicas y ecuaciones de Appel de sistemas no holonómicos, explorar principios universales de la mecánica, como los de Hamid Dayton; principio, principio de acción mínima, etc.; discutir las características de los sistemas mecánicos para resolver ecuaciones diferenciales de movimiento, como estudiar transformaciones canónicas para resolver ecuaciones regulares y juzgar la estabilidad del sistema mediante el estudio de las trayectorias de puntos representativos; espacio de fase.
El método de la mecánica analítica es diferente del método de la mecánica clásica newtoniana. El método de Newton consiste en separar el sistema objeto en componentes fuera del cuerpo, agregar fuerzas de reacción restrictivas de acuerdo con la ley de reacción y luego enumerar las ecuaciones de movimiento.
Los principios variacionales (como el principio de Hamilton) también se pueden utilizar para derivar ecuaciones diferenciales de movimiento en mecánica analítica. Su ventaja es que se puede extender a nuevos campos (como la electrodinámica) y el método de aproximación en teoría variacional se puede aplicar para resolver problemas. Desde la década de 1960, para diseñar naves espaciales y robots complejos, se han desarrollado sistemas de cuerpos multirígidos y se han establecido ecuaciones dinámicas sin utilizar el método tradicional de derivación de funciones dinámicas. Las ecuaciones establecidas son fáciles de calcular mediante una computadora electrónica.
Antes del establecimiento de la mecánica cuántica, los físicos utilizaban la mecánica analítica para estudiar problemas mecánicos de fenómenos microscópicos. A partir de 1923, la mecánica cuántica comenzó a establecerse y mejorarse gradualmente, reemplazando a la mecánica analítica en el campo de la investigación de fenómenos microscópicos. Pero dominar algunos conocimientos básicos de la mecánica analítica es útil para aprender bien la mecánica cuántica. Por ejemplo, el conocimiento de la mecánica analítica se utiliza para obtener la función hamiltoniana, que luego se convierte en un operador hamiltoniano, y luego la ecuación hamiltoniana-jacobiana se convierte en la ecuación de Schrödinger, la ecuación básica de la mecánica ondulatoria.
Cuando Einstein propuso la teoría de la relatividad, también aplicó algunos métodos de la mecánica analítica al estudio de la mecánica relativista a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.
Principios básicos
Los principios básicos de la mecánica analítica son principalmente el principio de trabajo virtual y el principio de d'Alembert, y el primero es la base de la estática analítica. Combinando las primeras con las últimas, podemos obtener las ecuaciones generales de la dinámica y luego derivar las ecuaciones dinámicas de varios sistemas de mecánica analítica. El objeto de estudio son los sistemas de partículas. El sistema de partículas puede considerarse como el modelo ideal del sistema mecánico compuesto por todos los objetos macroscópicos. Por ejemplo, los cuerpos rígidos, los cuerpos elásticos, los fluidos y sus combinaciones pueden considerarse sistemas de partículas, y el número de partículas puede variar de 1 a infinito.
Por poner otro ejemplo, el sistema solar puede verse como un sistema de partículas libres. La mecánica celeste estudia el movimiento de los planetas y satélites en el sistema solar. Está estrechamente relacionada con la mecánica analítica y se promueve entre sí en sus métodos. La mecánica analítica es superior a la resolución de sistemas de partículas restringidas porque con ecuaciones restringidas, el grado de libertad del sistema se puede reducir y el orden de las ecuaciones diferenciales de movimiento también se reducirá, lo que facilita la resolución.
Distinguir
La mecánica analítica y la mecánica teórica son lo mismo en principio, pero en los libros de texto generales, la mecánica teórica primero hablará sobre algunos conocimientos de la mecánica general, y luego el último capítulo lo hará. Habla de mecánica analítica, lo que significa que la mecánica teórica es simple y fácil de aprender, y es una mecánica analítica relativamente elemental.
La mecánica analítica utiliza coordenadas generalizadas como variables para describir el sistema de partículas. Se basa en el principio de desplazamiento virtual y el principio de d'Alembert, y utiliza métodos de análisis matemático para estudiar problemas mecánicos en fenómenos macroscópicos. La "Mecánica analítica" de J.-L. Lagrange, publicada en 1788, sentó las bases de esta disciplina. En 1834 y 1843, W.R. Hamilton estableció el principio y las ecuaciones regulares de Hamilton, promoviendo aún más el desarrollo de la mecánica analítica. En 1894, H.R. Hertz propuso dividir las restricciones y los sistemas en dos categorías: completos e incompletos. A partir de entonces se inició la investigación en mecánica analítica de sistemas no holonómicos. El contenido básico de la mecánica analítica es explicar los principios generales de la mecánica, derivar las ecuaciones diferenciales básicas de movimiento del sistema de partículas y estudiar estas ecuaciones mismas y sus métodos de integración. En los últimos 20 años se han desarrollado los principios y métodos para estudiar la mecánica analítica desde la perspectiva de la geometría diferencial moderna. La mecánica analítica es uno de los fundamentos de la física clásica y de la mecánica en su conjunto. Se utiliza ampliamente en análisis estructural, dinámica y vibración de máquinas, mecánica aeroespacial, sistemas de cuerpos multirígidos y dinámica de robots, y en diversos campos de la tecnología de ingeniería. También se puede extender a la mecánica continua y la mecánica relativista.