A continuación se discuten algunos conceptos importantes en la teoría de grupos. Primero, se definen y analizan las operaciones en subconjuntos de grupos. A partir de la operación de subconjunto de grupos, se introducen y discuten el concepto y las propiedades de las clases laterales de subgrupo. Se definen y analizan los conceptos y propiedades de subgrupos normales y grupos de cocientes. Con la ayuda del concepto de grupo cociente, se demuestra el teorema básico del homomorfismo de grupo y se representa sistemáticamente la imagen homomórfica del grupo. Esta parte es el contenido más básico de la teoría de grupos y es necesaria para cualquier lector que quiera aprender teoría de grupos. Y se da el concepto de producto directo de grupos, que es una herramienta indispensable para estudiar la estructura de los grupos.
Finalmente, la teoría básica y la aplicación de la teoría de representación de grupos, incluidos los conceptos de espacio vectorial y espacio funcional, el rango y producto directo de matrices, subespacios invariantes y representación reducible, el lema de Shur y la teoría ortogonal. símbolos característicos, funciones normales, funciones básicas, productos directos de representaciones, etc.
Después de la teoría de la representación de grupos, está su aplicación en la mecánica cuántica, como la resolución de algunos problemas de la mecánica cuántica desde la perspectiva de la teoría de grupos, incluyendo principalmente la simetría del operador hamiltoniano, el teorema del elemento matricial y el teorema de selección pero. De esta manera, podrá comprender los conocimientos básicos de la teoría de grupos y la teoría de representación de grupos finitos, y sentar las bases para la aplicación de la teoría de grupos en física.
La teoría de grupos es una de las grandes ideas simplificadoras y unificadoras de las matemáticas modernas, y tiene importantes aplicaciones en muchos campos científicos. Por ejemplo, la teoría de grupos es la base de la mecánica cuántica. Se introdujo para comprender las soluciones de ecuaciones polinómicas, pero no fue hasta los últimos cien años que se entendió como una expresión matemática de simetría. Desempeña un papel importante en nuestra comprensión de las partículas elementales, las estructuras reticulares y la geometría molecular. En esta unidad estudiaremos los axiomas simples que satisfacen los grupos y comenzaremos a desarrollar la teoría básica de grupos de forma axiomática. El propósito de este curso es presentar a los estudiantes los conceptos de grupos y sistemas axiomáticos a través de ejemplos de teoría de grupos, estudiar las propiedades básicas de los grupos e ilustrarlas con algunos ejemplos importantes, como grupos lineales generales y grupos de simetría.
Damos los símbolos necesarios y las definiciones básicas utilizadas en el artículo. Primero, se definen y discuten los conceptos de subclases, clases laterales, descomposición de grupos de problemas y clases laterales. Intersección y miembros bicoset de subclases, etc. El contenido de esta parte es el contenido más básico que los estudiantes deben aprender.
Una herramienta importante para estudiar grupos (especialmente grupos finitos y grupos compactos) es la teoría de la representación. En términos generales, esto requiere que sea posible tratar un grupo como un grupo de permutación o un grupo lineal. Muchas áreas atractivas de la teoría de la representación relacionan la representación de grupos con las representaciones de sus subgrupos, en particular los subgrupos normales, los subgrupos algebraicos y los subgrupos locales. La teoría de la representación también considera imágenes de grupos en grupos de automorfismos de grupos abelianos distintos de espacios vectoriales complejos simples (estos son módulos de grupos); (Esta es una configuración más flexible que la teoría abstracta de grupos, ya que ingresamos al dominio de la suma). La teoría de la representación modular estudia el caso en el que los módulos son espacios vectoriales sobre campos con características positivas.
Finalmente, el curso trata sobre la aplicación de la teoría de grupos a la mecánica cuántica. Consideremos operaciones de simetría del sistema. Las operaciones de simetría se transforman en simetrías hamiltonianas, que son relevantes para representar matrices. Entonces está el teorema del elemento matricial y la selección de teoría.
La teoría de ecuaciones es el tema central del álgebra clásica. Hasta mediados del siglo XIX, el álgebra seguía siendo una disciplina matemática centrada en la teoría de ecuaciones, y la solución de ecuaciones algebraicas seguía siendo un problema básico del álgebra, especialmente la solución de ecuaciones con raíces. La llamada ecuación tiene soluciones radicales (algebraicamente solucionables), es decir, la solución de esta ecuación se expresa mediante operaciones finitas como suma, resta, multiplicación, división y apertura de potencias enteras. La teoría de grupos también se originó a partir del estudio de ecuaciones algebraicas y es el resultado de la investigación lógica de las personas sobre la resolución de ecuaciones algebraicas.
A partir del desarrollo de la teoría de ecuaciones, este artículo explica el proceso de generación de la teoría de grupos de Galois y la esencia de la teoría de Galois.
1. Antecedentes históricos de la teoría de grupos de Galois
A juzgar por el proceso de desarrollo de la solución de los radicales de ecuaciones, ya en los registros de las antiguas matemáticas babilónicas y de las matemáticas indias, pudieron Usando radicales para resolver la ecuación cuadrática ax2 bx c=0, la solución dada es equivalente a la raíz cuadrada de la función de coeficiente. Luego, los antiguos griegos y los antiguos orientales resolvieron algunas ecuaciones numéricas cúbicas especiales, pero no obtuvieron una solución general a la ecuación cúbica. Los italianos no resolvieron este problema hasta el apogeo del Renacimiento (es decir, principios del siglo XVI). Usaron la fórmula de Cartan para resolver la ecuación cúbica general x3 ax2 bx c=0, donde p=ba2, q=a3. Evidentemente se obtiene mediante la función cúbica del coeficiente. Al mismo tiempo, el italiano Ferrari resolvió la ecuación cuártica general x4 ax3 bx2 cx d=0, utilizando la función de cuarta potencia del coeficiente para encontrar la raíz.
En el siglo XVI se resolvió con éxito el problema raíz de las ecuaciones de cuarto grado e inferiores, sin embargo, en los siglos siguientes no se obtuvo la solución general de las ecuaciones de cuarto grado e inferiores. Alrededor de 1770, el matemático francés Lagrange transformó la forma de pensar en álgebra, proponiendo que la teoría de sustitución de raíces de ecuaciones es la clave para resolver ecuaciones algebraicas, y utilizando el método de presolución de Lagrange, es decir, utilizando cualquier enésima unidad de 1 raíz, la fórmula presuelta x 1 X2 2 x3 ... N- se deriva. Su trabajo contribuyó significativamente al desarrollo de la teoría de ecuaciones algebraicas. Pero su método no podía proporcionar una solución radical a la ecuación quíntica general, por lo que sospechaba que la ecuación quíntica no tenía solución radical. Además, tampoco logró encontrar soluciones algebraicas a ecuaciones generales de grado n, dándose cuenta así de que las ecuaciones algebraicas generales de grado 4 o superior no pueden tener soluciones radicales. Su método de pensamiento y su método de estudiar la sustitución de raíces han inspirado a las generaciones futuras.
En 1799, Ruffini demostró que la pre-solución de una ecuación de quinto grado o más no puede ser menor que cuatro, demostrando así que la ecuación de quinto grado o más no se puede resolver usando raíces, sino su prueba no es perfecta. Ese mismo año, el matemático alemán Gauss fue pionero en un nuevo método. Al demostrar la teoría fundamental del álgebra, no calculó una raíz, sino que demostró su existencia. Más tarde, comenzó a discutir soluciones específicas a ecuaciones de orden superior. En 1801, resolvió la ecuación ciclotemática xp-1=0 (p es un número primo), lo que indica que no todas las ecuaciones de orden superior no pueden resolverse utilizando raíces. Por lo tanto, es necesario aclarar aún más si todas las ecuaciones de orden superior o algunas ecuaciones de orden superior se pueden resolver utilizando raíces.
Posteriormente, el matemático noruego Abel comenzó a resolver este problema. De 1824 a 1826, Abel comenzó a estudiar las propiedades de las raíces de ecuaciones que se pueden resolver mediante raíces, por lo que corrigió los defectos en la demostración de Ruffini y demostró estrictamente que si una ecuación se puede resolver mediante raíces, entonces toda raíz en la expresión de las raíces pueden ser números racionales expresados como raíces de una ecuación y algunas raíces unitarias. Y usó este teorema para demostrar el teorema de Abel: en general, las ecuaciones superiores al cuarto grado no se pueden resolver mediante métodos algebraicos. Luego consideró qué ecuaciones especiales de orden superior podrían resolverse usando raíces. Sobre la base de la teoría de la solubilidad de las ecuaciones ciclotómicas de Gauss, resolvió el problema de solubilidad de una ecuación especial de cualquier grado y encontró que todas las raíces de esta ecuación especial son funciones racionales de una de las raíces (suponiendo X), y dos cualesquiera Las raíces Q1(x) y Q2(x) satisfacen Q1Q2 (X) = Q2Q6544. Esta ecuación ahora se llama ecuación de Abel. De hecho, algunas ideas y resultados especiales de grupos han estado involucrados en el estudio de las ecuaciones de Abel, pero Abel no pudo reconocer y construir claramente el conjunto de permutaciones de las raíces de la ecuación (porque si todas las raíces de la ecuación se expresan como racionales funciones QJ (x1) , J = 1, 2, 3..., N. Al usar otra, en realidad debería decirse que las raíces xI=Q1(xI), Q2(xI),..., Qn( xI) son las raíces x1, x2,..., una disposición de Fue en este contexto que el matemático francés Galois comenzó a asumir la causa indiscutible de Abel.
Dos. El trabajo de Galois en la fundación de la teoría de grupos
Galois estudió cuidadosamente las teorías de sus predecesores, especialmente los trabajos de Lagrange, Ruffini, Gauss, Abel y otros, y comenzó a estudiar la teoría de la solubilidad de ecuaciones polinómicas. No estaba ansioso por encontrar formas de resolver ecuaciones de orden superior, sino que se centró en determinar si las ecuaciones conocidas tenían soluciones radicales. Si es así, no preguntes cuáles son las raíces de la ecuación, simplemente demuestra que existen soluciones radicales.
1. El establecimiento de la teoría de grupos de Galois
Al igual que Lagrange, Galois demostró que no existe una solución raíz general para ecuaciones de quinto grado o superiores. Se comienza con la sustitución de las raíces. de la ecuación. Cuando estudió sistemáticamente las propiedades de sustitución y sustitución de las raíces de las ecuaciones, propuso algunos criterios para determinar si la solución de una ecuación conocida se puede encontrar a partir de las raíces. Sin embargo, estos métodos sólo le llevaron a considerar una teoría algebraica abstracta llamada "grupos". En su artículo de 1831, Galois propuso el término "grupo" por primera vez, llamó grupo al conjunto de permutaciones cerradas y definió el concepto de grupo de permutaciones por primera vez. Él cree que comprender el grupo de permutación es la clave para resolver la teoría de ecuaciones. Una ecuación es un sistema y su simetría puede describirse mediante las propiedades del grupo. A partir de entonces comenzó a resolver directamente los problemas de teoría de ecuaciones y teoría de grupos y teoría de grupos de estudio. Introdujo muchos conceptos nuevos sobre la teoría de grupos y también produjo su propia teoría de grupos de Galois, por lo que las generaciones posteriores lo llamaron el fundador de la teoría de grupos.
Ecuación de enésimo grado con coeficientes racionales
x axn-1 a2xn-2 … an-1x an = 0(1),
Asume sus n raíces Cada una La transformación de x1, x2,...,xn se llama permutación, ¡y hay n raíces * * *! Hay cinco permutaciones posibles, y su multiplicación con respecto al conjunto de permutaciones forma un grupo, que es el grupo de permutaciones de las raíces. La solubilidad de ecuaciones se puede reflejar en algunas propiedades de los grupos de permutación de raíces, por lo que Galois transformó la solubilidad de ecuaciones algebraicas en el análisis de las propiedades de los grupos de permutación y sus subgrupos. El grupo de permutación ahora asociado con la ecuación (que indica la simetría de la ecuación) se llama grupo de Galois, que es un grupo en el dominio de coeficientes de la ecuación. Para cada función polinómica con respecto a raíces cuyos valores son números racionales, el grupo de Galois de la ecuación es el grupo de permutación más grande que satisface este requisito. También se puede decir que para cualquier función polinómica con respecto a las raíces tiene un valor racional, cada permutación en el grupo de Galois mantiene inalterado el valor de esta función.
2. La esencia de la teoría de grupos de Galois
A partir del trabajo de Galois, podemos comprender gradualmente la esencia de la teoría de Galois. En primer lugar, se analiza cómo construyó el grupo de Galois sin conocer las raíces de la ecuación. Aún con la ecuación (1), suponiendo que sus raíces x1, x2,...,xn no tienen raíces múltiples, construyó una fórmula lagrangiana de pre-solución para x1, x2,...,xn.
Δ1 = a 1x 1 a2 x2 … Anxn,
donde ai (I = 1, 2, 3,..., n) no es necesariamente la raíz unitaria, pero debe ser algún número entero tal que n! Una ecuación lineal de la forma △1 △1, △2,…, △n! variar y luego construir una ecuación.
=0 (2),
Los coeficientes de esta ecuación deben ser números racionales (se puede demostrar mediante el teorema del polinomio simétrico), que se pueden descomponer en el producto de polinomios irreducibles en el campo de los números racionales. Supongamos que F(x)=cualquier factor irreducible de m-ésimo grado, entonces el grupo de Galois de la ecuación (1) se refiere a n. Todos estos m están dispuestos en un δI. Al mismo tiempo, aprendió del teorema de Vietta
que el grupo de Galois también es un grupo de simetría, que refleja plenamente la simetría de las raíces de esta ecuación. Sin embargo, es difícil calcular el grupo de Galois de una ecuación conocida, por lo que el propósito de Galois no es calcular el grupo de Galois, sino demostrar que siempre existe una ecuación de n-ésimo grado cuyo grupo de Galois es la raíz de la ecuación. El grupo de permutación más grande posible S(n), S(n) consta de n! El producto de elementos en S(n) en realidad se refiere al producto de dos permutaciones. Ahora el número de elementos en S(n) se llama orden, ¡y el orden de S(n) es n! .
Después de encontrar el grupo G de Galois en el campo de coeficientes de la ecuación, Galois comenzó a buscar su subgrupo más grande H1.
Después de encontrar H1, utilizó un conjunto de procedimientos que contenían sólo operaciones racionales (es decir, encontrar la fórmula previamente resuelta) para encontrar la raíz de una función. El coeficiente de pertenece al dominio de coeficientes r de la ecuación y no cambia su valor con la sustitución de H1, pero cambia su valor con todas las demás sustituciones de g. Luego, utilizando el método anterior, se calcula el subgrupo máximo H2 de H1, el. subgrupo máximo de H2 Los grupos H3,... se descubren a su vez, luego H1, H2,..., hm, hasta que los elementos en Hm tengan exactamente la misma transformación (es decir, Hm es el grupo unitario I). Al mismo tiempo, se obtienen una serie de subgrupos y sucesivas fórmulas previas a la solución, y el dominio del coeficiente R se expande gradualmente a R1, R2,..., Rm, y cada RI corresponde a un grupo HI. Cuando Hm=I, Rm es el dominio raíz de la ecuación, y los restantes R1, R2,..., Rm-1 son dominios intermedios. La posibilidad de resolver una ecuación en forma de raíces está estrechamente relacionada con las propiedades del dominio de las raíces. Por ejemplo, la ecuación de cuarto grado
x4 px2 q=0 (3),
P y Q son independientes, y el campo de coeficientes R es el campo que se obtiene sumando letras o números desconocidos. P y Q a números racionales. Primero calcule su grupo de Galois G. G es el subgrupo de octavo orden de S(4), G={E, E1, E2,...E7}, donde
E=, E1=, E2 = , E3=, E4=, E5=, E6=, E7= .
Para generalizar R a R1, necesita construir una fórmula presuelta en R y luego sumar las raíces de la fórmula pre-resuelta. fórmula resuelta a R Se obtiene un nuevo dominio R1, de modo que se puede demostrar que el grupo de la ecuación original (3) con respecto al dominio R1 es H1, H1={E, e65438. En segundo lugar, construya la segunda solución preliminar y encuentre la raíz, luego sume el dominio R2 al dominio R1 y al mismo tiempo encuentre el grupo H2 de la ecuación (3) en R2, donde H2 = {E, E1}. En este momento, el grado de la segunda solución preliminar es igual al índice del grupo H2 en H1. El tercer paso es construir la tercera solución preliminar para encontrar su raíz y agregarla a R2 para obtener el dominio extendido R3. En este momento, el grupo de la ecuación (3) en R3 es H3, H3={E}, es decir, H3=I, entonces R3 es el dominio raíz de la ecuación (3), y el grado de esta solución preliminar aún es igual al exponente del grupo H3 en H2 2÷1. En esta ecuación de cuarto grado en particular, la ecuación se puede resolver usando un radical para cada radical adicional a medida que el dominio del coeficiente se expande hacia el dominio de la raíz. Esta teoría solucionable también se aplica a ecuaciones generales de orden superior. Siempre que se agreguen raíces cada vez en el proceso de extender el dominio de los coeficientes al dominio de las raíces, las ecuaciones generales de orden superior también se pueden resolver usando raíces.
Ahora, tomando la ecuación de cuarto grado (3) como ejemplo, Galois descubrió que estas ecuaciones preresueltas son esencialmente una ecuación binomial cuadrática. Dado que el principio de solubilidad también se aplica a ecuaciones de orden superior, para ecuaciones de orden superior que generalmente se pueden resolver con raíces, sus fórmulas pre-resueltas deben existir, y todas las fórmulas pre-resueltas deben ser una ecuación binomial xp de orden primo p. =A. Porque Gauss ha demostrado que la ecuación binomial se puede resolver usando raíces. Por el contrario, si todos los presolucionadores sucesivos de cualquier ecuación de orden superior son ecuaciones binomiales, entonces la ecuación original se puede resolver usando raíces. Por tanto, Galois introdujo el principio de solución radical y también introdujo un concepto importante en la teoría de grupos, el "subgrupo normal".
Su definición de subgrupo normal es la siguiente: Supongamos que H es un subgrupo de G. Si todo G en G tiene gH = Hg, entonces H se llama subgrupo normal de G, donde gH se refiere al primero Reemplace G y luego aplique cualquier elemento de H para obtener un nuevo conjunto de permutaciones, es decir, cualquier elemento de G multiplicado por todas las permutaciones de H. Después de introducir la definición, Galois demostró que cuando un grupo es una ecuación reductora ( como la reducción de G a H1) es una ecuación binomial xp=A (p es un número primo), entonces H1 es un subgrupo normal de G. Por otro lado, si H1 es un subgrupo normal de G y el exponente es un número primo p, entonces la pre-solución correspondiente debe ser una ecuación binomial de grado p. También definió el subgrupo normal máximo: Si un If finito un grupo tiene un subgrupo normal, entonces debe haber un subgrupo cuyo orden sea el mayor de todos los subgrupos normales en el grupo finito. Este subgrupo se llama subgrupo normal máximo del grupo finito. Un subgrupo normal máximo tiene su propio subgrupo normal máximo y esta secuencia puede continuar una tras otra. Por tanto, cualquier grupo puede generar una secuencia de subgrupos normales máximos.
También propuso que si la secuencia de subgrupos normales máximos generada por un grupo G está etiquetada como G, H, I, J..., entonces el factor de composición de una serie de subgrupos normales máximos se puede determinar como [G/H], [H/I], [I/G]…. Factor integral [G/H] = orden de G/orden de H. Para la ecuación de cuarto grado (3) anterior, H1 es el subgrupo normal máximo de G, H2 es el subgrupo normal máximo de H1 y H3 es el polo de H2. Subgrupo normal grande, es decir, para el grupo G de la ecuación (3), se genera una secuencia de subgrupos normales máximos G, H1, H2, H3.
Con la profundización de la teoría, Galois descubrió que para una ecuación dada, encontrar su secuencia en el grupo de Galois y su subgrupo invariante máximo es enteramente una cuestión de teoría de grupos. Por lo tanto, utilizó completamente los métodos de la teoría de grupos para resolver el problema de la solubilidad de ecuaciones. Finalmente, Galois propuso otro concepto importante en la teoría de grupos, los "grupos solubles". Dijo que un grupo tiene solución si todos los factores compuestos normales máximos generados por él son números primos.
Según la teoría de Galois, si todos los factores integrales normales más grandes generados por el grupo de Galois son números primos, entonces la ecuación se puede resolver usando raíces. Si no son todos números primos, no se puede resolver usando la fórmula radical. Debido a la introducción de grupos solubles, se puede decir que una ecuación se puede resolver usando raíces si y sólo si el grupo en el dominio de coeficientes de la ecuación es un grupo soluble. Para la ecuación especial de cuarto orden (3) anterior, [G/H]=8/4=2, [H1/H2]=2/1=2 y 2 es un número primo, por lo que la ecuación (3) puede ser resuelto usando raíces. Mirando nuevamente las ecuaciones generales de n-ésimo grado, cuando n = 3, hay dos presoluciones cuadráticas t2 = A y t3 = B. Los exponentes de la secuencia sintética son 2 y 3, los cuales son números primos. Las ecuaciones se pueden resolver usando raíces. De manera similar, para n = 4, hay cuatro presolucionadores cuadráticos y el índice de secuencia compuesta es 2, 3, 2, 2, por lo que la ecuación cuártica general también se puede resolver usando raíces. El grupo de Galois de una ecuación general de grado n es s(n), y el subgrupo normal máximo de s(n) es A(n) (en realidad A(n) es un subgrupo de s(n) compuesto de permutaciones pares) . Si una permutación se puede expresar como el producto de un número par de tales permutaciones, se llama permutación par. ), el número de elementos de A(n) es la mitad de s(n), y el subgrupo normal máximo de A(n) es el grupo unitario I, entonces [s(n)/A(n)]=n! /(n!/2)=2, [A(n)/I]=(n!/2)/1=n! /2, 2 es un número primo, pero cuando n ≥ 5, n! /2 no es un número primo, por lo que las ecuaciones generales superiores a cuarto grado no se pueden resolver utilizando raíces. En este punto, Galois resolvió completamente el problema de la solubilidad de las ecuaciones.
Por cierto, Abel empezó en el grupo de intercambio. Su punto de partida es diferente al de Galois, pero sus resultados son los mismos, ambos para demostrar que es un grupo con solución. Galois también amplió la ecuación de Abel y estableció una ecuación que ahora se conoce como ecuación de Galois. Cada raíz de la ecuación de Galois es una función racional con dos raíces en el campo de coeficientes.
Cuatro. El aporte histórico de la teoría de grupos de Galois
Galois fundó la teoría de grupos para aplicarla a la teoría de ecuaciones, pero no se limitó a esto, sino que amplió la teoría de grupos y la aplicó a otros campos de investigación. Desafortunadamente, la teoría de grupos de Galois era demasiado profunda para que la gente de principios del siglo XIX la entendiera. Incluso los matemáticos de la época no podían comprender la esencia de sus ideas y trabajos matemáticos, por lo que su artículo no pudo publicarse. Aún más lamentablemente, Galois murió joven debido a un estúpido duelo a la edad de 21 años. Tenemos que sentir pena por este genio. No fue hasta la década de 1960 que su teoría fue finalmente comprendida y aceptada.
La teoría de grupos de Galois está reconocida como uno de los logros matemáticos más destacados del siglo XIX. Proporcionó una respuesta integral y exhaustiva al problema de la solubilidad de ecuaciones, resolviendo un problema que había preocupado a los matemáticos durante cientos de años. La teoría de grupos de Galois también proporciona un método general para juzgar si las figuras geométricas se pueden dibujar con regla y compás, y resuelve satisfactoriamente el problema insoluble de bisecar cualquier ángulo o un cubo. Lo más importante es que la teoría de grupos abrió un nuevo campo de investigación, reemplazó el cálculo con la investigación estructural, cambió la forma de pensar de enfatizar la investigación del cálculo a utilizar la investigación de conceptos estructurales, clasificó las operaciones matemáticas e hizo que la teoría de grupos se convirtiera rápidamente en una nueva. Rama de las matemáticas que tuvo un impacto significativo en la formación y desarrollo del álgebra moderna.
Al mismo tiempo, esta teoría tuvo una gran influencia en el desarrollo de la física y la química, e incluso en el surgimiento y desarrollo de la filosofía estructuralista en el siglo XX.
Referencia:
Sr. Pensamiento matemático antiguo y moderno. Traducido por el Grupo de Traducción de Historia de las Matemáticas del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Pekín. Shanghái: Shanghái.
Prensa de Ciencia y Tecnología, 1980.
Lu Youwen, ed. Sobre matemáticas antiguas y modernas. Tianjin: Prensa de ciencia y tecnología de Tianjin, 1984.
Una breve historia de las matemáticas chinas y extranjeras. Una breve historia de las matemáticas extranjeras. Shandong: Prensa educativa de Shandong, 1987.
Editor jefe Wu Wenjun. Biografías de científicos de fama mundial. Beijing: Science Press, 1994.
Tony Rothman, "La biografía de Galois", Prensa de literatura científica, científica y tecnológica, sucursal de Chongqing, número 8, 1982, páginas 81 ~ 92.