Definición del espacio de Sobolev

Para cualquier número real, así como para los números reales, podemos definir un espacio de Sobolev. Cuando es un número entero positivo, un espacio de Sobolev consta de funciones localmente integrables tales que, para cualquier exponente múltiple, existe y pertenece.

El espacio de Sobolev es un espacio lineal normado, que es un espacio de Banach según la siguiente norma:

Si el espacio se escribe a menudo como, lo usamos para representar el espacio porque El El espacio de Sobolev en este momento es un espacio de Hilbert. Cuando no es un número entero, el espacio de Sobolev se puede definir mediante la transformada de Fourier:

La norma de la función es