Cuando se trata de matemáticas, muchas personas pueden fruncir el ceño, como si volvieran a la tarde en la que dejaron los lápices. Cuando lo recogieron, no pudieron entender la deducción del profesor de matemáticas, lo que realmente puso a la gente ansiosa y deprimida. Lo que aprendemos en la escuela parece ser sólo un montón de reglas, leyes y axiomas aburridos. Aprendimos funciones trigonométricas en la escuela secundaria y cálculo en la universidad. Sin embargo, ¿cuántas veces la mayoría de los adultos utilizan funciones cotangentes o integrales indefinidas en su vida diaria? Entonces, ¿por qué todavía necesitamos aprender estas matemáticas aparentemente incuestionables heredadas de nuestros predecesores?
En este libro "Las matemáticas del diablo", el autor abandona términos profesionales complicados y utiliza anécdotas, ecuaciones básicas y gráficos simples del mundo real para contar el encanto de las matemáticas y cómo obtener el uso de ellas. Principios. Consejos para resolver problemas en la vida. ¿Jordán? Alan Berg cree que las matemáticas son una de las ciencias básicas más importantes para la humanidad y la herramienta de pensamiento más útil en la vida. Las matemáticas pueden ayudarnos a comprender mejor la estructura y la naturaleza del mundo y deberían estar en la caja de herramientas de toda persona pensante. Especialmente en la era actual de big data, necesitamos el poder del pensamiento matemático para resolver mejor los problemas y evitar falacias y errores.
El autor plantea un punto al comienzo del libro de que el conocimiento matemático se puede dividir en cuatro cuadrantes, y solo debemos prestar atención a uno de ellos.
El primer cuadrante es el conocimiento matemático simple y llano. Estos conocimientos matemáticos pueden parecer complicados, pero en términos de dificultad de comprensión, en realidad son muy simples.
El segundo cuadrante es el conocimiento matemático complejo pero simple. Esta matemática requiere algunas habilidades para resolver problemas y un poco más de cuidado, pero sigue siendo simplemente matemática simple. Pasamos mucho tiempo en la escuela aprendiendo técnicas de resolución de problemas que en realidad no nos ayudan a comprender la belleza de las matemáticas. Al contrario, puede hacernos perder el interés por las matemáticas.
El tercer cuadrante es el conocimiento matemático complejo y profundo. Esta es un área de interés para las personas que se especializan en matemáticas. Si desea ingresar a este campo, necesita cierto grado de talento matemático y debe ser muy dedicado, trabajar duro y perseguirlo durante toda la vida. Es posible que nosotros, la gente común, solo echemos un vistazo a la puerta y no tengamos idea de cómo es el misterioso mundo interior. Este conocimiento es para que nosotros, la gente común y corriente, lo adoremos.
Lo que más vale la pena aprender es el conocimiento matemático del cuarto cuadrante, es decir, conocimiento matemático simple y profundo. Simple, porque se trata de un conocimiento introductorio; profundo, porque este conocimiento va en contra de nuestra intuición o requiere un razonamiento más cuidadoso. Por ejemplo, la comprensión de la aleatoriedad, la causalidad y la regresión entran en esta categoría. Aquí, el autor cita una historia sobre los "agujeros de bala que desaparecen": Si es necesario añadir blindaje a un avión de combate, ¿debería añadirse al fuselaje con densos agujeros de bala o al motor con menos agujeros de bala? Durante la Segunda Guerra Mundial, Abraham Wald, miembro del equipo de investigación estadística del ejército estadounidense, creía que el lugar donde se debía instalar el blindaje no debía ser el fuselaje con muchos agujeros de bala, sino el motor con pocos agujeros de bala. ¿Por qué sucede esto? Hablemos primero de una hipótesis teórica. En teoría, la probabilidad de recibir un disparo en todas las partes del avión debería ser la misma. Entonces, ¿por qué hay más agujeros de bala en el fuselaje del avión que regresa que en el motor? En otras palabras, ¿dónde estaban los agujeros de bala que se suponía que debían estar en el motor? Wald cree que esto se debe a que todos los aviones con motores impactados se estrellaron. El avión que regresó, aunque tenía muchos agujeros de bala en el fuselaje, aún pudo resistir los golpes, por lo que pudo regresar sano y salvo. Por ejemplo, cuando vamos a un hospital de campaña a contar los heridos, descubriremos que definitivamente hay más soldados con disparos en las piernas que en el cerebro. Los soldados que reciben un disparo en el cerebro rara vez sobreviven, y los que reciben un disparo en la pierna tienen más probabilidades de sobrevivir. Este es el llamado "sesgo del superviviente", lo que significa que sólo vemos a los supervivientes, pero no a los que han fracasado y han muerto.
Así que el objetivo de este libro es presentar cómo utilizar el método matemático del cuarto cuadrante para analizar y resolver problemas en la vida diaria. El autor utiliza casos y métodos entretenidos para ayudarnos a recomprender cinco conceptos relacionados con las matemáticas, a saber, linealidad, razonamiento, regresión, existencia y expectativa.
La mejor manera de predecir el futuro es empezar con certeza. Los economistas suelen hacer predicciones. Hay un chiste que dice que lo que más les gusta hacer a los economistas es pronosticar, pero en lo que menos son buenos es en pronosticar. Es relativamente fácil predecir el corto o el largo plazo, pero lo más difícil es predecir el mediano plazo.
Debido a que el método más simple es la extrapolación lineal, hay mayor certeza en el pronóstico tanto a corto como a largo plazo. La extrapolación lineal significa que lo que sucede hoy sucederá mañana. En el mundo real, existen muchos cambios lineales o fenómenos similares a los cambios lineales. Por ejemplo, el envejecimiento de la población, el crecimiento de la información y el desarrollo irreversible de la industrialización y urbanización de China. En las tendencias lineales, también podemos distinguir entre tendencias duras y blandas. Las tendencias duras son tendencias que puedes medir o percibir; las tendencias suaves son especulaciones que pareces ver y predecir. Por ejemplo, después del final de la Segunda Guerra Mundial, un gran número de soldados estadounidenses regresaron a casa y hubo un baby boom, por lo que los datos de población son una tendencia difícil que podemos ver y predecir; sin embargo, la gente pensó que los pedidos comerciales disminuirían temporalmente; Después de la guerra y la economía disminuiría, pero la recesión económica esperada no está ocurriendo, es una tendencia más suave que es más difícil de predecir.
En términos relativos, las dificultades técnicas a corto y largo plazo son relativamente pequeñas, mientras que las predicciones a medio plazo son más complicadas. Al menos, habrá más fluctuaciones a mediano plazo y los puntos de inflexión de estas fluctuaciones son difíciles de predecir. Por ejemplo, incluso si sabemos que hay una burbuja en el mercado de valores, es difícil predecir cuándo estallará. Incluso si sabes que una acción está infravalorada, es difícil predecir cuándo se recuperará.
Por tanto, hay que ser cautelosos a la hora de predecir tendencias a medio plazo. Al predecir tendencias a mediano plazo, hay más ruido y patrones más complejos. Nos encontramos con fluctuaciones y ciclos. Entonces, aunque la tendencia lineal es la más simple e intuitiva, debemos recordar que no todos los fenómenos son tendencias lineales. La aplicación ciega de tendencias lineales a veces puede llevar a conclusiones muy absurdas.
Pon otro ejemplo. La curva de Laffer se ha mencionado con frecuencia en los medios recientemente cuando se habla de los recortes de impuestos de Trump. La curva de Laffer dice que a medida que aumenta la tasa impositiva, los ingresos fiscales aumentarán inicialmente, pero si la tasa impositiva es demasiado alta, afectará el entusiasmo laboral de las personas. La tasa impositiva disminuirá, pero los ingresos fiscales disminuirán. ¿Es correcta la curva de Laffer? Matemáticamente, la curva de Laffer probablemente sea correcta. La curva de Laffer establece que la relación entre tipos impositivos e impuestos no es lineal. Parece razonable explicar la relación entre las tasas impositivas y la voluntad de trabajar desde una perspectiva de sentido común. Pero ¿por qué la mayoría de los economistas desprecian la curva de Laffer?
Porque la Curva de Laffer carece de una base teórica sólida. En primer lugar, las tasas impositivas no son necesariamente el factor más importante para determinar los ingresos del gobierno. Una forma más útil de aumentar los ingresos tributarios puede ser aumentar la eficiencia tributaria. Y después de los recortes de impuestos, es posible que la motivación de la gente para trabajar no necesariamente aumente. Después de todo, los factores que afectan la motivación laboral de las personas son muy complejos. Hay dos factores que determinan nuestro entusiasmo laboral, uno es el factor básico y el otro es el factor de motivación. El ingreso monetario es sólo el factor básico, los factores impulsores incluyen el desafío, el reconocimiento, la responsabilidad y el crecimiento personal.
La mayoría de los economistas no dicen que la forma de la curva de Laffer sea incorrecta, sino que la reforma fiscal no puede verse en términos simples. Las tasas impositivas estadounidenses sobre los ingresos altos son actualmente mucho más bajas que durante gran parte del siglo XX. Dicho esto, pocos economistas creen que Estados Unidos se encuentre ahora en la zona descendente de la curva de Laffer.
Si simplemente evaluamos el efecto de los recortes de impuestos de Trump, el impacto de los recortes de impuestos de Trump en la economía estadounidense puede no ser tan grande como algunos amigos piensan. En primer lugar, los recortes de impuestos de Trump no se produjeron en un momento en que la economía estadounidense estaba relativamente lenta. La economía nos dice que sólo cuando la economía está en recesión, el efecto estimulante de los recortes de impuestos sobre el crecimiento económico es más obvio; en segundo lugar, la política de recortes de impuestos de Trump claramente tiene el color de "robar a los pobres y dar a los ricos". Esto exacerbará la brecha entre ricos y pobres en Estados Unidos y dividirá aún más a la ya desgarrada sociedad estadounidense. Si se reducen los impuestos sin reducir el gasto público, es probable que conduzca a una creciente presión de la deuda en Estados Unidos.
Estados Unidos, por otro lado, ha permitido que las empresas multinacionales repatrien sus ganancias en el extranjero mediante recortes de impuestos. La presión de las salidas de capital, el regreso del RMB al canal de depreciación, la presión de los recortes fiscales pasivos y la posible contracción de las burbujas de precios de los activos. ¿Durante cuánto tiempo podrá China ser "independiente"? No diré mucho esta vez. Hablaré de ello más adelante en el módulo de lectura sobre “Juego de grandes poderes” (permítanme cargar primero antes de compartir, facepalming hhh).
Un día, de repente recibes un correo electrónico de un corredor de bolsa de Baltimore recomendándote una acción que promete subir en una semana, pero lo ignoras. Durante las siguientes diez semanas, recomendó una nueva acción cada semana y usted se sorprendió al descubrir que todas las acciones que predijo en realidad subieron. Entonces, en la undécima semana, ¿decidirás comprar sus acciones? Esta es la historia del famoso corredor de bolsa de Baltimore. Sin embargo, puede que le resulte sorprendente, incluso milagroso. Los corredores de bolsa de Baltimore especularon sobre las subidas y bajadas de las acciones diez veces seguidas, pero era una estafa con probabilidades escondidas detrás. Conociendo el método, los idiotas del mercado de valores pueden lograrlo fácilmente, porque hay más de un destinatario. Sólo es necesario enviar 10.240 correos electrónicos en la primera semana, la mitad de los destinatarios predicen un aumento de las existencias y la otra mitad hace la predicción contraria la semana siguiente, los destinatarios posteriores no recibirán el correo electrónico y los 5.120 restantes se dividirán entre ellos; Dos lotes continúan recibiendo correos electrónicos con puntuaciones de predicción mitad y mitad diferentes, y así sucesivamente. En la décima semana, sólo 10 personas habían recibido correos electrónicos con predicciones precisas durante diez semanas consecutivas. ¿Qué piensas? Entonces, cuando hacemos razonamiento matemático, debemos tomar esta historia como una advertencia: debemos tener cuidado en el análisis de big data. Puede haber más de una raíz de una ecuación cuadrática, y la misma observación puede producir. muchas teorías. Lo que nos lleva por mal camino no es la verdad del asunto, sino la omisión de ciertos supuestos en nuestro razonamiento.
El capítulo "Inferencia" también menciona dos conceptos muy interesantes: "hipótesis nula" y "prueba de significancia".
La hipótesis nula es asumir que no hay ningún efecto, o que no hay ningún efecto, o que no hay correlación. Cuando investigamos, comenzamos con la hipótesis nula y luego realizamos experimentos o recopilamos datos para ver si podemos revertir la hipótesis nula. ¿Cómo refutar la hipótesis nula? Esto requiere una prueba de significancia, que en realidad es una reducción difusa al absurdo.
La idea de la reducción al absurdo es que para demostrar que una proposición es incorrecta, primero asumimos que la proposición es verdadera y luego vemos si podemos sacar alguna conclusión. Si la conclusión es obviamente falsa, entonces la hipótesis es una proposición falsa. Es decir, suponemos que H es verdadera. Según H, un hecho F no se cumple, pero F se cumple, por lo que H no se cumple. Sin embargo, en la mayoría de los estudios es imposible sacar conclusiones tan firmes, por lo que entran en juego las pruebas de significancia.
Asumimos que H es cierto y que la posibilidad de obtener un resultado de O basado en H debería ser muy pequeña. Desafortunadamente, vemos que ocurrió el evento O, por lo que la probabilidad de que H sea cierto es escasa. Por ejemplo, supongamos que el Sr. S es activo y concienzudo en su trabajo. Si trabaja activa y concienzudamente, la probabilidad de encontrarlo jugando a Honor of Kings durante el horario laboral será muy pequeña. Sin embargo, descubrimos que este tipo tenía una reunión importante y todavía estaba jugando a Honor of Kings. ¿Qué quiere decir esto? Explique nuestra hipótesis original, es decir, la hipótesis de que es activo y serio en su trabajo probablemente sea errónea.
Entonces la prueba de significancia se puede dividir en cuatro pasos:
1. Iniciar el experimento 2. Suponer que la hipótesis nula es verdadera; 3. Observar la probabilidad de ocurrencia del evento; O en los resultados experimentales. Lo llamamos valor P. El valor p refleja la probabilidad de la hipótesis nula; 4. Si el valor p es pequeño, creemos que es poco probable que los resultados experimentales satisfagan la hipótesis nula. Puede utilizar este método de reducción al absurdo para determinar si la hipótesis que desea probar es estadísticamente significativa. Si el valor p es grande, debemos admitir que la hipótesis nula no ha sido rechazada.
Por supuesto, las pruebas de significancia también tienen riesgos potenciales que deben tenerse en cuenta:
¿Qué tan pequeños deben ser los valores 1 y P para que sean significativos? No existe una línea clara entre lo saliente y lo discreto.
2. No podemos asumir que un factor tendrá un impacto. Si estamos demasiado ansiosos por sacar conclusiones impactantes, podemos manipular los experimentos.
3. No malinterpretes el “significado”. Muchos términos científicos son engañosos y la palabra "prominencia" es un ejemplo típico. Es necesario distinguir la diferencia entre "significado" y "validez" (el punto clave al escribir un ensayo es get√).
Las investigaciones muestran que la probabilidad de que padres altos den a luz a niños altos no es del 100%. De hecho, la altura de padres e hijos se ve afectada por el efecto de regresión. Todo lo afectado y aleatorio en el eje vertical del tiempo sigue esta regla. Siempre que los datos sean lo suficientemente grandes, la altura humana o el coeficiente intelectual tenderán a ser promedio. Ésta es la conocida "Ley de los grandes números".
Por ejemplo, en Lizi, la tasa anual de nacimientos de bebés del mismo sexo en los hospitales grandes está más cerca de 50 que en los hospitales pequeños. ¿Qué opinas?
El principio de "la minoría obedece a la mayoría" es simple y parece justo, pero sólo puede lograr los mejores resultados cuando intervienen dos puntos de vista. Siempre que haya más de dos puntos de vista, la mayoría de las personas tendrán preferencias contradictorias. Entonces se puede decir que la opinión pública no existe en absoluto. Para ser más precisos, la opinión pública sólo existirá si la mayoría de la gente está de acuerdo con ella. Si seguimos la lógica, a menudo tendremos que ir en contra de la opinión mayoritaria. Los políticos tienen el deber de hacer un uso razonable de la opinión pública inconsistente sólo para satisfacer a la mayoría.
El valor de compra de los billetes de lotería y el valor ganador son diferentes. El valor de compra es la cantidad que gasta para comprar un billete de lotería, mientras que el valor ganador es el valor real del billete de lotería después de introducir la teoría de la probabilidad. Podemos expresarlo en términos de valor esperado. No vale la pena comprar un billete de lotería a menos que su valor esperado sea inferior al valor de compra. Si es mayor que el valor de compra, vale la pena comprar el billete de lotería cuando el monto de su compra alcanza una cierta cantidad.
El pensamiento matemático es en realidad uno de nuestros instintos, y de hecho tiene el mismo origen que el lenguaje. Nuestros antepasados vivían en los árboles y muchas veces tenían que saltar de una rama a otra. Necesitan una buena sensación del espacio tridimensional. Cuando llegan a pastizales abiertos, necesitan calcular la distancia, lo que requiere una sensación de espacio bidimensional. A medida que el entorno de vida se volvió cada vez más complejo, nuestros antepasados comenzaron a tener la conciencia de juzgar las relaciones de causa y efecto. Sin embargo, ¿por qué el pensamiento matemático natural no se solidifica en nuestro pensamiento diario? ¿Por qué a la mayoría de nosotros todavía nos resultan demasiado difíciles las matemáticas? La clave aquí es la abstracción.
La abstracción es la herramienta más poderosa en la caja de herramientas matemáticas. Los matemáticos experimentan con la abstracción cada vez que pueden. Con el tiempo, se olvidarán por completo del mundo real y se centrarán en definiciones y conceptos abstractos. Entonces, el autor diría que hay dos momentos en los que los niños comienzan a dejar de aprender matemáticas: uno es cuando están expuestos a fracciones y el otro es cuando aprenden álgebra. Este es un proceso abstracto de dos pasos. La abstracción se puede dividir en cuatro niveles: ver para creer, pensar para creer, ver para no creer y pensar para no creer. Finalmente, "pensar en vacío" es el nivel del pensamiento matemático. Los objetos matemáticos son completamente abstractos, no tienen una conexión simple o directa con el mundo real. Las matemáticas son un nivel de abstracción por encima de la abstracción. Por ejemplo, primero entramos en contacto con las leyes conmutativa y asociativa de la suma y la resta, luego las ampliamos a la multiplicación, luego a la geometría y luego a funciones, conjuntos y matrices. Si estudiamos matemáticas, también consideraremos cuándo un grupo satisface la ley conmutativa. La esencia de las matemáticas es consistente. Esta es una ciencia de patrones. Algunos patrones son relativamente simples, mientras que otros son relativamente complejos. Los patrones complejos son sólo patrones de patrones, o incluso patrones de patrones, y empezamos a confundirnos. Podemos pensar en las matemáticas como un gran edificio hecho con ladrillos Lego. Aunque parece complicado, si miras de cerca encontrarás que está ensamblado a partir de módulos simples. La esencia de las matemáticas es que las cosas simples son complejas y las cosas complejas son en realidad simples. Esto se remonta al tema de este libro: ¿por qué aprender conocimientos matemáticos simples pero profundos?
Después de observar la curva de Laffer, se puede comprender la relación entre las tasas impositivas y el gobierno. Sólo conociendo el "centrismo lineal" podemos entender que la "conversión proporcional" es tan absurda; la "ley de los grandes números" es una mano despiadada; el "gráfico circular más grande que el plato" refleja la dislocación digital "real pero inexacta". ..Este sentido común matemático nos dice que debemos prestar atención a las ocasiones en que aparecen las matemáticas. Sin el contexto, las matemáticas se convierten en su herramienta: votos políticos, datos de mercado, informes de ganancias. Esto y aquello, a menudo están envueltos en números engorrosos y superpuestos. Lo que puede romperlos es la intuición cultivada por el pensamiento matemático. Esto es lo que quiere el autor.
Arriba.