El Concurso Invitacional Juvenil de Matemáticas "Copa Joaquín" se lleva a cabo cada dos años. Este año es la segunda vez. ¿Qué año es 2000?
La solución "celebrarse cada dos años" significa celebrarse cada dos años. Este año es 1988, y en el 2000 habrá 2000-1988=12, por lo que habrá 12÷2=6 sesiones. Este es el segundo año, entonces.
Respuesta: La octava sesión se celebró en el año 2000.
Debido a que el número de análisis y discusiones no es grande, puedes contarlos rápidamente con solo contar: 1988, 1990, 1992, 1994, 1996, 1998 y 2000 son el segundo y tercero respectivamente.
Un aro salvavidas inflable (como se muestra en la Figura 32). El radio del círculo máximo mostrado por la línea de puntos es de 33 cm. El radio del círculo pequeño mostrado por la línea continua es de 9 cm. Dos hormigas parten del punto A al mismo tiempo y se arrastran a lo largo de círculos grandes y pequeños a la misma velocidad. Pregunta: Después de gatear varias veces, las hormigas del círculo pequeño se encontraron con las hormigas del círculo grande por primera vez.
Solución Debido a que la velocidad de las dos hormigas es la misma, a partir de la fórmula distancia-velocidad=tiempo, sabemos que la relación entre el tiempo que tarda la hormiga en escalar un círculo en el círculo grande y el El círculo pequeño debe ser igual a la razón de las longitudes de los círculos. La razón de las longitudes de un círculo es igual a la razón de los radios, que es 33:9.
La primera vez que dos hormigas se encontraron, ¿cuántas veces se arrastró la hormiga sobre Xiaoyuan? Es decir, encuentre un tiempo mínimo, que es un múltiplo entero del tiempo que tardan las hormigas en gatear en el círculo grande y en el círculo pequeño respectivamente. Como se puede ver en la discusión anterior, si elegimos la unidad de tiempo adecuada, las hormigas en el círculo pequeño pueden gatear 9 unidades, mientras que las hormigas en el círculo grande pueden gatear 33 unidades. De esta forma, el problema se reduce al valor mínimo de 9 y 33.
Respuesta: La hormiga en el círculo pequeño se arrastró 11 veces y se encontró con la hormiga en el círculo grande nuevamente.
La clave para analizar y discutir este tema es ver que la esencia del problema es encontrar el mínimo común múltiplo. Prestar atención a la observación y ver las matemáticas en la vida es lo que el profesor Hua a menudo inspira a los jóvenes a hacer.
La figura 33 es un tablero de ajedrez. Cuente cuántos agujeros hay en este tablero.
Existen muchas formas de solucionar este problema. Debido a limitaciones de tiempo, el número directo no está disponible a tiempo y es propenso a errores. La siguiente figura (Figura 34) ofrece un mejor algoritmo. El tablero de ajedrez está dividido en un paralelogramo y cuatro triángulos pequeños, como se muestra en la Figura 34. El número de hoyos de ajedrez en el paralelogramo es 9 × 9 = 91, y cada triángulo pequeño tiene 10 hoyos de ajedrez. Entonces, el número total de hoyos de ajedrez.
Respuesta: * * * *Hay 121 hoyos de ajedrez.
Analizar y discutir sobre alumnos que han jugado a las damas. ¿Alguna vez has contado el número de hoyos de ajedrez? Los estudiantes interesados pueden hacer estadísticas en su tiempo libre para ver cuál método es el mejor.
Hay un número entero de cuatro dígitos. Agrega un punto decimal delante de uno de sus números y súmalo al número de cuatro dígitos para obtener 2000,438 0. Encuentra este número de cuatro dígitos.
Solución 1: Debido a que el resultado tiene dos decimales, el punto decimal no se puede sumar antes del dígito único. Si agrega un punto decimal antes del dígito de las decenas, el resultado es una centésima del número original de cuatro dígitos. Sume el número original de cuatro dígitos y el resultado de 2000.85438 0 debería ser 1,01 veces el número original de cuatro dígitos. el número original de cuatro dígitos es 2000.5000.00000000006
De manera similar, si se agrega un punto decimal antes del dígito de las centenas, entonces el número 2000.85438 0 debe ser 1.005438 0 veces el número original de cuatro dígitos, y el punto decimal se suma antes del dígito de los miles. El número 2000,81 debería ser 1,0001 veces el número original de cuatro dígitos, pero (2000,81 ÷ 1) y (2000,81 ÷) .2006438.
Respuesta: Este número de cuatro dígitos es 1981.
La opción 2 señala que en el número original de cuatro dígitos, 8 y 1 deben aparecer en orden. El punto decimal no se puede agregar antes de un dígito; ni se puede agregar antes del dígito de miles; de lo contrario, los cuatro dígitos originales solo pueden ser 8100, que es 2008 0.
No importa si se suma el punto decimal antes de los decimales o antes de las centenas, el número resultante es mayor que 1 y menor que 100.
Este número más el número original de cuatro dígitos equivale a 2000,81, por lo que el número original de cuatro dígitos debe ser menor que 2000, pero mayor que 1900, lo que significa que sus dos primeros dígitos deben ser 1,9.
Análisis y discusión La opción 1 utiliza cálculos precisos, mientras que la opción 2 se basa en el "juicio". El juicio también requiere habilidad y se basa en un análisis cuidadoso del problema.
Lo que hay que señalar aquí es que una vez que ves que el número 2000.81 tiene dos decimales, no puedes sacar la conclusión de que "el punto decimal está justo antes del décimo dígito". Por favor, piensa por qué.
La imagen 35 es una tela a cuadros en blanco y negro. La longitud del lado del cuadrado blanco grande es de 14 cm y la longitud del lado del cuadrado blanco pequeño es de 6 cm. Pregunta: En este trozo de tela, ¿qué porcentaje del área total es blanca?
El área de la cuadrícula de solución es 9 veces mayor que la de la Figura 36, y el área de la parte blanca de la cuadrícula es 9 veces mayor que la de la Figura 36. De esta forma sólo nos falta calcular el porcentaje del área ocupada por la parte blanca en la Figura 36. El cálculo es muy sencillo:
Respuesta: El área de la parte blanca de la cuadrícula es el 58 del área total.
La clave para analizar y discutir este tema es ver que la cuadrícula se puede dividir en nueve cuadrados como se muestra en la Figura 35. Básicamente, esto aprovecha la "simetría" de la cuadrícula: un patrón de cuadrícula se forma repitiendo un patrón de manera ordenada.
La "simetría" no es sólo un concepto importante en matemáticas, sino también una ley básica de la naturaleza. Por ello, desde la antigüedad hasta la actualidad, la “simetría” y la “asimetría” han sido importantes temas de investigación en diferentes campos, como las matemáticas, la física, la química e incluso la estética. El famoso matemático H. Weill escribió una vez un libro llamado "Simetría" (con traducción al chino), que es muy rico en contenido.
La figura 37 es una fórmula de resta para dos números de tres dígitos. Cada cuadro representa un número. Pregunta: ¿Cuál es el producto consecutivo de los números en estos seis cuadros?
Figura 37
Al resolver el problema de restar dos números, se acostumbra considerar primero el dígito. Pero si miras de cerca, encontrarás que los dígitos de dos números de dos dígitos son inciertos: estos dos dígitos se suman o restan en 1 al mismo tiempo, y su diferencia permanece sin cambios. De esta forma, el producto consecutivo de los números de las seis casillas quedará indefinido a menos que el número de una casilla sea 0, en cuyo caso el producto siempre será 0. Esto nos motivó a intentar encontrar la caja.
Por supuesto, el primer dígito de los dos números de tres dígitos no es 0, por lo que el primer dígito del subárbol es al menos 1 y el primer dígito del minuendo es como máximo 9. Pero como el primer dígito de la diferencia es 8, sólo hay una posibilidad, es decir, el primer dígito del minuendo es 9 y el primer dígito del subárbol es 1.
De esta forma, la resta del segundo dígito no se puede tomar prestada. El segundo dígito del minuendo es como máximo 9, el segundo dígito del sustraendo es al menos 0 y la diferencia entre los dos números es 9, entonces sólo hay una posibilidad: el segundo dígito del minuendo es 9, y el El segundo dígito del sustraendo es 9. El segundo bit es 0. Entonces hemos determinado que el número en una de las seis casillas debe ser 0.
Respuesta: El producto consecutivo de los números de las seis casillas es igual a 0.
Al analizar y discutir este tema, no es necesario determinar completamente estos tres dígitos y no se puede determinar por completo. Por ejemplo, el minuendo y el sustraendo pueden ser (996,102), (994,100), (999,105), etc.
Algunos estudiantes dirán: La respuesta a esta pregunta es una suposición.
"Adivinar" también es un método en matemáticas. Hay muchas conjeturas famosas en matemáticas que han tenido un impacto importante en el desarrollo de las matemáticas. Aquí cabe destacar dos puntos: en primer lugar, las "conjeturas" en matemáticas no son "conjeturas" infundadas, sino respuestas concebidas por los exponentes después de un análisis profundo o de un gran número de ejemplos; Por ejemplo, en la solución a esta pregunta, descubrimos mediante análisis que si no hay 0 en los seis cuadros, entonces la respuesta a esta pregunta no es única, por lo que la respuesta adivinada es 0. No tiene sentido adivinar que la respuesta es 100. En segundo lugar, "adivinar" no es lo mismo que la respuesta. Adivinar sólo puede ser una respuesta que haya sido estrictamente probada. Por ejemplo, la famosa conjetura de Goldbach aún no se ha demostrado, por lo que todavía se está demostrando.
La longitud del lado del cuadrado en la Figura 38 es de 2 metros, los radios de los cuatro círculos son todos de 1 metro y los centros de los círculos son los cuatro vértices del cuadrado. Pregunta: ¿Cuál es el área de este cuadrado y cuatro círculos?
Solución La parte común de cada círculo y cuadrado es un sector cuya área es un cuarto del área del círculo.
Por lo tanto, el área de toda la figura es igual al área del cuadrado más el área de cuatro círculos de tres cuartos, y el área de cuatro círculos de tres cuartos es igual a tres veces el área del círculo. Por tanto, el área de toda la figura es igual al área del cuadrado más tres veces el área del círculo, es decir,
2×2 π×1×1× 3≈13,42 (metros cuadrados).
Respuesta: El área que cubre este cuadrado y cuatro círculos es aproximadamente 13,42 metros cuadrados.
Hay siete postes de bambú en fila. La longitud de la primera caña de bambú es de 1 metro y la longitud de cada una es la mitad de la anterior.
Pregunta: ¿Cuál es la longitud total de estas siete cañas de bambú?
Solución: Coge una caña de bambú de 2 metros de largo y córtala por la mitad, cada mitad de 1 metro de largo. Tome uno como primera caña de bambú, corte el otro por la mitad y tome uno como segunda caña de bambú. Si esto continúa, para cuando se corte la séptima caña de bambú, la longitud de la caña de bambú restante será
Por lo tanto, la longitud total de las siete cañas de bambú es 2 metros menos la longitud de las cañas restantes. parte, es decir
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Análisis y discusión de un antiguo problema aritmético chino, es decir, "un pie de mortero, toma la mitad todos los días y te resultará inagotable". En otras palabras, hay un palo corto de un pie de largo y la mitad nunca se puede cortar todos los días. Entonces, ¿cuánto queda cada día? ¿Cuántos días quedan para el séptimo día?
Es más que suficiente calcular la longitud total de siete cañas de bambú utilizando la solución anterior. Pero si cuentas primero cada caña de bambú y las sumas, será demasiado tarde. Es posible que los estudiantes deseen intentarlo.
Hay tres segmentos de línea A, B y C. A mide 2,12 metros de largo, B mide 2,71 metros de largo y C mide 3,53 metros de largo. Utilizándolos como base superior, base inferior y altura se pueden realizar tres trapecios diferentes. ¿Qué trapezoide tiene el área más grande?
Primero, anota la solución. El área del trapezoide = (base superior base inferior) × altura ÷ 2. Pero ahora que estamos comparando las áreas de tres trapecios, también podríamos multiplicar sus áreas por 2, de modo que solo necesitemos comparar el tamaño de (superior e inferior) × altura. Usamos la ley de distribución multiplicativa:
El área del primer trapecio es 2 veces:
(2.12 3.53)×2.71=2.12×2.17 3.53×2.71
El segundo:
(2.71 3.53)×2.12=2.71×2.12 3.53×2.12
El tercero:
(2.12 2.71)× 3.53=2.12 ×3.53 2.71×3.53
Primero, compara el primero y el segundo. El primer sumando en el lado derecho de las dos fórmulas es 2,12×2,71 y el otro es 2,71×2,12. Según la ley de multiplicación y conmutación, estos dos productos son iguales. Por lo tanto, sólo es necesario comparar el tamaño del segundo sumando. Obviamente 3.
De manera similar, si comparamos el primero y el tercero, encontramos que ambos tienen lados, el segundo sumando es igual y el primer sumando es 2,12× 2,71
En general, como se mencionó anteriormente , el tercer trapezoide tiene el área más grande.
Respuesta: El tercer trapezoide tiene el área más grande.
Para analizar y discutir este tema, debemos aprovechar al máximo el conocimiento que hemos aprendido sobre la ley conmutativa de la multiplicación y la ley distributiva de la multiplicación, en lugar de calcular directamente el área. Evidentemente, calcular directamente las áreas de tres trapecios lleva mucho tiempo.
Hay un reloj electrónico que se ilumina cada 9 minutos y suena cada hora. A las 12 del mediodía suena el reloj electrónico y se enciende. P: ¿Cuándo volverá a sonar y encenderse?
Solución: Como el reloj electrónico suena una vez cada hora, sólo debemos plantearnos qué luz encender. A partir de las 12 del mediodía las luces se encenderán cada 9 minutos. ¿Cuántos 9 minutos se necesitan para llegar a la hora? Dado que 1 hora = 60 minutos, la pregunta en otras palabras es: ¿Cuántas veces 9 minutos es un múltiplo entero de 60 minutos? Así que la esencia del problema es muy clara: requiere 9 minutos, 60 minutos.
No es difícil calcular que el mínimo común múltiplo de 9 y 60 es 180. Es decir, 180 minutos a partir del mediodía, es decir, 3 horas más tarde, el reloj electrónico sonará y se iluminará nuevamente.
r: La próxima vez que se apagan las luces es a las 15 horas.
El análisis y la discusión de estos temas se pueden encontrar en todas partes de la vida. ¿Pueden los estudiantes dar más ejemplos?
Una baraja de naipes tiene cuatro palos, y cada palo tiene 13 cartas. Puedes sacar cualquier carta de él. Pregunta: ¿Cuántas cartas tienes que sacar para asegurarte de que las cuatro sean del mismo palo?
El significado de "garantía" aquí es que no importa cómo robes las cartas, debe haber cuatro cartas del mismo palo.
Primero veamos si podemos robar 12 cartas, asegurándonos de que haya cuatro cartas de color. Aunque a veces puede haber cuatro o más colores en una mano de 12 cartas, puede haber exactamente tres de cada palo, por lo que no hay garantía de que haya cuatro colores.
Entonces, ¿es posible sacar 13 cartas al azar y garantizar que habrá 4 cartas del mismo palo? Nosotros lo decimos. La evidencia es la siguiente:
Si no, entonces cada palo solo puede tener hasta tres cartas, por lo que el número total de cartas en los cuatro palos solo puede ser 12, lo cual es contradictorio con sacar 13 cartas. Entonces, robar 13 cartas es suficiente.
Este método de prueba se llama prueba por contradicción.
Respuesta: Se deben sacar al menos 13 cartas para asegurar que las cuatro cartas sean del mismo palo.
Utilice el llamado "principio del cajón" para analizar y discutir este tema. Por ejemplo, si hay cuatro cajones y se deben colocar 13 libros, al menos un cajón debe contener cuatro libros. Este principio también se conoce como "principio de la jaula de palomas" o "principio de superposición".
Aunque el principio del cajón es simple, tiene muchas aplicaciones inteligentes en matemáticas. Los estudiantes interesados pueden leer el libro "El principio del cajón y otros" de Chang Gengzhe.
Una clase de alumnos se fue a remar. Calcularon que con un barco extra, cada barco sólo podría albergar a 6 personas. Si hay un barco menos, cada barco sólo tiene capacidad para 9 personas. Pregunta: ¿Cuántos estudiantes hay en esta clase?
Solución 1 Supongamos que primero se añade un barco, luego cada barco tiene capacidad para exactamente 6 personas. Ahora, si quitas los dos barcos, habrá 6×2=12 estudiantes sin barcos. Ahora hay exactamente 9 estudiantes en cada bote, lo que significa que las 9-6=3 personas adicionales en cada bote pueden acomodar a los 12 estudiantes restantes, por lo que todavía hay 12 estudiantes.
a: Hay 36 personas en esta clase.
Solución 2: Según las condiciones de la pregunta, el número de personas en la clase es múltiplo de 6 y múltiplo de 9, por lo que es múltiplo común de 6 y 9. El mínimo común múltiplo de 6 y 9 es 18. Si el número total de personas es 18, entonces cada barco requiere 18÷6=3 barcos con 6 personas, y cada barco requiere 65438 9 personas.
Analizar y discutir muchos temas similares a este tema en la antigua China, como por ejemplo “la gallina y el conejo en la misma jaula”, etc.
Este problema también se puede resolver mediante una serie de ecuaciones. Es posible que los estudiantes deseen intentarlo.
Los cuatro animalitos cambiaron de asiento. Al principio, el ratón se sentaba en el asiento 1, el mono en el asiento 2, el conejo en el asiento 3 y el gatito en el asiento 4. Después de eso, siguieron cambiando de asiento. Intercambiaron los asientos de las filas superior e inferior por primera vez, los asientos de las filas izquierda y derecha después del segundo intercambio, los asientos de las filas superior e inferior la tercera vez y los asientos de las filas izquierda y derecha. en la cuarta vez... Esta situación continúa. P
La solución a este problema es, después del décimo cambio de asiento, ¿en qué asiento se sentará el conejo? Primero, averigüemos las reglas cambiantes del asiento del conejo según el significado de la pregunta.
Como se puede ver en el diagrama de flechas de la Figura 40, cada vez que se cambia el asiento del conejo, gira un espacio en el sentido de las agujas del reloj y cada cuatro veces, el asiento del conejo vuelve a girar a su posición original. Conociendo esta regla, la respuesta no es difícil de conseguir. Después del décimo cambio de asiento, el asiento del conejo debería ser el segundo asiento.
Respuesta: Después del décimo cambio de asiento, el conejo se sentó en el segundo asiento.
Análisis y discusión El movimiento de los "pequeños animales cambiando de asiento" se llama "desplazamiento" en matemáticas, y el cambio de asiento del conejo se llama "rotación". Tanto el desplazamiento como la rotación son conceptos importantes en la teoría de grupos, la geometría y otras ramas de las matemáticas. Aunque esta pregunta es simple, ¡encierra muchas verdades interesantes!
Para profundizar la comprensión de los estudiantes, tenemos dos preguntas más en las que debe pensar.
(1) Descubre los cambios de asiento de los otros tres animales pequeños.
¿Cuáles son sus similitudes y diferencias?
(2) Cambia la pregunta del título por: "Después de cambiar el décimo asiento, ¿qué animalito se sienta en el cuarto asiento?" Piénsalo.
Los cuatro números 1, 9, 8 y 8 se pueden ordenar en varios cuatro números divididos por 11.
¿Qué tipo de números son divisibles por 11? Una regla general es comparar la suma de los dígitos impares con la suma de los dígitos pares. Si la diferencia entre los dos es divisible por 11, entonces el número dado puede ser divisible por 11; de lo contrario, no puede serlo.
Ahora se requiere que sea divisible por 11, entonces podemos pensarlo de esta manera: después de sumar 3 a este número, puede ser divisible por 11. Entonces obtenemos la regla de juicio de "dividir un número entre 11": sumar números pares para obtener una suma, de lo contrario no es así.
Para organizar 1, 9, 8, 8 en un número de cuatro dígitos dividido por 11, estos números de cuatro dígitos se pueden dividir en dos grupos, cada grupo tiene dos dígitos. Un grupo se considera miles y decenas, y su suma es a; el otro grupo son centenas y un solo dígito, y su suma más tres se registra como b. Necesitamos agruparlos adecuadamente para que sean divisibles por 11. Actualmente solo existen los siguientes cuatro métodos de agrupación:
Después de la verificación, (1) el método de agrupación cumple con los requisitos anteriores:
A = 1 8, B = 9 8 3 = 20 , B-A = 11 es divisible por 11, pero los otros tres grupos no quedan satisfechos.
De acuerdo con las reglas de decisión, también podemos saber que si un número se divide por el resto 8 entre 11, entonces dos números cualesquiera en las posiciones impares se intercambian, o dos números cualesquiera en las posiciones pares se intercambian. intercambiados, y el nuevo número Dividir por 11, luego en el grupo (1) anterior, 65438. Cualquiera de 9 y 8 se puede utilizar como centésimo lugar. * * *Hay cuatro permutaciones posibles: 1988, 1889, 8918, 8819.
Respuesta: Se puede ordenar en 4 números divididos por 8 divididos por 11.
Analizar y discutir el uso de 1, 9, 8 y 8 para formar 12 números diferentes de cuatro dígitos. Si se enumeraran todos estos 12 números, sería demasiado complicado probar sus restos de división individualmente. Por lo tanto, al resolver problemas, primero se debe simplificar el proceso de prueba tanto como sea posible.
La figura 41 es un tablero de Go, formado por 19 líneas horizontales y verticales. Pregunta: ¿Cuántos cuadrados del tablero de Go son iguales a los cuadrados pequeños de la Figura 42?
La solución requiere que el cerebro cuente el número de cuadrados pequeños con precisión y rapidez.
Primero encontramos un punto representativo en el pequeño cuadrado de la derecha, como el punto E en la esquina inferior derecha como punto representativo. Luego coloque el cuadrado pequeño en el tablero de Go según el significado de la pregunta y observe cuidadosamente dónde debería estar el punto E. A través de la observación, no es difícil encontrar:
(1) El punto E solo puede estar en el punto de la cuadrícula del cuadrado ABCD (incluido el borde) en la esquina inferior derecha del tablero de ajedrez.
(2) Por el contrario, cada punto de la cuadrícula en el cuadrado ABCD en la esquina inferior derecha puede considerarse como el punto E del cuadrado pequeño, y solo puede considerarse como el punto E del cuadrado pequeño. cuadrado.
De esta forma, "el número de cuadrados pequeños" se convierte en "el número de puntos de la cuadrícula en el cuadrado ABCD". Es fácil ver que los puntos de la cuadrícula en el cuadrado ABCD son 10×10=100.
Respuesta: * * * *Hay 100.
Existen muchas soluciones para analizar y discutir este tema, la solución anterior es inteligente y rápida. Utiliza la simple verdad de que "uno a uno corresponde al mismo número".
La correspondencia uno a uno es un concepto básico importante en matemáticas. De este tema se puede ver que mientras comprendamos ese concepto, desempeñará un papel importante.
Pregunta: Si ambas formas son rectángulos, ¿cuál es la diferencia?
Por ejemplo, el tablero de ajedrez grande mide 20×30 y el tablero pequeño mide 10×15. ¿Cuántos rectángulos hay en el tablero de ajedrez grande que sean iguales que el tablero de ajedrez pequeño?
Vuelve a relacionar el problema y la solución
Calcular
Resolver
Hay tres tarjetas con números escritos en ellas (Figura 43). Tome una, dos y tres tarjetas de ellas y colóquelas en cualquier orden para obtener uno, dos y tres dígitos diferentes. Por favor escribe todos los números primos.
Solución Sabemos que un número natural mayor que 1 se llama número primo si no tiene otros divisores excepto 1 y él mismo.
Recordemos la regla general para la divisibilidad por 3: si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número también es divisible por 3.
Debido a que los números en las tres tarjetas son 1, 2 y 3 respectivamente, la suma de estos tres números es 6, que puede ser divisible por 3, por lo que cualquier número de tres dígitos ordenado usando estos tres números puede ser Es divisible por 3, por lo que no puede ser un número primo.
Veamos la situación de las dos cartas. Debido a que 1 2 = 3, por la misma razón, el número de dos dígitos compuesto por 1 y 2 también se puede dividir por 3, por lo que no es un número primo. De esta forma, los dos dígitos restantes a discutir son 13, 31, 23, 32, de los cuales 65438.
Los tres últimos dígitos: 1, 2, 3.1 no son números primos. 2 y 3 son ambos números primos.
En resumen, este problema tiene cinco números primos: 2, 3, 13, 23, 31.
Respuesta: * * * *Hay cinco números primos: 2, 3, 13, 23, 31.
El análisis y discusión de esta pregunta examina principalmente el dominio del interrogador del concepto de números primos y las reglas básicas de divisibilidad (como las características de ser divisible por 3). Por supuesto, si anotas los números compuestos por las dos cartas y los analizas uno a uno, también podrás calcularlos. Pero esto no es aconsejable.
Hay tres piscinas cuadradas: grande, mediana y pequeña, siendo los lados interiores de 6 metros, 3 metros y 2 metros respectivamente. Si se sumergen dos montones de grava en el agua de una piscina pequeña o mediana, el nivel del agua de las dos piscinas se elevará 6 cm y 4 cm respectivamente. Si estos dos montones de grava se sumergieran en el agua de una piscina grande, ¿en cuántos centímetros aumentaría el nivel del agua de la piscina grande?
La solución es hundir la grava en el agua. El volumen aumentado del nivel del agua es igual al volumen de la grava hundida.
Por tanto, el volumen de grava hundida en la piscina es
3m× 3m× 0,06m = 0,54m3.
El volumen de grava que se hunde en la piscina pequeña es
2m× 2m× 0,04m = 0,16m3.
Los volúmenes de estos dos montones de grava son * * *
0,54 m3 0,16 m3 = 0,7 m3.
Todos se hunden en una gran piscina. El volumen de la gran piscina aumenta en 0,7 m 3 a medida que sube la superficie del agua. El área del fondo de la piscina grande es
6 metros × 6 metros = 36 metros 2.
Entonces el nivel del agua ha subido:
Hay docenas de agujeros (menos de 100) en un círculo, como se muestra en la Figura 44. Al igual que jugar a las damas, Xiao Ming comienza desde el hoyo A y salta en sentido antihorario cada pocos hoyos, con la esperanza de volver al hoyo A después de un salto. Primero intentó saltar cada dos hoyos, pero solo pudo saltar al hoyo B. Intentó saltar cada cuatro hoyos, pero solo pudo saltar al hoyo B. Finalmente, intentó saltar.
Esta solución supone que los agujeros en el círculo han sido numerados de la siguiente manera; el agujero A se numera 1, luego se numera 2, 3, 4,... y el agujero B se numera según el número de agujeros del círculo. la cantidad del círculo.
Veamos primero los agujeros en los que Xiao Ming salta cada dos agujeros. Es fácil ver que debería estar en 1, 4, 7, 10, ... es decir, el número en el hoyo donde saltó Xiao Ming es múltiplo de 3 más 1. Según el significado de la pregunta, Xiao Ming finalmente saltó al hoyo B, por lo que el número total de hoyos es múltiplo de 3 más 65438.
De manera similar, saltar una vez cada 4 hoyos y finalmente saltar al hoyo B significa que el número total de hoyos es múltiplo de 5 más 1; saltar una vez cada 6 hoyos y finalmente saltar de regreso al hoyo A significa el número total; de agujeros es 7 múltiplos.
Si al número de agujeros le restas 1, este número es múltiplo de 3, que también es múltiplo de 5, por lo que es múltiplo de 15. Este múltiplo de 15 más 1 es igual al número de agujeros y es divisible por 7. Tenga en cuenta que 15 dividido por 7 sigue siendo 1, por lo que 15. 6 por 15 es divisible por 7. También podemos ver que otros múltiplos de 15 (menor que 7) más 1 no son divisibles por 7, y 15×7 = 105 es mayor que 100, que es mayor que 7.
Respuesta: Hay 91 agujeros en el círculo.
El análisis y discusión de este problema es en realidad un caso especial del siguiente tipo de problema.
El problema general es: hay un número entero desconocido. Si solo conoces el resto obtenido al dividirlo por algunos números enteros, puedes encontrar el número entero. En la antigua obra maestra de las matemáticas chinas "El arte de la guerra", ya existen métodos generales para resolver este tipo de problemas. Este método generalmente se denomina internacionalmente "teorema chino del resto". El profesor Hua escribió una vez un folleto "A partir del "Cálculo Divino" de Sun Tzu" para estudiantes de secundaria. Presentó el ingenioso método para resolver este problema de una manera simple y fácil de entender, y también planteó algunas otras preguntas interesantes. , lo cual fue muy esclarecedor. Este folleto ha sido seleccionado en "Divulgación científica china seleccionada" (Shanghai Education Press)
Intente completar los cuadros de la Figura 45 con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Los números son se usa solo una vez:
Entonces, dos de los tres números son primos relativos. Se ha completado uno de los tres números, que es 714. Solución: Sabemos que si el máximo común divisor de dos números es. 1, entonces los dos números se llaman números primos.
El número de tres dígitos 714 que se ha completado es un número compuesto y su factorización prima es
714=2×. 3 × 7 × 17.
Entonces, dos de estos tres números son primos relativos. Uno de los tres números se ha completado. , es 714.
Se puede ver que. Para que los números en el cuadro inferior y 714 sean mutuamente primos, solo se pueden seleccionar 5 entre los números restantes sin completar 2, 3, 5 y 6, que son los únicos que se pueden completar en las tres líneas
Ahora analicemos cómo completar los tres números 2, 3 y 6 en los tres cuadros de la segunda línea.
Porque es arbitrario. El divisor común de dos números pares es 2. , por lo que no son primos relativos y 714 es un número par, por lo que el número de tres dígitos en la segunda fila no puede ser un número par, es decir, el dígito único no se puede completar con 2 y 6, por lo que el dígito único es. solo puede ser 3. De esta manera, los tres dígitos en la segunda línea solo pueden ser 263 o 623. Pero 623 es divisible por 7, entonces 623 y 765438. Finalmente, mira el número 263. Se puede ver que el número primo los factores de 714, 2, 3, 7 y 17, no son factores de 263, por lo que 714 y 263 son coprimos. Obviamente, 263 y 5 también son coprimos, por lo que los números 714, 263 y 5 son uno <. /p>
Respuesta: El método de llenado es:
La Figura 47 es un mapa de carreteras. El número en cada sección es el número de minutos que le toma a Xiao Wang caminar desde A. ¿Cuántos minutos son? ¿Cuál es el más rápido para llegar a B?
Solución 1 Para facilitar la descripción, marcamos cada intersección con una letra, como se muestra en la Figura 48 y la Figura 49.
Primero, iremos paso a paso mapa de ruta simplificado.
La ruta de A a B debe pasar por DC y GC. Hay dos rutas de A a C: ADC tarda 14 13 = 27 (minutos); 11 = 26. (minutos) No tomaremos la ruta anterior, por lo que podemos eliminar la parte DC. Sin embargo, es importante tener en cuenta que AD no se puede eliminar porque hay otras rutas (como AHB) de A a B. que necesitan mayor análisis
También hay dos rutas de G a E: CCE 16 minutos y GIE 16 minutos. Podemos elegir cualquiera de las rutas, como elegir la primera y borrar GIE (también podemos elegir). este último y borrar CE. Sin embargo, el GC no se puede borrar porque hay otras rutas que pasan por él). De esta manera, el mapa de carreteras se simplifica en la forma de la Figura 49.
En la Figura 49, hay dos líneas de A a F. Para la ruta, una ruta que pasa por H tarda 14 6 17 = 37 (minutos) y la otra ruta que pasa por G tarda 15 11 10 = 36 (minutos).
En la Figura 50, también hay dos rutas de C a b. Al comparar el tiempo requerido, se puede borrar una ruta que pasa por E. Finalmente, está la ruta que ahorra más tiempo (Figura 51), que requiere 15 11 65438.
a: El más rápido es 48 minutos.
La segunda opción es aprovechar el punto clave C. Si el camino de A a B pasa por el punto C, elija el camino que ahorre más tiempo de A a C, es decir, AGC elige el camino más rápido. camino que ahorra tiempo de C a B. Eso es CFB. Por lo tanto, la forma que más tiempo ahorra de A a B a través de C es la conexión entre estas dos carreteras, es decir, AGCFB.
El tiempo total es de 48 minutos.
Por lo demás, basta con comparar la carretera de A a B sin pasar por el punto C y la carretera AGCFB para ver cuál ahorra más tiempo.
Solo hay dos vías que no pasan por el punto C: ①ADHFB, que tarda 49 minutos; ②AGIEB, que también tarda 49 minutos.
Así que el tiempo más rápido de A a B es de 48 minutos.
No es necesario elaborar el análisis simplificado y la discusión de la suma anteriores uno por uno. Siempre que marques los tramos de carretera que deseas borrar en el mapa original, podrás encontrar rápidamente la ruta más corta. Incluso la hoja de ruta más compleja se puede simplificar fácilmente. La Figura 52 es una hoja de ruta un poco más complicada y los números en la figura tienen el mismo significado que esta pregunta. Pruebe el método de simplificación paso a paso anterior para encontrar el tiempo más corto de A a b.
Este problema tiene un nombre especial en matemáticas aplicadas, llamado "problema del camino más corto". El problema del camino más corto se utiliza ampliamente en muchos aspectos, como el transporte y la planificación. En problemas prácticos, los gráficos de carreteras suelen ser muy complejos y es muy difícil encontrar todas las rutas de A a B. Por lo tanto, es muy necesario utilizar el método de interpolación mencionado anteriormente.
La línea central EF del trapezoide ABCD mide 15 cm (ver Figura 53), ∠ABC = ∠AEF = 90° y G es un punto en EF. Si el área del triángulo ABG es 1/5 del área del trapezoide ABCD, ¿cuál es la longitud de EG en centímetros?
[Solución] El área del trapezoide ABCD es igual a EF×AB, y el área del ABC de tres columnas es igual a (1/2)EG×AB, por lo que la relación de áreas del triángulo ABG al trapezoide ABCD es igual a (1/2) La relación de EG a EF. Según las condiciones de la pregunta, el área del triángulo ABG es 1/5 del área del trapezoide ABCD.
Respuesta: EG mide 6 cm de largo.
[Análisis y discusión] Esta pregunta supone que ∠ ABC = ∠ AEG = 90. Esta condición es en realidad redundante. El suplemento simplemente considera que es posible que los estudiantes de primaria no hayan aprendido la naturaleza de la línea media. Los estudiantes interesados pueden pensar en cómo resolver este problema si se elimina esta condición.
Hay tres pilas de pesas. Cada pesa en la primera pila pesa 3 g, la segunda pila pesa 5 g cada una y la tercera pila pesa 7 g cada una. Tome la cantidad mínima de pesas para que su peso total sea de 130 g. Escriba el método: ¿Cuánto peso se necesita, incluidos 3 g, 5 gy 7 g de peso?
[Solución] Para simplificar el problema, analicemos primero la relación entre las tres filas de pesos. Obviamente, un código crackeado de 3 gramos más un peso de 7 gramos es exactamente igual a dos pesos de 5 gramos (ambos 10). Por lo tanto, si reemplaza dos pesas de 5 gramos por una pesa de 3 gramos y una pesa de 7 gramos, la cantidad de pesas y el peso total seguirán siendo los mismos. De esta manera, permanecemos sin cambios.
Esto se reduce a las dos situaciones siguientes:
Primero, no hay un peso de 5 g. Obviamente, para minimizar la cantidad de pesas, el peso de 3 g debe tomarse lo menos posible y el peso total de 130 g menos el peso de 3 g debe ser un múltiplo de 7. Después del cálculo, podemos saber que debemos tomar 0, 1, 2, 3, 4, 5 pesos de 3 g y el resto. Entonces 130-3g×6 = 112g = 7g×16. Entonces podemos tomar 16 pesas de 7 g y 6 pesas de 3 g, para un total de 22 pesas.
En segundo lugar, uno de los pesos tomados es de 5g. Entonces, el peso total de las pesas de 3 gy 7 g es 130 g-5 g = 125 g. De manera similar al primer caso, se puede calcular que se deben tomar dos pesas de 3 g y 17 pesas de 7 g, por lo que el total * es 17 2.
Comparando las dos situaciones anteriores, sabemos que se pueden tomar al menos 20 pesas, al igual que en las diez situaciones anteriores, 2 3 g, 1 5 g, 17 7 g, por supuesto, también se pueden usar dos pesas de 5 g; de una pesa de 3g y 1 de 7g, por ejemplo podrías llevar cinco pesas de 5g y 15 de 7g.
Respuesta: Tome al menos 20 pesas, como se mencionó anteriormente.
[Análisis y discusión] En este problema, hay tres números (es decir, el número de tres pesos) que se pueden cambiar. La solución anterior consiste esencialmente en fijar primero un número (el número de pesas de 5 gramos), de modo que los números restantes cambien y sean más fáciles de manejar.
Si se cambian los tres números, será muy complicado. Incluso si se encuentra una manera de tomar sólo 20 pesas, es difícil decir por qué es el mínimo.
Si los estudiantes aún quieren hacer dicho ejercicio, también podrían calcular el número máximo de pesas que se pueden tomar bajo las condiciones de esta pregunta.
Hay cinco macizos de flores circulares con diámetros de 3 metros, 4 metros, 5 metros, 8 metros y 9 metros respectivamente; divida estos cinco macizos de flores en dos grupos y délos en dos clases respectivamente. Las zonas gestionadas por las dos clases deben estar lo más cerca posible.
[Respuesta] Sabemos que el área de cada círculo es igual al cuadrado del diámetro multiplicado por (π/4). Ahora necesitamos agrupar cinco círculos y el área total de los dos grupos debe ser lo más cercana posible. ¡Cuanto más cercana sea la proporción de las áreas totales de los dos grupos, mejor! Debido a que el área de cada círculo tiene un factor (π/4), y solo nos importa la razón de las áreas, no eliminamos los mismos factores, sino que simplificamos el problema para: dividir los cinco círculos en dos grupos, Iguala los diámetros de los dos conjuntos de círculos.