Escuela secundaria n.° 1 del condado de Wu Xuewei Songming
Introducción: esta lección presenta tres métodos para encontrar el vector normal plano y resume las aplicaciones del plano de vectores normales en geometría sólida de secundaria y preparatoria. Se centra en el método para encontrar el vector normal plano utilizando el método del producto exterior, porque este método es mejor que el método del producto interior, especialmente para encontrar el ángulo plano del ángulo diédrico. La introducción de este método hará que las respuestas a preguntas como ángulos espaciales, distancias, prueba de perpendicularidad y prueba de paralelismo en el examen de ingreso a la universidad de geometría sólida sean rápidas y precisas. Por lo tanto, cada año,
Primero. de todos, el vector normal del plano
1. Definición: Si , entonces este vector se llama vector normal de un plano. Hay dos tipos de vectores normales de un plano * * * (divididos de la dirección), y hay innumerables tipos.
2. Solución al vector normal del plano
Método 1 (método del producto interno): en un sistema de coordenadas rectangular espacial dado, establezca el vector normal del plano [o, o], Encuentra dos vectores cualesquiera en el plano que no sean * * * líneas rectas. Puedes obtener la ecuación para, puedes obtenerlos resolviendo esta ecuación.
Método 2: La gráfica de cualquier ecuación lineal es un plano; por el contrario, la ecuación de cualquier plano es una ecuación lineal, a la que se le llama ecuación general del plano, y su vector normal si es el plano; y los tres ejes de coordenadas El punto de intersección es, como se muestra en la figura, entonces la ecuación del plano es:, que se llama ecuación de intersección del plano, y su vector normal se puede obtener convirtiéndolo en una fórmula general.
Método 3 (método del producto externo): suponga que hay dos vectores no paralelos distintos de cero en el espacio, y su producto externo es una longitud igual a (θ es el ángulo entre ellos, y) y ambos son verticales El vector de . Por lo general, usamos la "regla de la mano derecha", es decir, cuando los cuatro dedos de la mano derecha se giran desde la dirección de , la dirección señalada por el pulgar se designa como la dirección de .
(Nota: 1. Determinante de segundo orden:; 2. Regla de la mano derecha.)
Ejemplo 1, conocido,
Pruebe (1) : (2):
Clave: (1);
Ejemplo 2: Como se muestra en la Figura 1-1, en un cubo con una longitud de 2,
Encontrar el vector normal del plano AEF.
2. Aplicación del vector normal plano
1. Encuentra el ángulo en el espacio
(1). Figura 2-1, sea el vector normal del avión.
AB es una diagonal del plano, entonces el ángulo formado por AB y el plano
es:
Figura 2-1-1:
Figura 2-1-2:
(2) Encuentra el ángulo plano: Sea el vector el vector normal del plano, y el ángulo plano del ángulo diédrico es:
(Fig. 2 -2);
(Figura 2-3)
Si las direcciones vectoriales normales de los dos planos se seleccionan correctamente, el ángulo entre las direcciones normales los vectores pueden ser iguales al ángulo plano del ángulo diédrico. Acuerde que en la Figura 2-2, la dirección es plana hacia afuera y plana hacia adentro; en la Figura 2-3, la dirección es dentro del plano y la dirección es dentro del plano. Siempre que utilicemos el producto vectorial de dos vectores (denominado "producto exterior", que satisface la regla de la mano derecha) para hacer los vectores normales de los dos semiplanos hacia adentro y hacia afuera, el ángulo entre los vectores normales de los dos semiplanos es el cuerno del plano diédrico.
2. Encuentre la distancia espacial
(1), la distancia entre líneas rectas en diferentes planos:
Descripción del método: como se muestra en la Figura 2-4. , ① Encuentra los vectores directores de las rectas A y B,
Encuentra los vectores normales de a y b, es decir, los vectores directores de las perpendiculares comunes de las rectas a y b en diferentes planos;
②Obtenga la línea recta Los puntos A y B en A y B son vectores;
(3) Encuentre la proyección d del vector en A y B, luego la distancia entre las líneas rectas A y B en diferentes planos es
, donde
(2) La distancia desde el punto al plano:
Descripción del método: como se muestra en la Figura 2- 5, si el punto B es un punto fuera del plano α, entonces un punto.
Es cualquier punto del plano α, y el vector normal del plano es 0, entonces llega al punto P.
La fórmula de la distancia del plano α es
(3), la distancia entre la línea recta y el plano:
Descripción del método: como se muestra en la Figura 2 -6, la línea recta y la distancia del plano:
, donde. es el vector normal del avión.
(4) La distancia entre planos:
Descripción del método: como se muestra en la Figura 2-7, la distancia entre dos planos paralelos:
, donde. es el vector normal del avión.
3. Prueba
(1). Demuestre que la recta es perpendicular al plano: En la Figura 2-8, la dirección es el vector normal del plano y la dirección. vector de recta A. Demuestre que el vector normal del plano es El vector de vectores y rectas es * * recta().
(2) Demuestre que la recta es paralela al plano: En la Figura 2-9, la dirección es el vector normal del plano y el vector dirección de la recta A. Demuestre que la normal El vector del plano es perpendicular al vector de la recta ().
(3) Demuestre que los planos son perpendiculares: En la Figura 2-10, es el vector normal del plano, demuestre que los vectores normales de los dos planos son perpendiculares ()
(4) Demuestre que los planos son paralelos: En la Figura 2-11, la dirección es el vector normal del plano y es el vector normal del plano. Demuestra que los vectores normales de los dos planos son * *. * líneas ().
3. Nuevas soluciones a las preguntas del examen de ingreso a la universidad
1, (Primer Grado Nacional 2005, 18) (la puntuación total para esta gran pregunta es 12)
Como se muestra en la Figura 3-1, se muestra que la base P-ABCD de la pirámide cuadrangular es un trapecio rectángulo, AB‖DC, la base ABCD, y PA = AD = DC = AB = 1, y M es el punto medio de PB.
Evidencia: superficie PAD⊥superficie pcd;
(2) Encuentra el ángulo formado por AC y PB;
(iii) Encuentra el ángulo formado por la superficie AMC y ángulo diédrico formado por la superficie BMC.
Solución: tomando el punto A como origen, AD, AB y AP como los ejes X, Y y Z respectivamente, establezca un sistema de coordenadas rectangular A-xyz, como se muestra en la figura.
Supongamos que el vector normal de la plataforma plana es
Supongamos que el vector normal de la PCD plana es
, es decir, PCD plana de PAD plana.
, ,
Supongamos que el vector normal de AMC es.
Además, sea el vector normal del plano PCD.
.
El ángulo diédrico formado por AMC y BMC es.
2. (19 preguntas, primera prueba en la provincia de Yunnan en 2006) (La puntuación total para esta pregunta es 12).
Como se muestra en la Figura 3-2, en el cuboide ABCD-a 1b 1c 1d 1,
Se sabe que AB = AA1 = A, BC = A y M es el centro del punto AD.
㈠Verificación: AD‖Avión a 1BC;;
㈡Verificación: A1MC⊥Avión A1bd1 Aeronave;
(iii) Calcular la distancia desde el punto A al distancia del plano A1MC.
Solución: utilizando el punto D como origen, Da, DC y DD 1 como los ejes X, Y y Z respectivamente, establezca el sistema de coordenadas rectangular espacial D-xyz como se muestra en la figura.
Supongamos que el vector normal del plano A1BC es
De nuevo, es decir AD //plano A1BC.
Supongamos que el vector normal del plano A1MC es:
Además, supongamos que el vector normal del plano A1BD1 es:
, es decir, el plano A1MC y el plano A1BD1 .
Supongamos que la distancia del punto A al plano A1MC es d,
es el vector normal del plano A1MC,
Además, la distancia del punto A al plano A1MC es :.
4. Utilizar vectores espaciales para resolver la "trilogía" de la geometría sólida.
(1), establezca un sistema de coordenadas espacial rectangular (use las tres líneas rectas mutuamente perpendiculares existentes, preste atención a las condiciones positivas y rectas existentes y utilice de manera integral el conocimiento geométrico relevante para establecer un sistema diestro ), usando vectores espaciales para representar los puntos, rectas y planos involucrados en el problema, convirtiendo problemas de geometría sólida en problemas vectoriales (convirtiendo en problemas vectoriales)
(2) A través de operaciones vectoriales, estudie las posiciones; relaciones entre puntos, rectas y planos, así como las distancias y ángulos entre ellos. (Realizar operaciones vectoriales)
(3) "Traducir" los resultados de la operación vectorial a los significados geométricos correspondientes. (Volver al tema de los gráficos)