La fórmula del término general de una secuencia geométrica se puede derivar multiplicando continuamente el término anterior por un factor de proporción fijo.
1. Definición de secuencia geométrica
Una secuencia geométrica es una secuencia en la que la proporción de cada elemento de la secuencia exponencial con respecto al elemento anterior es igual. Las razones a menudo se representan con la letra q y se llaman razones comunes.
2. El primer término a? y la razón común q
El primer término de la secuencia geométrica se marca como a?, y la razón común se marca como q. , cualquier término La razón con su término anterior es igual a la razón común q, es decir, a?/a = q.
3. Derivación de la fórmula del término general
Suponiendo que el primer término de la secuencia geométrica es a? y la razón común es q, necesitamos encontrar una fórmula de término general para representar cualquier término a?.
4. Cuando n = 1
Según la definición de secuencia geométrica, a? es el primer término y no existe ningún término anterior. Por lo tanto, a?/a no tiene sentido y no podemos utilizar una proporción para expresar a?
5. Cuando n gt; 1
Registramos el enésimo término de la secuencia geométrica como a?, y asumimos que es igual al producto del término anterior a por el razón común q, es decir, a? = a * q.
6. Relación de recursividad
Con base en los supuestos anteriores, podemos obtener la relación de recursividad de la secuencia geométrica: a?
7. Derivación de la fórmula general del término
Podemos expresar cualquier término multiplicando continuamente el término anterior por la razón común q. Según la relación de recursividad, podemos obtener f(a, q) = a? = a * q. Sustituyendo continuamente la relación de recurrencia, podemos obtener: a? = a * q = a * q * q = a * q * q * q = ... = a? La fórmula general de la secuencia geométrica es: a? = a? * q^(n-1).
Propiedades de la sucesión geométrica
1. Propiedades de la razón común
Si la razón común q gt; entonces la sucesión geométrica es creciente. Si la razón común es 0 lt; q lt; entonces la secuencia geométrica es decreciente. Si la razón común q = 1, entonces las series geométricas son idénticas.
2. Cómo encontrar la suma de los primeros n términos de una secuencia geométrica
La suma de los primeros n términos de una secuencia geométrica se puede resolver usando la fórmula: Sn = a? * (1 - q^ n) / (1 - q), donde a? es el primer término y q es la razón común.