Chen
Resumen: El desarrollo de las matemáticas nunca es completamente lineal, pero a menudo ocurren paradojas.
Una serie de acontecimientos históricos
Las paradojas matemáticas han sacudido la creencia de la gente en la fiabilidad de las matemáticas. Ha habido tres crisis matemáticas en la historia de las matemáticas.
El surgimiento de paradojas y crisis matemáticas no solo trae problemas y decepciones a las matemáticas, sino que también aporta nueva vitalidad y esperanza al desarrollo de las matemáticas y promueve la prosperidad de las matemáticas.
El interminable proceso iterativo de generación, resolución y generación de crisis continúa promoviendo el desarrollo de las matemáticas. Este es también un importante proceso de desarrollo del pensamiento matemático.
Palabras clave: paradoja matemática; crisis matemática; paradoja de Pitágoras; paradoja de Russell
La matemática siempre ha sido considerada una disciplina rigurosa, armoniosa y precisa. A lo largo de la historia del desarrollo de las matemáticas, el desarrollo de las matemáticas nunca ha sido completamente lineal y su sistema no siempre es armonioso, pero a menudo ocurren paradojas.
La paradoja se refiere a la derivación de dos proposiciones contradictorias basadas en un determinado sistema teórico y principios de razonamiento razonable, o la prueba de tal proposición compuesta, expresada como la equivalencia de dos proposiciones contradictorias[1].
El desarrollo de paradojas matemáticas en la teoría matemática es un asunto serio, porque lleva directamente a las personas a dudar de la teoría correspondiente, y si una paradoja involucra un amplio rango, incluso toda la disciplina. Esta sospecha puede convertirse en un Sentido general de crisis, especialmente el surgimiento de algunas paradojas importantes, que naturalmente harán que la gente dude de los fundamentos de las matemáticas y sacuda su creencia en la confiabilidad de las matemáticas.
Ha habido tres crisis matemáticas en la historia de las matemáticas, cada vez causadas por una o dos paradojas matemáticas típicas.
Repasa las tres crisis matemáticas de la historia, centrándose en el importante papel de las tres crisis matemáticas en el desarrollo de las matemáticas.
1 La paradoja de Pitágoras y la primera crisis matemática
1.1 Contenidos de la primera crisis matemática
En el siglo VI a.C., el gobernante de la antigüedad Los pitagóricos de La academia griega era considerada la verdad absoluta y autorizada de su época. Los pitagóricos defendían una visión filosófica llamada "numerología". Creían que la esencia del universo es la armonía de los números [2].
Creen que todo es un número, y que solo hay dos tipos de números, a saber, enteros positivos y números divisibles (es decir, fracciones, la proporción de dos números enteros, no hay otros números, lo que significa). que en el mundo sólo hay números enteros o fracciones.
Una importante aportación de la escuela pitagórica en matemáticas es demostrar el teorema de Pitágoras [3], que es lo que llamamos teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras establece que los tres lados de un triángulo rectángulo deben tener la siguiente relación, es decir, a2=b2 c2, A y B representan los dos lados derechos del triángulo rectángulo respectivamente, y C representa la hipotenusa.
Sin embargo, Herbes, un estudioso de los pitagóricos, no tardó mucho en descubrir rápidamente el problema de esta afirmación.
Descubrió que la longitud de la diagonal de un cuadrado equilátero no se puede expresar mediante números enteros ni razones entre números enteros.
Supongamos que la longitud del lado de un cuadrado es 1 y la longitud de la diagonal es D. Según el teorema de Pitágoras, d2=12 12=2, es decir, d2=2, entonces ¿cuál es D? Obviamente d no es un número entero, por lo que debe ser la razón de dos números enteros.
Hebers pasó mucho tiempo buscando la razón entre estos dos números enteros, pero no pudo encontrarla. En cambio, encontró una prueba de que dos números son inconmensurables [4]. Lo demostró por contradicción de la siguiente manera: Sean Rt△ABC y los dos lados del ángulo recto a=b, entonces c2=2a2 A partir del teorema de Pitágoras, sea A. y C Los divisores comunes en son reducidos, es decir, A y C son números primos entre sí, por lo que C es un número par, A.
Este descubrimiento se conoce históricamente como la Paradoja de Pitágoras.
1.2 El impacto de la primera crisis matemática
La aparición de la paradoja de Pitágoras supuso un duro golpe para los pitagóricos. La visión del mundo de que "los números lo son todo" se ha visto muy sacudida y el estatus venerado de los números racionales también ha sido cuestionado, lo que ha afectado los fundamentos de toda la matemática y ha provocado una confusión ideológica extrema en la comunidad matemática. Primera crisis matemática de la historia.
El impacto de la primera crisis de las matemáticas fue enorme y promovió en gran medida el desarrollo de las matemáticas y disciplinas afines.
En primer lugar, la primera crisis matemática hizo que la gente tomara conciencia por primera vez de la existencia de los números irracionales, y nacieron los números irracionales. Más tarde, muchos matemáticos estudiaron formalmente los números irracionales, dieron definiciones estrictas de los números irracionales, propusieron una nueva categoría numérica: los números reales y establecieron una teoría completa de los números reales [5], sentando las bases para el desarrollo del análisis matemático.
Además, la primera crisis matemática demostró que la intuición y la experiencia no son necesariamente confiables, sólo el razonamiento y la prueba son confiables. A partir de entonces, los griegos empezaron a dar importancia al razonamiento deductivo y establecieron así un sistema de axiomas geométricos.
Para eliminar contradicciones y aliviar crisis, surge en esta época la geometría euclidiana[6].
La primera crisis matemática dio un gran impulso al desarrollo de la geometría, que se convirtió en la base de casi todas las matemáticas rigurosas durante los siguientes dos mil años. Esta es una gran revolución en la historia del pensamiento matemático.
2 La paradoja de Becquerel y la segunda crisis matemática
2.1 Contenidos de la segunda crisis matemática
En el siglo XVII, Newton y Leibniz fundaron el cálculo. El cálculo puede impulsar y explicar muchos fenómenos naturales, y su importante papel en la investigación teórica y las aplicaciones prácticas de las ciencias naturales ha atraído gran atención.
Sin embargo, dado que el cálculo acaba de establecerse, el cálculo en este momento solo tiene métodos y no una teoría estricta como base. Hay lagunas en muchos lugares y no se pueden justificar.
Por ejemplo, Newton encuentra la derivada de la función y = xn así [7]: (x △ x) n = xn n? xn-1? △x [n(n 1)/2]? xn-2? (△x) 2 … (△ x) n, y luego dividir el incremento de la variable independiente △x por el incremento de la función △y, △ y/△ x = [(x △ x) n-xn]/△ x=n? xn-1 [n(n-1)/2]? xn-2? △x…n? ¿incógnita? (△x) n-2 (△ x) n-1 Finalmente, deseche los términos que contienen △x infinitesimal, es decir, la derivada de la función y=xn es y'=nxn-1.
El filósofo Becquerel descubrió rápidamente un problema en la discusión de Newton sobre el proceso de derivación de derivadas. Señaló claramente que primero dividir △x por △y muestra que △x no es igual a cero, y luego descartar los términos que contienen △x, mostrando que △x es igual a cero. ¿No es esto una contradicción? Por lo tanto, Bekele se burló de los infinitesimales como "el fantasma de las cantidades faltantes". Creía que el cálculo obtenía el resultado correcto mediante errores dobles y calificó la derivación del cálculo como "un sofisma obvio".
[8]Esta es la famosa "Paradoja de Beckler".
De hecho, en la discusión del mismo problema, el llamado infinitesimal a veces se considera 0 y otras veces es diferente de 0, lo cual es cuestionable.
¿Es el cero infinitesimal? ¿Es razonable el infinitesimal y su análisis? El surgimiento de la paradoja de Becquerel puso en peligro los fundamentos del cálculo y provocó más de dos siglos de debate en la comunidad matemática, generando así la segunda crisis en la historia del desarrollo matemático.
2.2 El impacto de la segunda crisis matemática [8]
El surgimiento de la segunda crisis matemática obligó a los matemáticos a tomar en serio el △x infinitesimal. Para superar la confusión provocada por esto y solucionar esta crisis, innumerables personas han invertido mucho trabajo.
Al principio, gracias a los esfuerzos de Euler, Lagrange y otros, el cálculo logró algunos avances; desde el siglo XIX, Cauchy, Weierstrass y otros han logrado algunos avances en el cálculo para resolver completamente el problema de cálculo. Los problemas básicos hacen que la teoría del cálculo sea rigurosa.
La contradicción fundamental en el cálculo es cómo expresar infinitesimales utilizando métodos matemáticos y lógicos, expresando así la esencia del cálculo que está estrechamente relacionada con los infinitesimales.
Al resolver problemas matemáticos infinitesimales apareció el axioma de Robida: si una cantidad aumenta o disminuye otra cantidad que es infinitesimal respecto a ella, se puede considerar que no cambia.
El método ε-δ de Cauchy describe infinitesimales, que se definen como variables con 0 como límite. A estas alturas, los infinitesimales han sido reemplazados por límites.
Más tarde Wilstrass lo aclaró, dio una definición estricta de límites y estableció una teoría de límites, haciendo así el cálculo basado en límites.
La definición de límite ε-δ es usar ε-δ estático para describir el límite dinámico y usar * * * * para describir el proceso infinito. Es un puente y una señal entre lo finito y lo infinito. Muestra la relación entre lo finito y lo infinito, haciendo del cálculo un gran paso hacia la ciencia y las matemáticas.
El establecimiento de la teoría de los límites aceleró el desarrollo del cálculo, que es de gran importancia no sólo en matemáticas sino también en epistemología.
Más tarde, a partir del examen de la teoría del límite y gracias a los esfuerzos de Dedekind, Cantor, Heine, Weierstrass y Bamenheimer, se produjo la teoría de los números reales. Mientras examinaba los fundamentos de la teoría de los números reales, Cantor creó la * * * teoría.
De esta manera, con las tres teorías principales: la teoría de los límites, la teoría de los números reales y la teoría de los números reales, se puede establecer el cálculo sobre una base relativamente estable y completa, poniendo así fin a más de 200 años de debate caótico. , abriendo el camino de desarrollo de la teoría de funciones en el próximo siglo.
3 La paradoja de Russell y la tercera crisis matemática
3.1 Contenidos de la tercera crisis matemática
Menos de 30 años después de que se resolvieran las dos primeras crisis matemáticas en el En la década de 1970, el matemático alemán Cantor creó la teoría más revolucionaria de las matemáticas * * *, con la intención original de sentar una base sólida para todo el edificio matemático.
En 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París, el gran matemático francés Poincaré anunció entusiasmado [9]: "Ahora podemos decir que las matemáticas han alcanzado el rigor absoluto, sin embargo, mientras la gente se regocijaba por ello". Desde el nacimiento de la teoría * * *, también surgieron una serie de paradojas matemáticas que plagaron las mentes de los matemáticos. Entre ellas, la paradoja propuesta por el matemático británico Russell en 1902 tiene la mayor influencia. El contenido de la "Paradoja de Russell" es el siguiente: Supongamos que *** B es un ** compuesto por todos ** que no son sus propios elementos. Pregunta: Si B pertenece a B, entonces B es un elemento de B, entonces B. no pertenece a sí mismo, es decir, B no pertenece a B por otro lado, si B no pertenece a B, entonces B no es un elemento de B, entonces B se pertenece a sí mismo, es decir, B pertenece a B; .
De esta manera, utilizando el concepto de * * *, Russell derivó la paradoja de que *** B no pertenece a B si y sólo si * * * B pertenece a B.
Más tarde, el propio Russell propuso una versión popular de la paradoja de Russell, a saber, la paradoja de Barbour [10].
El barbero anunció la política de que solo afeitaría a aquellos en el pueblo que no se afeitaran ellos mismos.
Entonces la pregunta ahora es ¿quién debe afeitarle la barba al barbero? .
Si se afeita, es el afeitador del pueblo. Según sus principios, no debería afeitarse. Si no se afeita, entonces es la persona sin afeitar del pueblo, y entonces tiene que afeitarse según sus propios principios.
Existe también una paradoja: el barbero se afeita si y sólo si no se afeita.
Esta es la famosa paradoja de Russell en la historia.
El surgimiento de la paradoja de Russell sacudió los cimientos de las matemáticas, conmocionó a todo el campo de las matemáticas y condujo a la tercera crisis matemática.
3.2 El impacto de la tercera crisis matemática
La aparición de la paradoja de Russell ha sacudido el * * * que originalmente era la piedra angular de todo el edificio matemático y, naturalmente, provocó que la gente se cuestionara. la validez de la estructura básica de las matemáticas.
La genialidad de la paradoja de Russell es que solo utiliza el concepto de * * * y no involucra otros conceptos, lo que hace que su respuesta sea aún más difícil.
La tercera crisis matemática provocada por la paradoja de Russell ha provocado que los matemáticos se enfrenten a grandes dificultades.
El matemático Frege escribió al final del segundo volumen de "Fundamentos de las Matemáticas" [11]: "Para un científico, no hay nada más importante que una piedra angular de su trabajo recién terminada".
El colapso no podría haber sido más decepcionante.
Me sumergió en esta situación una carta del Sr. Russell cuando el libro estaba casi terminado de imprimirse: “Está claro que la tercera crisis de las matemáticas ha traído a la gente. enfrentar una situación embarazosa.
Sin embargo, nadie rehúye la ciencia y los matemáticos inmediatamente se lanzaron a la tarea de eliminar las paradojas. Afortunadamente, la fuente de la paradoja de Russell se descubrió rápidamente. Resulta que cuando Cantor propuso la teoría * * *, no impuso las restricciones necesarias al concepto de "* * *" para poder construir un "colectivo de todos * * *", que era tan grande que surgió la paradoja.
Muchos matemáticos han hecho incansables esfuerzos para eliminar varias paradojas en las teorías * * *, especialmente la paradoja de Russell.
Por ejemplo, la escuela logicista representada por Russell [12] propuso la teoría de tipos y más tarde la teoría del zigzag, la teoría del tamaño finito, la teoría sin clases, la teoría de la bifurcación, etc., que jugaron un cierto papel en la eliminación de paradojas. El papel de la teoría; la más importante es la axiomatización de la teoría *** propuesta por el matemático alemán Zelmero. Zelmero cree que un sistema de axiomas adecuado puede limitar el concepto de *** y garantizar lógicamente la pureza de ***. Primero propuso el sistema axiomático de * * *, que luego fue desarrollado por Rankel y von? Las adiciones de Neumann et al. Forman un sistema axiomático completo de * * * (sistema ZFC) [5]. En el sistema ZFC, * * * y "pertenencia" son dos conceptos primitivos indefinidos y tienen diez axiomas.
Con el establecimiento del sistema ZFC se evitaron varias contradicciones, eliminando así una serie de * * * paradojas representadas por la paradoja de Russell, y la tercera crisis matemática desapareció.
Aunque se ha eliminado la paradoja, la certeza de las matemáticas se ha ido perdiendo paso a paso. Es difícil decir qué axiomas son verdaderos y cuáles falsos entre los axiomas modernos, pero no se puede descartar. Están estrechamente relacionadas con las matemáticas en su conjunto, por lo que la tercera crisis está aparentemente resuelta, pero esencialmente continúa en otras formas [7].
Para eliminar la tercera crisis matemática, la lógica matemática también ha hecho grandes avances. La teoría de la prueba, la teoría de modelos y la teoría de la recursividad nacieron una tras otra, y aparecieron la teoría matemática básica, la teoría de tipos y la lógica multivaluada.
Se puede decir que la tercera crisis matemática promovió en gran medida la modernidad de la investigación matemática básica y la lógica matemática, creando así directamente una "edad de oro" de la investigación en filosofía matemática.
4 Conclusión
Las tres crisis matemáticas de la historia han traído grandes problemas a la gente. El surgimiento de la crisis hace que la gente sea consciente de las deficiencias de las teorías existentes. La aparición de paradojas en la ciencia a menudo presagia que la comprensión humana entrará en una nueva etapa, por lo que las paradojas son producto del desarrollo científico y una de las fuentes del desarrollo científico.
La primera crisis matemática supuso el descubrimiento de los números irracionales y el establecimiento de una teoría completa de los números reales. También surgió la geometría euclidiana y estableció un sistema de axiomas geométricos. El surgimiento de la segunda crisis matemática condujo directamente al surgimiento y mejora de tres teorías: la teoría del límite, la teoría de los números reales y la teoría de ***, que establecieron el cálculo sobre una base sólida y perfecta. La tercera crisis matemática convirtió la teoría * * * en un sistema axiomático completo de * * * * (sistema ZFC), promoviendo la investigación básica en matemáticas y la modernidad de la lógica matemática.
La historia del desarrollo de las matemáticas muestra que existe una estrecha relación entre el estudio en profundidad de los fundamentos matemáticos, la aparición de paradojas y la resolución relativa de las crisis. La eliminación de cada crisis traerá muchos contenidos nuevos, nuevas comprensiones e incluso cambios revolucionarios a las matemáticas, llevando el sistema matemático a una nueva armonía y permitiendo que la teoría matemática se profundice y desarrolle aún más.
La existencia de paradojas refleja que en una determinada etapa histórica, habrá muchas contradicciones en los conceptos y principios matemáticos, lo que desencadenará las dudas y la sensación de crisis de la gente. Pero las cosas se desarrollan y mejoran gradualmente en el proceso de generar y resolver constantemente contradicciones. Cuando se resuelvan viejas contradicciones, surgirán otras nuevas. En este proceso, la gente seguirá acumulando nuevas comprensiones, nuevos conocimientos y desarrollando nuevas teorías.
La investigación y las soluciones de los matemáticos a las paradojas han promovido la prosperidad y el desarrollo de las matemáticas. El surgimiento de paradojas y crisis en las matemáticas no sólo trae problemas y decepciones a las matemáticas, sino que también aporta nueva vitalidad y esperanza al desarrollo de las matemáticas.
La historia de las paradojas y crisis en matemáticas también ilustra este punto: las paradojas y crisis existentes han sido eliminadas y han surgido nuevas paradojas y crisis.
Pero la comprensión humana se está desarrollando y las paradojas o crisis pueden resolverse tarde o temprano.
“Generar paradojas y crisis, luego intentar resolverlas y luego generar nuevas paradojas y crisis”. Este es un proceso iterativo sin fin que promueve constantemente el desarrollo de las matemáticas. importante proceso de desarrollo.
Materiales de referencia:
[1] Wang Bao Hong Shi Qiong. La paradoja y su significado[J]. ***Revista de la Escuela del Partido del Comité Provincial de Shanxi, 2005, 28 (4): 76 ~ 78.
Zhao Yu'an'e, Qiao Shuli. Paradoja y su impacto en el desarrollo de las matemáticas [J]. Revista de la Universidad de Yan'an (Edición de Ciencias Naturales), 2004, 2 (1): 21 ~ 25.
[3]Li Chunlan. Sobre la primera crisis en la historia de las matemáticas y su impacto [J]. Revista de la Universidad Normal de Mongolia Interior (Edición de Ciencias de la Educación), 2006, 19 (1): 88 ~ 90.
[4]Wei Liang. Análisis de paradojas y tres crisis en la historia de las matemáticas y su significado metodológico [J Science and Technology Information, 2005, (27): 187 ~ 188.
[5]Wang·. Tres crisis matemáticas en la historia[J]. Boletín de Matemáticas, 2002, (5): 42 ~ 43.
Hu Zuoxuan. La tercera crisis matemática[M]. Sichuan: Editorial del Pueblo de Sichuan, 1985, 1 ~ 108.
Huang Yanling, Dai Xianjun. El impacto de la paradoja en el desarrollo de las matemáticas [J]. Journal of Hechi Normal University, 2003, 23 (4): 62 ~ 64.
[8]Zhou Yong. El impacto y la iluminación de la segunda crisis de las matemáticas [J]. Comunicaciones Matemáticas, 2005, (13): 47.
[9]Wang Geng. Teoría matemática extraña [A]. Cultura matemática y educación matemática - Informe sobre cultura matemática [C] Beijing: Science Press, 2004.6438 03 ~ 25.
Lanshilin. Tres crisis y paradojas matemáticas [J]. Revista de la Universidad Normal de Jining, 2003, 25 (4): 47 ~ 49.
Rey. Tres crisis en la historia de las matemáticas[J]. Matemáticas de la escuela secundaria de Shanghai, 2004, (6): 42 ~ 43.
[12] Zhang Huaide. Crisis y desarrollo de las matemáticas [J]. Revista de la Universidad Normal de Gansu, 2004, 9 (2): 60 ~ 62.