Método 1: método de valor especial
Tome dos valores especiales para los parámetros en la ecuación lineal para obtener una ecuación lineal binaria sobre X e y, resuelve la ecuación lineal bidimensional para obtener las coordenadas de punto fijo de la línea recta.
Ejemplo 1. Verificación: Cuando m es cualquier número real, todas las rectas (m-1)x+(2m-1)y=m-5 pasan por un punto determinado.
Análisis: La clave del método de valores especiales es tomar dos valores de parámetros especiales y luego sustituirlos en la ecuación original para formar un sistema de ecuaciones lineales bidimensionales. Para simplificar el cálculo, este problema se puede resolver directamente tomando el valor de m que hace que los coeficientes de xey sean iguales a 0.
Prueba: Supongamos m=1, la ecuación lineal se convierte en: y =-4
M=1/2, la ecuación lineal se convierte en: x=9.
En este momento, el punto de intersección de estas dos rectas es (9, -4).
También es cierto cuando se sustituye (9,-4) en la ecuación original.
Entonces, no importa qué número real tome M, la recta (m-1)x+(2m-1)y=m-5 pasa por el punto fijo (9,-4).
Método 2: Ecuación punto-pendiente de una recta
La ecuación punto-pendiente de una recta es: y-y0=k(x-x0). debe pasar por un punto fijo (x0, y0), es decir, siempre que podamos convertir la ecuación dada en la pregunta en una ecuación punto-inclinada, podemos encontrar el punto fijo por el que pasa la línea recta.
Ejemplo 2: Prueba: No importa cuál sea el valor de m, la recta L: Y = (m-1) x+2m+1 siempre pasa por el segundo cuadrante.
Análisis: Si se requiere demostrar que una recta pasa por el segundo cuadrante, sólo se necesita demostrar que la recta pasa por un punto del segundo cuadrante.
Está demostrado que la ecuación Y = (m-1) x+2m+1 de la recta L se convierte en una ecuación punto-pendiente.
Disponible: y-3=(m-1)(x+2),
Entonces la recta pasa por el punto fijo (-2, 3),
Debido a que el punto (-2, 3) está en el segundo cuadrante,
Por lo tanto, la línea recta l debe pasar por el segundo cuadrante.
Método 3, la idea de ecuaciones
Primero, la ecuación dada en la pregunta es una combinación de términos similares, con parámetros como un término y sin parámetros como otro elemento. Esta ecuación debe ser válida para cualquier parámetro, por lo que solo estos dos términos son 0.
Ejemplo 3: Recta conocida L: 5ax-5y-a+3 = 0. Demuestre: No importa cuál sea el valor de a, la recta L siempre pasa por el primer cuadrante.
Demostración: Debido a que 5ax-5y-a+3 = 0,
Entonces (5x-1)a-(5y-3)=0.
Debido a que esta ecuación es válida para cualquier valor de a,
Entonces 5x-1=0 y 5y-3=0,
Solución: x= 1/ 5, y=3/5,
Es decir, la recta pasa por un punto fijo (1/5, 3/5).
Porque el punto (1/5, 3/5) está en el primer cuadrante.
Por tanto, la recta l debe pasar por el primer cuadrante.