Asociado a un vasto campo de investigación, ha colaborado con un número asombroso de científicos. Hasta ahora, se han publicado 33 artículos a nombre personal de Gelfant, lo que representa sólo 7 del total de sus artículos publicados. Hay 206 autores que coeditaron artículos con él (incluido el matemático chino Xia Daoxing), de los cuales 2 coeditaron más de 50 artículos; 5 artículos oscilaron entre 20 y 49 artículos; tuvo 21 autores. Los nombres de estos artículos no son sólo por respeto al instructor, sino principalmente porque él realmente se dedicó a la investigación de estos temas. Como dice Pyatetski-Chapireau, después de 65.438 0.958 Galfant ya casi no se estudiaba solo. Durante la cooperación, propuso que el tema sea el "catalizador" y la dificultad sea el "equipo de extinción de incendios".
La investigación científica y la docencia de Gelvant están estrechamente relacionadas. A menudo imparte clases introductorias y es bueno para inspirar y hacer preguntas en clase. Impartió un seminario sobre análisis funcional en 1944 y luego sobre física teórica. Constantemente planteaba preguntas únicas, hacía observaciones profundas y encontraba pistas para superar las dificultades, convirtiendo así su seminario en uno de los principales centros de la Unión Soviética para el desarrollo del análisis funcional y la formación de talentos matemáticos en ciernes. Muchos jóvenes cooperaron con él. La mayoría provino de sus seminarios. Estableció la Escuela Galfont, que incluía a destacados matemáticos como Piero, Caritan, Neymark, Shlov, Fomin, Kirillov, Golayev, Fuchs, Bert Enstein et al. Pyatetski-Chapireau en 1990.
Gelfant tiene una habilidad casi asombrosa para ver conexiones entre cosas aparentemente no relacionadas. Tenía el don de destilar un concepto que podría conducir a una comprensión unificada de una gran cantidad de fenómenos matemáticos diferentes. En sus primeras investigaciones, se hizo famoso por sus profundas observaciones sobre el carácter algebraico del teorema de Weiner-Tauber. Su investigación matemática posterior se ha caracterizado por una combinación de métodos analíticos y algebraicos. En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1962 recordó la similitud entre la función S del espacio homogéneo y la matriz S de Heisenberg. Posteriormente, los resultados de la investigación de A. д Fathier y Lax confirmaron la importancia de este punto de vista.
Su investigación siempre presenta o desarrolla conceptos fundamentales en lugar de simplemente proporcionar información técnica. A menudo presentaba imágenes vívidas y nuevas formas de investigar temas de investigación, señalando pistas para un mayor desarrollo para las generaciones futuras. De esta manera, gran parte de su investigación fue absorbida e integrada en la corriente principal del desarrollo matemático contemporáneo.
Pyatetski-Chapireau cree que hay tres maestros en el campo de las matemáticas soviéticas: Andrei Kolmogorov, Shafarevich y Gelfant. Entre ellos, "Gelvant es el más grande. Tiene conocimientos matemáticos tan profundos como Shafarevich y conocimientos tan amplios como Andrei Kolmogorov. Además, Gelfant tiene otro talento especial: puede trabajar en varias áreas básicas al mismo tiempo sin sentir la dificultad de su trabajo. .. En este sentido, Gelfant no es nada.
Álgebra de Banach y análisis armónico
A mediados de la década de 1930, J. von Neumann estableció la profunda teoría del álgebra de von Neumann. Aunque algunas personas hicieron algunos trabajos fragmentados sobre el álgebra normada conmutativa en ese momento, nunca establecieron una teoría general. No fue hasta finales de la década de 1930 y principios de la de 1940 que Galfont estableció una teoría del sistema completo de las álgebras de Banach.
Gelfant definió las normas generales. Después de Ring R, introduje y dominé creativamente los conceptos básicos de los grandes ideales.
Estableció una correspondencia uno a uno entre el espacio propio de R y el espacio ideal máximo de R, definió un mapeo ahora llamado transformación de Gelfant y demostró que todo anillo normado R puede mapearse homomórficamente a una función continua definida en R. anillo en el espacio de Hausdorff formado por el ideal máximo, y la condición necesaria y suficiente para este isomorfismo es que no haya ningún elemento nilpotente generalizado en R. También demostró que Fu.
Otra idea creativa de Gail Fant es extender la teoría espectral de los operadores lineales en el espacio de Hilbert a los elementos del álgebra normada anterior, estableciendo así la teoría espectral generalizada. Para un elemento X de R, definió como espectro de X el conjunto de números complejos ζ tales que Sí, este es Baba.
Durante décadas, la teoría del álgebra de Banach fundada por Gelfant ha sido una de las áreas de investigación más activas en el análisis funcional. Su gran pensamiento ideal no sólo revolucionó el análisis armónico, sino que también tuvo un enorme impacto en el desarrollo de la geometría algebraica. Su teoría espectral generalizada simplificó y generalizó enormemente la teoría espectral de operadores en espacios de Hilbert establecida por D. Hilbert y von Neumann en los primeros 30 años del siglo XX.
Después de establecer brillantemente la teoría de los anillos normados, Gelfant [en colaboración con M.A. Naimak (HaMAPK)] creó la teoría general de las álgebras c*. Originalmente, el álgebra c* se refiere al álgebra de operador cerrado uniforme en el espacio de Hilbert, pero Gelfant y Naimak señalaron en su artículo básico que no hay necesidad de usar el espacio de Hilbert, siempre que se introduzca la función x→x* en el espacio normado. anillo (satisface), o sea Can. (xy)*=y*x*, (λx)*=λx*, (x*)*=x, || x * x || El anillo normativo general de combinación". Este artículo demuestra el siguiente resultado básico: todo anillo normado no conmutativo con involución. Ahora se llama álgebra c*. A través de los estados del álgebra c*, podemos obtener la famosa estructura GNS (Gelfant-Nemak-Siegel). Utilizando la teoría de Gelfant podemos obtener la "teoría de la descomposición unitaria" anterior a F. Riesz y von Neumann, E. Hellinser y H. Hahn. El álgebra C* se ha convertido en una herramienta básica para el análisis funcional. Debido a que el álgebra de observación de un sistema cuántico puede interpretarse como un álgebra c*, y el estado de un sistema cuántico es equivalente a un estado en un álgebra c*, el álgebra c* jugó un papel principal en el tratamiento axiomático de la teoría cuántica de campos en los años 1960 y 1970.
gel fant [en cooperación con PaKOB] también utilizó la teoría de anillos normados para extender el análisis armónico en la recta numérica real al grupo abeliano compacto local. Junto con Wei, estableció completamente el análisis armónico de los grupos abelianos compactos locales. Señaló que el total Hugh L1(G) en el grupo abeliano compacto local G para funciones que son integrables en la medida de Hal constituye Barnard. Se define la transformada de Fourier f del elemento f en L1(G), y se establece su fórmula de inversión y proposiciones equivalentes a la ecuación de Parseval y al teorema de Planck. Se demuestra que la condición necesaria y suficiente para que el ideal cerrado I de L1(G) sea igual a L1(G) es la existencia de f∈L1(G). Esta proposición contiene el teorema de tipo Tauber generalizado de Wiener. Usó la teoría de anillos normados (colaboración de Naimak) para estudiar funciones armónicas y demostró que la representación unitaria irreducible del grupo G en el espacio de Hilbert H tiene como máximo una invariante sobre el operador Tu (u∈U) en el subgrupo U de T. y G. vector, sentando así las bases para la teoría de la función armónica. Galfant ha estado prestando mucha atención al álgebra en el análisis. Desde principios de la década de 1940, ha estudiado la teoría de la representación de grupos continuos y la considera la rama más apasionante que encarna la estrecha integración del álgebra y el análisis. De hecho, la teoría de la representación ha sido una de las áreas de investigación más activas en matemáticas desde la década de 1940.
A principios del siglo XX, F. G. Frobenius e I. Schur estudiaron la representación en dimensión finita de grupos finitos. Posteriormente, E. Cartwright y H. Weyl realizaron una investigación básica sobre la representación unitaria de dimensión finita de grupos compactos de Lie. Debido al desarrollo de la física, E. P. Wigner escribió en su artículo sobre grupos de Lorenz no homogéneos.
En el artículo de 1943, Galfant (en colaboración con Rajkov) planteó correctamente por primera vez el problema básico de la teoría de la representación: "La representación como una extensión natural de una matriz unitaria se expresa en un espacio de Hilbert como una matriz unitaria". operador". Con base en la relación entre representaciones unitarias y funciones definidas positivas, se demuestra que cada grupo compacto local tiene un sistema completo de representaciones unitarias irreducibles. Este es uno de los teoremas más importantes del análisis armónico abstracto y la teoría de la representación de grupos, y proporciona la base para una gran cantidad de estudios futuros.
Luego, de 1944 a 1948, Gelfant (en colaboración con Neimark) publicó una serie de artículos (Literature, Vol. 2, PP. 41-137;;), construyendo una representación de dimensiones infinitas del clásico. Grupo de mentiras complejo. A partir de fórmulas simples y claras, dieron todas las representaciones unitarias irreducibles del grupo matricial complejo modular de segundo orden SL(2,c), las dividieron en series principales y series complementarias y demostraron que SL(2,c) Cualquier representación unitaria de se puede descomponer en la suma directa de las representaciones de las series principal y complementaria. Debido a que SL(2,c) es localmente isomorfo al grupo de Lorenz, también es una contribución a la física teórica. Este trabajo, junto con el estudio de Bargmann de la representación unitaria irreducible de SL(2,r) en 1947, se convirtió en el verdadero punto de partida de la teoría de la representación unitaria.
Galfant estudió más a fondo la representación unitaria irreductible de grupos de Lie complejos semisimples. En el espacio compuesto por funciones modulares multiparamétricas de orden n, introdujo el "elemento lineal generalizado" Z, introdujo medidas apropiadas en el espacio de Z y consideró el espacio H de funciones cuyas medidas son integrables al cuadrado. Para g∈G, el operador Tg de G a H está determinado por Tgf(z)=f(zg)α(zg) (α está determinado por Tg1g2=Tg1Tg2 y Tg es un operador unitario). Las representaciones unitarias definidas de esta manera son irreductibles. Según las diferentes formas de introducir productos internos en H, estas representaciones se dividen en secuencia principal y secuencia suplementaria. Considerando "elementos lineales generalizados con resúmenes", obtenemos la serie principal degenerada y la coserie degenerada. Encontró la forma específica de la característica correspondiente de cada representación irreductible. Definió la huella de la representación unitaria irreductible de un grupo clásico, obtuvo su representación explícita y demostró que esta representación es el único determinante de su huella independientemente de su equivalencia o no.
Estableció una teoría unificada para la representación unitaria de SL(2,K) cuando K es un dominio no discreto arbitrario localmente compacto [colaboración con M. и. γγpaeB], una lista completa de la representación unitaria irreducible de SL(2,k), señalando que además de la serie principal y la serie suplementaria, existen tres series de representación discreta y un punto singular.
Dado que los grupos de Lie de dimensión infinita aparecen a menudo en matemáticas, mecánica de fluidos y teoría cuántica de campos, Gelfant [en cooperación con Gorayev, A.M Versik (BEP ши k) y otros] también hizo un trabajo sobre unidades de Lie de dimensión infinita. representaciones Mucha investigación. Por ejemplo, para el grupo Gx con antecedentes de teoría de calibre (un grupo compuesto de funciones suaves en la variedad de Riemann X, su valor está en el grupo de Lie compacto semisimple G). Está demostrado que cuando dimX≥4, estas representaciones son irreducibles. (Más tarde, alguien demostró que dimX=3 es irreducible y dimX=1 es irreducible.)
Gelfanter realizó importantes investigaciones sobre las formas automórficas. Creía que casi todos los problemas de la teoría de funciones automórficas pueden formularse descomponiendo la representación de un grupo de Lie G semisimple dado en representaciones irreducibles en el espacio funcional. En su artículo de 1952 sobre flujos geodésicos en variedades de curvatura negativa constante, demostró que la dimensionalidad de un espacio de formas automórficas es igual a la multiplicidad de la representación de una secuencia discreta en una representación dada. Posteriormente fue transformado nuevamente.
Este artículo estudia sistemáticamente el espectro del grupo de Lie semisimple G en el espacio G/T (T es un subgrupo de G), y obtiene la ley de reciprocidad de Galfant-Pyatetski-Chapireau (la representación irreducible en G/T se refiere a la representación pesada de U El número es igual a la dimensión del espacio lineal compuesto por todas las formas automorfas de U) y la fórmula de traza.
Por ejemplo, mientras estudiaba álgebras envolventes de álgebras de Lie, propuso el concepto de lo que ahora se llama dimensión de Galfant-kirilov, lo que llevó a V. Katz (Kac) a describir este álgebra de dimensiones finitas como clasificación, y luego propuso el álgebra de Katz-Moody, que es muy útil en física teórica.
La idea básica de Gail Fant de que las representaciones de dimensiones infinitas de grupos clásicos pueden describirse con tanta claridad y elegancia como las representaciones de dimensiones finitas ha demostrado ser muy profunda. Aunque maestros como Catan, Weil, Selberg y Wei han estudiado la teoría de la representación, en términos de la amplitud del alcance de Kirillov, la profundidad de sus métodos y la perfección de sus resultados, Gelfant no tiene paralelo. El estudio sistemático de la geometría integral comenzó con Blaschke. Sin embargo, Gelfant cree que su campo de investigación era bastante limitado antes de la década de 1950, principalmente calculando algunas medidas invariantes de espacios homogéneos. Propuso que el tema básico de la geometría integral debería ser: dada una variedad analítica m = m (λ) que depende de los parámetros λ1,..., λk en el espacio x), estudiar qué función de λ se puede expresar como la forma anterior de integral. Para complejos planos en Cn, resolvió problemas fundamentales de geometría integral.
Gelfant (en colaboración con Gorayev) creó un poderoso método de "esfera límite" en el estudio de la geometría integral. Dejemos la representación, hay que descomponerla en representaciones irreductibles. Propuso seleccionar una subvariedad llamada "esfera límite" en X (es una generalización del concepto de hiperplano en Rn, y es clásico cuando es bola límite), y considerar que G actúa sobre el espacio X' formado por el límite pelota. En general, el espacio e ' de funciones de G en Gelfant fue el primer matemático soviético que vio plenamente la importancia y las amplias perspectivas de la teoría de funciones generalizadas de C. Sobolev y más tarde de L. Schwartz. En el desarrollo de la teoría de funciones generalizada después de la década de 1950, Gelfant y sus colaboradores estuvieron a la vanguardia. Ya en 1953, propuso la idea de construir funciones generalizadas en varios espacios de funciones básicas y seleccionar el espacio de funciones más apropiado para diferentes problemas. Esta idea hace que las funciones generalizadas sean una herramienta ampliamente adaptable que se puede aplicar a ecuaciones diferenciales, teoría de representaciones, geometría integral, teoría de procesos estocásticos y otros campos.
De 1958 a 1966, Gelfant, F.E. shilov, H.Vilegin, Gorayev y Pyatetski-chapirau publicaron una obra maestra en seis volúmenes con el título general Funciones generalizadas. El volumen 1 analiza la definición y las propiedades básicas de funciones generalizadas. Transformada de Fourier de funciones generalizadas y varios tipos especiales de funciones generalizadas. En el segundo volumen se estudian varios tipos de espacios funcionales elementales, sus funciones generalizadas y las correspondientes transformadas de Fourier. El tercer volumen utiliza funciones generalizadas para estudiar la unicidad y el buen planteamiento de las soluciones al problema de Cauchy de ecuaciones diferenciales parciales y la expansión de operadores diferenciales autoadjuntos según funciones características. El capítulo 4 estudia principalmente el espacio nuclear y sus aplicaciones, e introduce el espacio de Hilbert. Esto último hace que muchos resultados sean más completos y bonitos. Este volumen también analiza funciones generalizadas definidas positivas, procesos estocásticos generalizados y teoría de la medición en espacios topológicos lineales. El volumen 5 estudia los grupos de Lorenz y el análisis armónico en espacios homogéneos relacionados con ellos. El volumen 6 estudia la teoría de la representación y las funciones automórficas. El libro goza de reputación internacional y ha sido traducido al chino, inglés, francés y alemán.
Se ha convertido en un libro de texto básico y una obra clásica para la formación de analistas. C Chevally y S. Eilenberg dieron una definición formal de homología algebraica de Lie en 1948. En los siguientes 20 años, la teoría de la cohomología de las álgebras de Lie de dimensión finita se desarrolló ampliamente. Desde 1968, gal fant[realizado principalmente por дb fuchs(фyk). Este artículo estudia la cohomología de álgebras de Lie de dimensión infinita. Esta teoría ahora se conoce como cohomología de Galfant-fuchs. Demostraron que si M es una variedad diferenciable cerrada de n dimensiones, u(M) es un álgebra de Lie compuesta de vectores tangentes suaves en M, y los corchetes de Poisson sirven como operaciones de transposición, para cualquier Q, el espacio de homología HQ(u(M )); r) es de dimensión finita; cuando 0 ≤ q ≤ n
r) es generado por un generador 2-D y un generador 3-D, ambos con representaciones explícitas simples.
Para el álgebra de Lie Wn del campo vectorial formal en Rn, Gelfant et al. introdujeron el espacio Xn a través del esqueleto de la variedad de Glassman y demostraron que para todo q, n, HQ(Wn; r) es isomorfo a HQ (xn; r); la multiplicación en el anillo h * (wn; r) es trivial, es decir, el producto de dos elementos de dimensión positiva es cero. La cohomología del espacio La investigación tuvo gran repercusión internacional e inspiró muchos estudios posteriores, como los trabajos de C. Goadby y J. Vey. La relación entre el espectro de operadores diferenciales y sus coeficientes es una cuestión de aplicación importante. Considere la ecuación diferencial de segundo orden dada y" (λ-q(x))y=0 en (0, ∞), la condición de frontera y(0)=1, y'(0)=h, donde q(x ) En cualquier posición, determine el método para calcular q(x). Aunque algunas personas han investigado en esta área antes, Galfant utilizó un método original, que consiste en convertirlo en una ecuación integral. condiciones suficientes para que ρ (λ) sea la función espectral de un problema dado. Para ecuaciones similares y condiciones de contorno en un intervalo finito, demostró que q (x) se puede construir para cualquier secuencia que satisfaga la ecuación asintótica. es la secuencia de valores propios correspondiente Para la ecuación diferencial y" (λ-q(x))y=0-hy(0)=0, y'(π) Hy(π)=0 secuencia de valores propios{ λn}, obtuvieron. una ecuación muy simple, donde {μn} es la ecuación y ". Existe un método para resolver el problema del espectro inverso en una ecuación integral lineal, que luego fue adoptado por L.S. Gardner y otros al estudiar la solución solitón del kdV , fue desarrollado posteriormente por P.D. Lax y otros como un método sistemático para resolver problemas de valores iniciales de ecuaciones diferenciales no lineales: el método de inversión de dispersión
Gelfant propuso la clasificación homotópica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas en 1960. De hecho, esta cuestión fue planteada por él en la clase de discusión de 1945 a 1946. Dio la definición de que dos ecuaciones o problemas son homotópicos y señaló que es importante encontrar invariantes de homotopía y usar los coeficientes de las ecuaciones para describir invariantes de homotopía. , y establece específicamente que "una expectativa de homotopía invariante es un indicador de un problema, es decir, la diferencia entre el número de soluciones linealmente independientes de un problema homogéneo dado y el número de soluciones linealmente independientes del correspondiente problema homogéneo adjunto. " Tuvo un impacto profundo e inspiró una investigación duradera sobre la teoría exponencial. Este fue el primer artículo al que estuvieron expuestos M.F. Atiyah e I.M. Singer cuando estaban considerando su famoso teorema exponencial. En la segunda mitad de la década de 1970, Gelfant estudió el espectro inverso. problema nuevamente [por ä A. Dickey] y encontré que el k-ésimo operador Lax es exactamente donde D2 q es la ecuación de Hill y (D2 q) es su potencia compleja de S, (D2 q) es la parte positiva cuando es ampliado a un pseudodiferencial por D. Este resultado jugó un papel importante en la investigación de R.B. Ejdero et al.
Galfant también desarrolló una teoría de la variación formal, que reveló las características hamiltonianas de la ecuación del solitón y proporcionó una herramienta formal para el cálculo algebraico de sus integrales. Gelfant comenzó a estudiar biología y fisiología en 1958. Primero estableció un taller relevante y luego organizó un laboratorio con expertos en otros campos, permitiendo a fisiólogos, físicos y matemáticos comunicarse y colaborar entre sí en todas las etapas de la investigación. En esta sala se llevan a cabo numerosos proyectos de investigación sobre control motor y fisiología cerebelosa. En colaboración con M. Vasileff, creó un laboratorio interdisciplinario de métodos biomatemáticos en la Universidad Estatal de Moscú.
Gelfant cooperó con M. Tsetlin y utilizó el original "método del valle profundo" para estudiar el control operativo de los deportes. En colaboración con Arshavski y otros, propuso el concepto de sistemas multicapa controlados de forma no individual. Mediante experimentos con muestras de movimiento controlado, se confirmó que existen vías de transmisión de señales en la médula espinal y también se estudiaron las diferencias en las señales que ingresan al cerebelo a través de diferentes vías (1969).
En el proceso de estudiar el complejo de células tumorales de ascitis hepática, Galfant et al. descubrieron que la ascitis hepática tiene dos nuevas formas de contacto entre células: la sincronización del ciclo mitótico y la aceleración del contacto de proliferación. Revelaron dos conjuntos de procesos morfogenéticos: la generación de citoplasma de cáscara y la polarización celular mediante cultivo de fibroblastos.
Gelvant y varios otros académicos son coautores de tres monografías, respectivamente, sobre células tumorales y células normales en cultivo, sobre la interacción entre células normales, células tumorales y medio de cultivo, y Sobre el cerebelo y el control de movimientos rítmicos.
Lo que hay que destacar es que, a excepción de los primeros artículos, Gelfant colaboró con expertos relevantes para realizar una gran cantidad de experimentos y discusiones teóricas, en lugar de aplicar métodos matemáticos a la biología o desarrollar modelos matemáticos de biología.