Generalmente, si la proporción de cada elemento en una secuencia que comienza desde el segundo elemento hasta su elemento anterior es igual a la misma constante distinta de cero, la secuencia se llama Secuencias Geométricas. Esta constante se llama razón común de la secuencia geométrica. La razón común generalmente se representa con la letra q (q≠0) y la secuencia geométrica a1≠0. . Nota: Cuando q=1, es una columna constante. (1) Fórmula de término general: (2) Fórmula de suma: Sn=(a1-anq)/1-q La fórmula de suma descrita en palabras es: Sn=(primer término-último término*razón común)÷(1- Razón común ) para dos términos cualesquiera, la relación es; cuando use la suma de los primeros n términos de una secuencia geométrica, asegúrese de discutir si la razón común q es 1. (3) De la definición de la secuencia geométrica, la fórmula general , el primero n La fórmula de suma del término se puede derivar: (4) El término medio de una razón geométrica: si, entonces es el término medio de una razón geométrica. Tenga en cuenta que πn=a1·a2...an, entonces π2n-1=(an)2n-1, π2n 1=(an 1)2n 1. Además, una secuencia geométrica en la que todos los términos son números positivos toma la misma base para formar una secuencia aritmética a la inversa, tomando cualquier número positivo C como base y usando los términos de una secuencia aritmética como exponentes para construir una potencia Can, It; es una secuencia geométrica. En este sentido decimos: una sucesión geométrica positiva y una sucesión aritmética son "isomorfas". Definición de mediana geométrica: A partir del segundo término, cada término (excepto el último término de una sucesión finita) es la mediana geométrica de su término anterior y del término siguiente. Fórmula para el término medio proporcional: o . (5) La fórmula suma de los términos de la secuencia geométrica infinita decreciente: La fórmula suma de los términos de la secuencia geométrica infinita decreciente: La secuencia geométrica infinita cuyo valor absoluto de la razón común es menor que 1. Cuando n aumenta infinitamente, el límite se llama esta igualdad infinita Razón la suma de los términos de la secuencia. (6) La razón común de una nueva secuencia geométrica que consta de una secuencia geométrica: {an} es una secuencia geométrica 1 con una razón común de q Si A=a1 a2... anB=an 1... a2nC=a2n. 1... ...a3n entonces, A, B, C forman una nueva secuencia geométrica, la razón común Q=q^n2 Si A=a1 a4 a7 …… a3n-2B=a2 a5 a8 …… a3n-1C. =a3 a6 a9 …… a3n, A, B y C constituyen una nueva secuencia geométrica, y la razón común Q=q
Propiedades
(1) Si m, n, p, q∈N*, Y m n=p q, entonces am*an=ap*aq. (2) En una secuencia geométrica, la suma de cada k términos, a su vez, todavía forma una secuencia geométrica. (3) Si "G es el término medio geométrico de ayb", entonces "G^2=ab (G≠0)". (4) Si {an} es una secuencia geométrica y la razón común es q1, {bn} también es una secuencia geométrica y la razón común es q2, entonces {a2n}, {a3n}... son sucesiones geométricas y la razón común es q1. la relación es q1^2, q1^3...{can}, c es una constante, {an*bn}, {an/bn} es una secuencia geométrica y las razones comunes son q1, q1q2, q1/q2. (5) En una secuencia geométrica, la suma de segmentos consecutivos, de igual longitud y equidistantes es una secuencia geométrica. (6) Si (an) es una secuencia geométrica y cada término es positivo, y la razón común es q, entonces (logaritmo de an con base a como base) se convierte en una diferencia aritmética, y la diferencia común es el logaritmo de log con base a como q. (7) La suma de los primeros n términos de la secuencia geométrica Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n )/( q-1)-A1/(q-1) En la sucesión geométrica, tanto el primer término A1 como la razón común q no son cero. Nota: A^n en la fórmula anterior representa A elevado a la enésima potencia. (8) Dado que el primer término es a1, la fórmula del término general de la secuencia geométrica con razón común q se puede escribir como an=(a1/q)*q^n, y su función exponencial y=a^x está estrechamente relacionada , entonces puedes usar las propiedades de las funciones exponenciales para estudiar secuencias geométricas.
Método para encontrar términos generales
(1) Método de coeficiente indeterminado: Se sabe que a(n 1)=2an 3, a1=1, ¿cómo encontrar an? Construya la secuencia geométrica a(n 1) x=2(an x)a(n 1)=2an x, ∵a(n 1)=2an 3 ∴x=3∴(a(n 1) 3)/(an 3) =2∴{an 3} es una secuencia geométrica con el primer término 4 y la razón común 2, por lo que 3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1), an=2 ^(n 1)-3 (2) Método de definición: Dado que Sn=a·2^n b, encuentre la fórmula general de an? ∵Sn=a·2^n b∴Sn-1=a·2^n-1 b∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1
Aplicación
La secuencia gariométrica también se usa a menudo en la vida. Por ejemplo: los bancos tienen una forma de pagar intereses: el interés compuesto. Es decir, el interés y el principal del período anterior se suman para calcular el principal y se calcula el interés del siguiente período, que es lo que la gente suele llamar "interés compuesto". La fórmula para calcular la suma del principal y los intereses basada en el interés compuesto: Suma del principal y los intereses = principal * (1 tasa de interés) ^ período de depósito.