(2) Transformada de Fourier: convierte señales continuas aperiódicas en el dominio del tiempo en señales continuas aperiódicas en el dominio de la frecuencia.
(3) La relación entre el dominio de la frecuencia, el dominio del tiempo y la fase:
(4) Fórmula de Euler:
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(1) Desventajas de la transformada de Fourier
Es decir, sabemos que la transformada de Fourier puede analizar el espectro de la señal, entonces, ¿por qué deberíamos proponer la transformada wavelet? La respuesta es lo que dijo Fang Qinyuan: "La transformada de Fourier tiene limitaciones para procesos no estacionarios".
Como se muestra en la siguiente figura:
Después de FFT (Transformada Rápida de Fourier), en El espectro Se pueden ver cuatro líneas claras arriba y la señal contiene cuatro componentes de frecuencia.
Todo está bien. Pero ¿y si se trata de una señal no estacionaria cuya frecuencia cambia con el tiempo?
Como se muestra en la figura anterior, la parte superior es una señal estacionaria con frecuencia constante. Las dos inferiores son señales no estacionarias con una frecuencia que varía con el tiempo; también contienen cuatro componentes con la misma frecuencia que la señal superior.
Después de FFT, encontramos que el espectro (espectro de amplitud) de estas tres señales con grandes diferencias en el dominio del tiempo es muy consistente. Especialmente las siguientes dos señales no estacionarias, no podemos distinguirlas del espectro, porque los componentes de las cuatro señales de frecuencia que contienen son de hecho los mismos, pero el orden de aparición es diferente.
Se puede observar que la transformada de Fourier tiene fallas inherentes al procesar señales no estacionarias. Sólo puede obtener los componentes de frecuencia de una señal en su conjunto, pero no sabe el momento en que aparece cada componente. Por tanto, dos señales con dominios temporales muy diferentes pueden tener el mismo espectro.
La mayoría de las señales estacionarias se generan artificialmente y una gran cantidad de señales en la naturaleza son casi no estacionarias. Por lo tanto, en artículos en el campo del análisis de señales biomédicas, como la transformada simple de Fourier, básicamente no es ingenuo. método.
(2) Transformada de Fourier de corto tiempo (STFT).
Un método simple y factible es agregar ventanas. Me gustaría aplicar la descripción de Fang Qinyuan nuevamente: "Descomponga todo el proceso en el dominio del tiempo en innumerables procesos pequeños de igual duración. Cada pequeño proceso es aproximadamente estable, y luego la transformada de Fourier sabrá qué sucedió en qué momento". es la transformada de Fourier de corto tiempo.
Al hacer FFT en el dominio del tiempo, ¡puedes saber cómo cambia el componente de frecuencia con el tiempo!
De esta manera, podemos obtener el diagrama tiempo-frecuencia de la señal:
No solo podemos ver los cuatro componentes en el dominio de la frecuencia de 10 Hz, 25 Hz, 50 Hz y 100 Hz, sino también el momento en que aparecen. Las dos filas de picos son simétricas, solo necesitas mirar una fila.
¿No es genial? Los resultados del análisis de tiempo-frecuencia están disponibles. Pero STFT todavía tiene fallas.
Hay un problema con el uso de STFT. ¿Qué tan amplia es la función de ventana que deberíamos utilizar?
La ventana es demasiado ancha y demasiado estrecha;
La ventana es demasiado estrecha y la señal en la ventana es demasiado corta, lo que provocará un análisis de frecuencia inexacto y una resolución de frecuencia deficiente. La ventana es demasiado amplia, el dominio del tiempo no está lo suficientemente refinado y la resolución temporal es baja.
Por cierto, esta verdad puede explicarse mediante el principio de incertidumbre de Heisenberg. Así como nos es imposible obtener el momento y la posición de una partícula al mismo tiempo, también nos es imposible obtener el tiempo y la frecuencia absolutamente precisos de una señal al mismo tiempo. Esta es también una contradicción irreconciliable. No sabemos qué componente de frecuencia está presente en cada momento. Sólo sabemos que los componentes de una determinada banda de frecuencia existen dentro de un período de tiempo. Entonces la frecuencia instantánea absoluta no existe. )
Por lo tanto, una ventana estrecha tiene una resolución temporal alta y una resolución de frecuencia baja, y una ventana amplia tiene una resolución temporal baja y una resolución de frecuencia alta. Para señales no estacionarias que varían en el tiempo, las frecuencias altas son adecuadas para ventanas pequeñas y las frecuencias bajas son adecuadas para ventanas grandes.
Sin embargo, la ventana de STFT es fija y el ancho no cambiará dentro de un STFT, por lo que STFT aún no puede cumplir con los requisitos de la frecuencia cambiante de señales no estables.
(3) Transformada Wavelet
Entonces puedes pensar, dejar que el tamaño de la ventana cambie y hacer STFT unas cuantas veces más, ¿verdad? ! Sí, la transformada wavelet tiene esta idea.
Pero, de hecho, wavelet no hace esto (para esto, la afirmación de Fang Qinyuan de que "la transformada wavelet consiste en agregar ventanas desiguales de acuerdo con el algoritmo y realizar la transformada de Fourier en cada parte pequeña" es inexacta. La transformada wavelet sí lo hace) No use la idea de ventanas, y mucho menos la transformada de Fourier)
En cuanto a por qué no se usa STFT con ventanas variables, creo que es porque sería demasiado redundante y STFT no se puede ortogonalizar. Esto también es un gran defecto.
Entonces, el punto de partida de la transformada wavelet es diferente del de STFT. STFT agrega ventanas a la señal y realiza FFT en segmentos, mientras que la wavelet cambia directamente la base de la transformada de Fourier: la base de la wavelet de atenuación finita reemplaza la base de la función trigonométrica infinita. De esta manera, no solo puedes obtener la frecuencia, sino también localizar el tiempo~
Por eso se llama "wavelet", porque es una onda muy pequeña~
Como se puede ver en la fórmula, a diferencia de la transformada de Fourier, la variable es solo la frecuencia ω, mientras que la transformada wavelet tiene dos variables: escala a y τ (traducción τ. La escala a controla la expansión y contracción de la función wavelet, y la traducción τ controla la traducción de la función wavelet. La escala corresponde a la frecuencia (inversamente proporcional a ), la traducción τ corresponde al tiempo
Cuando el estiramiento y la traducción son así, también se multiplicarán por. obtener un valor grande En este momento, a diferencia de la transformada de Fourier, no solo podemos saber que la señal tiene dicho componente de frecuencia, sino que también podemos conocer su ubicación específica en el dominio del tiempo.
Cuando traducimos y multiplicamos. la señal suma en cada escala, sabemos qué componentes de frecuencia contiene la señal en cada ubicación.
¿Lo viste? ¡Con las wavelets, ya no tenemos miedo a la inestabilidad de la señal, de ahora en adelante! obtenga uno mediante transformada de Fourier. ¡La transformada wavelet puede obtener un espectro de tiempo!
¡Wavelet tiene algunas ventajas, por ejemplo, sabemos que existe un efecto de Gibbs para la transformada de Fourier de la señal de mutación! no podemos ajustar la señal de mutación con una función trigonométrica infinita
Enlace: /question/22864189/answer/40772083
(1) PSNR (relación señal-ruido máxima).
PSNR: relación señal-ruido máxima, índice completo de evaluación de la calidad de la imagen de referencia.
Donde MSE representa el error cuadrático medio de la imagen actual X y la imagen de referencia Y, H. y W son la altura y el ancho de la imagen respectivamente; n es el número de bits por píxel, generalmente es 8, es decir, la unidad de escala de grises de píxeles es 256. PSNR, cuanto mayor es el valor, menor es la distorsión
PSNR es el índice de evaluación objetiva de imágenes más común y ampliamente utilizado, pero se basa en el error de píxeles correspondiente entre ellas, es decir, la evaluación de la calidad de la imagen se basa en la sensibilidad al error, debido a las características visuales del ser humano. ojo no se tienen en cuenta (el ojo humano es más sensible a las diferencias de contraste en frecuencias espaciales bajas, y el ojo humano es más sensible a las diferencias de contraste en el brillo, la percepción se verá afectada por sus áreas adyacentes, etc.), y los resultados de la evaluación a menudo son inconsistentes con los sentimientos subjetivos de las personas.
(2) SSIM (Similitud de estructura)
SSIM: El índice de similitud es una medida de la similitud entre dos imágenes. Mide la similitud de imágenes en términos de brillo, contraste y estructura.
El rango de similitud estructural es de -1 a 1. Al mismo tiempo, el valor de SSIM es igual a 1.
p>Otros indicadores: /piedras pequeñas/artículo/detalles/42198049