En los siglos XVI y XVII, los países capitalistas europeos surgieron uno tras otro para competir por la hegemonía, necesitaban urgentemente desarrollar la navegación y las industrias armamentísticas. Para desarrollar la navegación, necesitamos determinar la posición del barco en el mar y la longitud y latitud en la tierra; para poder luchar, también necesitamos saber cómo hacer que la bala de cañón impacte con precisión, lo que incita a la gente a estudiar. varios "movimientos" y las relaciones cuantitativas en varios movimientos. Esto proporciona la base para la generación del concepto de función.
A mediados del siglo XVII, Descartes introdujo el concepto de variables (variables) y formuló la geometría analítica, rompiendo así la comprensión de lo desconocido que se limitaba a las ecuaciones. Más tarde, Newton y Leibniz establecieron de forma independiente la teoría diferencial. Durante este período, con el enriquecimiento del contenido matemático, aparecieron en grandes cantidades varias funciones específicas, pero no se les dio una definición universal. Desde que Newton comenzó a aprender cálculo en 1665, ha estado utilizando la palabra "fluidez" para expresar la relación entre variables. Leibniz utilizó por primera vez el término "fluidez" en un manuscrito de 1673. Usó una función para representar cualquier cantidad que cambia con un cambio en el punto de la curva. (Definición 1) Se puede decir que esta es la primera "definición" de una función. Por ejemplo, las longitudes de tangentes, cuerdas y normales, así como las coordenadas horizontales y verticales, son iguales. Posteriormente, este término se utilizó para representar poder, es decir, X, X2, X3,... Evidentemente, el significado original de la palabra "función" es muy vago e inexacto.
La gente no estaría satisfecha con un concepto tan inexacto y los matemáticos discutieron más a fondo las funciones.
2. Desarrollo y mejora del concepto de función 1. El concepto de función basada en "variables" fue claramente definido en 1718 por Bernoulli, un científico suizo y alumno de Leibniz: una función de variables es una expresión analítica compuesta por estas variables y constantes. (Definición 2) Y aquí se da el símbolo de la función φx. Esta definición hace que la función sea analítica por primera vez.
A mediados del siglo XVIII, cuando los famosos matemáticos d'Alembert y Euler estudiaban la vibración de las cuerdas, sintieron que era necesario dar una definición general de las funciones. D'Alembert creía que una función se refiere a cualquier fórmula analítica. En 1748, Euler la definió como: una función es una curva trazada arbitrariamente. (Definición 3) Antes de esto, en 1734, Euler también dio un símbolo de función f(x), que todavía usamos hoy.
De hecho, estas dos definiciones (Definición 1 y Definición 2) son dos formas de expresar funciones que se usan comúnmente hoy en día: método analítico y método de duplicación. Posteriormente, con el surgimiento de las series de Fourier, se comunicó la relación entre expresiones analíticas y curvas. Sin embargo, el uso de expresiones analíticas para definir funciones es obviamente unilateral, porque muchas funciones no tienen expresiones analíticas, como las funciones de Dirichlet.
En 1775, Euler dio una definición más amplia en el prefacio de su libro "Principios de cálculo diferencial": Si algunas variables dependen de otras variables de tal manera que cuando estas últimas se producen un cambio, la La primera variable también cambia, entonces la primera variable se llama función de la última variable. (Definición 4) Esta definición simplemente refleja los factores dialécticos en la función, que incorpora el proceso vívido del "cambio autónomo" al "cambio dependiente", pero no menciona la correspondencia entre las dos variables, por lo que no refleja Las características de la El concepto de función científica en el verdadero sentido son sólo el "prototipo" de la definición científica del concepto de función.
La función es un concepto derivado del estudio del movimiento de los objetos, por lo que las definiciones de los primeros conceptos de función solo reconocen la relación entre variables, como la distancia de una caída libre y la amplitud de un péndulo simple. movimiento en función del tiempo. Obviamente, existen ciertas limitaciones para comprender el concepto de función sólo desde la perspectiva de los "cambios" en las variables durante el movimiento. Por ejemplo, no se da ninguna explicación para las funciones constantes.
A principios del siglo XIX, Lacroix propuso formalmente que mientras una variable dependa de otra variable, la primera es función de la segunda. En 1834, el matemático ruso Lobachevsky (лобачевский) propuso además la definición de función: la función de x es un número que tiene un cierto valor para cada x (Definición 5). hay una "tabla" en la que una columna es el valor x y la otra columna es el valor y correspondiente.
Esta definición señala la necesidad de correspondencia (condición) y muestra la idea de "correspondencia" de funciones, y el concepto de "correspondencia" es la esencia y el núcleo del concepto de función.
El matemático francés del siglo XIX Cauchy dio una definición más clara: hay dos variables interrelacionadas y el valor de una de ellas puede cambiar arbitrariamente dentro de un rango determinado. Tal variable se llama variable independiente y el valor de la otra variable cambia con el valor de la variable independiente. Esta variable se llama variable dependiente y la función que es la variable independiente se llama variable dependiente. (Definición 6)
En 1829, Dirichlet dio la llamada función de Dirichlet: cuando X es un número racional, y = 1; cuando x es un número irracional, Y = 0. Esta función no es compleja, pero no se puede expresar analíticamente. Esta idea es el comienzo de la transformación de las matemáticas desde el estudio pasado del "cálculo" al estudio posterior de "conceptos, propiedades y estructuras". En 1837, definió la función como: En un determinado proceso de cambio, hay dos variables X e Y. Si para cada valor fijo de X dentro de un cierto rango, Y tiene un valor fijo único según un determinado Si la relación correspondiente corresponde para él, Y se llama función de X; x se llama variable independiente. (Definición 7) La ventaja de esta definición es que enfatiza y resalta directamente la relación de "correspondencia" y captura los atributos esenciales del concepto. Solo necesita haber una regla para que cada valor en el dominio de esta función tenga un cierto valor Y correspondiente, independientemente de si la regla es una fórmula, una imagen, una tabla u otras formas, su desventaja es que; omite y simplifica cambios funcionales pensamientos vívidos.
El concepto de función basado en "conjunto"
El concepto de función se desarrolló con el desarrollo de las matemáticas. La definición de funciones se mejora, abstrae y perfecciona constantemente en el desarrollo de las matemáticas. En la década de 1970, el matemático alemán G. Cantor propuso la teoría de conjuntos. Después de entrar en el siglo XX, con el desarrollo de la teoría de conjuntos, el concepto de función también ha logrado nuevos avances. Finalmente se deshizo de las limitaciones del dominio numérico, se expandió a un campo de investigación más amplio y logró la modernización del concepto.
A principios del siglo XX, el matemático estadounidense Weblan dio la siguiente definición de función: Si existe tal relación entre el conjunto de variables Y y el conjunto de otra variable Si el valor corresponde a cada valor de X, entonces se dice que Y es función de la variable
Con el tiempo, las funciones quedaron claramente definidas como la correspondencia entre conjuntos, definida como: A y B son dos conjuntos. Si cualquier elemento de A tiene un elemento único en B de acuerdo con una determinada relación correspondiente, dicha relación correspondiente se convierte en una función del conjunto A al conjunto B (De acuerdo con el concepto de mapeo, esta definición es desde la perspectiva de). "mapeo" Se establece el concepto de función, que se puede describir de la siguiente manera: el mapeo f del conjunto A al conjunto B: a → b se llama función del conjunto A al conjunto B, o función F para abreviar. (Definición 10) Las tres definiciones anteriores rompen las restricciones del campo numérico y hacen que los elementos del conjunto sean abstractos, que pueden ser números o no, pero todas las demás cosas tangibles o intangibles. Por ejemplo, X es el conjunto de todos los triángulos, Y es el conjunto de todos los círculos y F puede ser la aplicación de cada triángulo a su círculo circunscrito.
La definición de la nueva función se puede entender así: una función es una relación de correspondencia (regla) Para elementos en un determinado rango (conjunto), se determina otro elemento en función de esta relación de correspondencia (regla). ). De esta manera, el concepto de función se transforma de "cambio" en sentido estricto a "correspondencia" en sentido amplio, y las funciones son correspondencias (reglas).
En comparación con la etapa primaria, el uso de "correspondencia" ("reglas") para comprender el concepto de función revela la esencia del concepto de función, pero al menos no cumple con nuestra intención de utilizar términos indefinidos. . Porque es necesario definir qué es "correspondencia" y cómo entender las "reglas". Por ejemplo, si las reglas son diferentes, ¿serán diferentes las funciones? Por ejemplo, f(x)=x y f(x)=(1 x)-1 son, por supuesto, reglas diferentes, pero definen la misma función.
Para resolver esta contradicción, a principios del siglo XX, especialmente después de la década de 1960, se adoptaron ampliamente definiciones de funciones que solo involucraban el concepto de "conjunto", pero los conjuntos no se definieron como conceptos originales.
Esta definición es: Supongamos que A y B son dos conjuntos cualesquiera, y F es un subconjunto del conjunto cartesiano A × B, que satisface las siguientes condiciones: ① Para cualquier a ∈ A, existe un B ∈. Luego llame a f una función de a a b, escriba f: a → b (Definición 11) Esta definición utiliza el concepto de "relación" y proporciona una definición general de una función que solo involucra el concepto original "conjunto", es decir, allí. no es necesario utilizar "correspondencia" y se evita la interpretación de "reglas". Mientras la teoría de conjuntos se aplique a todas las áreas de las matemáticas, la definición de función así dada siempre será cierta. Se le puede llamar la definición más moderna.
Hasta ahora, se ha dado la definición más perfecta de "función" (Definición 11). Como uno de los conceptos más básicos en matemáticas, la base se ha establecido directamente en los conjuntos, es decir, las funciones se consideran la correspondencia entre un conjunto y otro conjunto. En realidad, es lo mismo que "mapear".
3. Comparación entre la definición antigua y la nueva Hay dos diferencias importantes entre la nueva definición (la definición basada en conjuntos se llama nueva definición, y la definición basada en variables (números) se llama antigua definición.) y la antigua definición La diferencia: (1) La antigua definición se basa en el concepto básico de "variable", mientras que la nueva definición se basa en el concepto básico de "conjunto". ¿Qué son las variables? Generalmente se entiende como algo que se puede medir después de seleccionar una unidad, como longitud, masa, tiempo, etc. Por un lado, esta comprensión es demasiado vaga y sólo puede ilustrarse con ejemplos y es difícil de ser precisa, por otro lado, porque involucra la relación entre tamaño y tamaño, es demasiado estrecha y no puede reflejar la universalidad de la aplicación; . En segundo lugar, incluso si no hay duda de qué es una "cantidad", como variable, debe tomar un valor dentro de un cierto rango (no necesariamente un valor numérico. En realidad, se trata de un conjunto A que debe presuponerse (constituirlo). el dominio de la función). El llamado "valor variable" es esencialmente una forma indirecta de decir "A pertenece a A" disfrazado. Se puede observar que el concepto de variables ya incluye la idea de conjuntos.
⑵ En la definición anterior, la "variable dependiente" es una función, y en la nueva definición, la "variable correspondiente" es una función. La esencia del concepto de función no es que la variable dependiente "cambie" con la cantidad conveniente, sino que existe una cierta correspondencia entre los dos conjuntos. Evidentemente, la nueva definición puede revelar la esencia de la función de forma más directa.