El determinante matricial se refiere al determinante compuesto por todos los elementos de la matriz. Supongamos que A=(aij) es una matriz de orden n en el campo numérico P, entonces todos los elementos en A=(aij). ) están compuestos por El determinante se llama determinante de la matriz A, denotado |A| o det(A). El significado del determinante es el coeficiente de expansión del espacio después de la transformación. Para comprender los determinantes, primero comprenda el producto cruzado de los vectores.
El determinante de una matriz tridimensional es el volumen abarcado por tres vectores.
Una transformación es una matriz diagonal en el sistema de coordenadas abarcado por los vectores propios. Los números en la diagonal son los valores propios de los vectores base correspondientes. El valor propio representa el factor de escala de la matriz al vector de base unitaria. Es decir, los valores propios representan una escala de una única dimensión que se asigna a otro espacio.
El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de valores propios. Este punto no es difícil de derivar directamente del significado de valores propios y determinantes.
Si el determinante no es cero, significa que el escalamiento de cada dimensión por la transformación no es cero. Entonces este mapeo es reversible. La matriz es de rango completo. Las dimensiones del espacio original y el espacio mapeado son iguales. El múltiplo de la expansión de volumen del espacio mapeado y el espacio original es igual al determinante, que es igual al producto de los múltiplos de escala de cada dimensión, es decir, igual al producto de todos los valores propios.
Si el determinante es cero, significa que la transformación ha comprimido al menos una dimensión a cero. Entonces este mapeo es de muchos a uno y la matriz no es invertible. La matriz no es de rango completo. Las dimensiones del espacio original y el espacio mapeado no son iguales y la dimensión del espacio mapeado se reduce. El espacio vectorial se comprime después del mapeo matricial.