∫(x?+segundo?x)dx=(1/3)x? +tanx+C
∫[1/(2x-3)]dx=(1/2)∫[1/(2x-3)]d(2x-3)=(1/2) ln∣2x-3∣+c
∫sin(x/2)dx = 2∫sin(x/2)d(x/2)=-2cos(x/2)+C
∫dx/(1+√x); Supongamos que x=u, entonces x = u? , dx = 2udu
Entonces la fórmula original = 2∫udu/(1+u)= 2∫[1-1/(1+u)]du = 2[u-ln 1.
∫xe^(3x)dx=(1/3)∫xd[e^(3x)]=(1/3)[xe^(3x)-∫e^(3x)dx] =(1/3)e^(3x)-∫e^(3x)d(3x)
=(1/3)e^(3x)-e^(3x)+c=- (2/3)e^(3x)+c
-2，-1∫(1+2x)? dx=-2，-1(1/2)∫(1+2x)? d(1+2x)=(1/6)(1+2x)? -2,-1=-(1/6)+9/2=13/3
0,1/2∫arcsinxdx =[xarcsinx+√(1-x?)]0,1/2 =π/6+(√3/2)-1
0，1/4∫xdx/√(1-2x)=0，1/4-∫xd √(1-2x)= -[x √( 1-2x)-∫√( 1-2x)dx]0,1/4
=-[x √( 1-2x)+(1/2)∫√( 1-2x)d(1-2x)]0, 1/4
=-[x √( 1-2x)+(1/3)x √( 1-2x)+√( 1 -2x)? ]0,1/4
=-[1/(4√2)+1/(12√2)+1/(2√2)]+1=(12+5√2) /12
(1). ¿Encontrar la ecuación diferencial 2xy+x? y' = (1-x) Solución general de y.
Solución:x? Y'=y-3xy, es decir (3xy-y)dx+x? dy=0.........(1);
Donde P=3xy-y, Q=x? ;? PAG/? y = 3x-1≦? P/? X=2x, por lo que la ecuación original no es una ecuación diferencial total.
Pero (1/Q)(?P/?You-?Q/?x)=(1/x?)(3x-1-2x)=(x-1)/x? =G(x) es función de x,
Entonces hay un factor de integración μ(x)= e∫g(x)dx = e∫[(1/x)-(1/x ?) ]dx=e^(lnx+1/x)=xe^(1/x);
Multiplica μ(x) por [(3xy-y) Xe (1/x)] dx+ [¿x? e^(1/x)]dy=0.........(2)
En este momento p = (3xy-y)xe(1/x); x? e^(1/x);
P/? y=(3x-1)xe^(1/x)=? P/? x=3x? e^(1/x)-xe^(1/x)=(3x-1)xe^(1/x); por lo tanto, (2) es una ecuación diferencial total.
El lado izquierdo de (2) es la función u(x, y)=∫[(3xy-y)xe(1/x)]dx = yx? Diferencial total de e (1/x). Porque:
Du=(?u/?x)dx+(?u/?y)dy=y[(3x?-x]e^(1/x)dx+x?E (1 /x)] dy = (2) Izquierda.
¿Qué pasa con la función implícita? E (1/x) = c es la solución general de la ecuación original
(2). ) Solución general de la ecuación diferencial y''+2y'+y = e (-x).
Solución: ¿Cuál es la ecuación característica de la ecuación homogénea y''+2y'+y=0? +2r+1=(r+1)? = 0, ¿tiene múltiples raíces r? =r? =-1;
Entonces la solución general de la ecuación homogénea es y=(C?+C?x)e^(-x)
Busquemos una solución especial y * ; Usando el método del coeficiente indeterminado: Supongamos que la solución especial es y*=ax? e^(-x)
(y*)'=2axe^(-x)-ax? e^(-x)=(2ax-ax?)e^(-x)
(y*)''=(2a-2ax)e^(-x)-(2ax-ax? )e^(-x)=(2a-4ax+ax?)e^(-x)
Poner la fórmula original (2a-4ax+ax?)e^(-x)+2 (2ax -ax? )e^(-x)+ax? e^(-x)=e^(-x)
(2a-4ax+ax?)+4ax-2ax? +hacha? =1
Es decir, 2a=1, entonces a=1/2, es decir, ¿la solución especial es y*=(1/2)x? e^(-x)
Entonces la solución general de la ecuación original es: y=(C?+C?x)e^(-x)+(1/2)x? mi^(-x)=[C? +C? x+(1/2)x? ]e^(-x)