Palabras clave: permutación y combinación, estrategias de resolución de problemas
Primero, método de vinculación de problemas adyacentes
Ejemplo 1.7 Los estudiantes se paran juntos Fila . ¿Cuántos arreglos diferentes deben tener A y B para estar juntos?
Solución: El problema de disponer dos elementos juntos se puede resolver utilizando el método de "encuadernación". Primero, A, B y las otras cinco personas están dispuestas como un solo elemento, considerando el orden de A y B, por lo que * * * hay una especie.
Comentarios: En términos generales, los individuos están colocados en una fila, uno de ellos está uno al lado del otro, lo que se puede resolver mediante el método de "agrupación", y existen diferentes disposiciones.
2. Método de inserción nulo de problema no adyacente
Ejemplo 2. Siete estudiantes estaban en fila. ¿Cuántos arreglos diferentes hay cuando A y B no son adyacentes?
Solución: La disposición de A y B no adyacentes generalmente adopta el método de "espacio de inserción", por lo que el número total de disposiciones no adyacentes de A y B debe ser: especies.
Comentario: Si los individuos están en fila, los lugares donde los individuos no son adyacentes se pueden resolver "insertando espacio".
Tres. Problemas complejos: método de eliminación completa
Cuando el método directo es difícil de considerar o la clasificación no es clara o es múltiple, se puede considerar el "método de eliminación". Al resolver problemas geométricos, debemos prestar atención a las restricciones de las figuras geométricas sobre sus elementos constituyentes.
Ejemplo 3. (Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 1996) Hay siete puntos en el centro y vértices de un hexágono regular ¿Cuántos triángulos hay con tres de ellos como vértices?
Solución: Hay varias formas de encontrar tres puntos a partir de siete puntos, pero el centro y el vértice contenidos en la diagonal de un hexágono regular tienen tres * * * rectas, por lo que el triángulo que cumple las condiciones es - 3 = 32 individuos.
Cuarto, elementos especiales: método de prioridad
Para problemas de permutación y combinación con condiciones limitadas, se puede dar prioridad a posiciones especiales y luego a otras posiciones.
Ejemplo 4. (Preguntas del examen de ingreso a la universidad de Shanghai de 1995) El maestro 1 y los 4 estudiantes galardonados hicieron fila para tomar fotografías. Si los profesores no están dispuestos en ambos extremos, existen disposiciones diferentes.
Solución: Consideremos primero la disposición de elementos especiales (maestros). Debido a que el maestro no lo organiza en ambos extremos, puedes elegir una de las tres posiciones en el medio. Otros estudiantes tienen arreglos diferentes, por lo que * * * hay = 72 arreglos diferentes.
Ejemplo 5. (Examen de ingreso a la universidad nacional de 2000) Entre los 10 miembros del equipo de tenis de mesa, 3 son los jugadores principales y 5 miembros son enviados a participar. Los tres jugadores principales deben ubicarse en las posiciones uno, tres y cinco, y los otros siete deben ubicarse en las posiciones dos y cuatro, por lo que los estilos de juego tienen disposiciones diferentes.
Solución: Debido a que las posiciones No. 1, No. 3 y No. 5 son especiales, solo se pueden organizar los jugadores principales. Hay dos arreglos, y los otros siete jugadores eligen dos para ser colocados. en las posiciones No. 2 y No. 4, por lo que hay = 252 arreglos diferentes para jugar.
5. Múltiples cuestiones: método de discusión de clasificación
Para muchos elementos y muchas opciones, puede discutirlos según sus necesidades y finalmente hacer un resumen.
Ejemplo 6. (Reclutamiento de primavera de Beijing 2003) Los cinco programas originalmente programados para la fiesta de Año Nuevo de una determinada clase se organizaron en la lista de programas y se agregaron dos programas nuevos antes de la presentación. Si estos dos programas se insertan en la lista de programas original, el número de métodos de inserción diferentes es (A).
A.42 B.30 C.20 D.12
Solución: Los dos nuevos programas se pueden dividir en situaciones adyacentes y no adyacentes: 1. No adyacentes: * *Hay especies A62 2. Adyacentes: * *Hay especies A2A61; Entonces, el número de métodos de interpolación diferentes es: A62 A22A61=42, así que elija A.
Ejemplo 7. (Examen nacional de ingreso a la universidad de 2003) Como se muestra en la figura, una región se divide en cinco regiones administrativas. Ahora el mapa está en color, lo que requiere que las regiones adyacentes no puedan usar el mismo color. Hay cuatro colores para elegir, entonces, ¿cuántas formas diferentes de colorearlo hay? (Respuesta con números)
Solución: El área 1 está adyacente a las otras cuatro áreas, y cada dos áreas está adyacente a las tres áreas. Puedes pintar tres o cuatro colores.
Hay = 24 formas de colorear con tres colores y = 48 formas de colorear con cuatro colores, por lo que * * * * hay 24 48 = 72 formas y se deben completar 72.
6. Problemas mixtos: métodos de primera elección y ordenamiento posterior
Para problemas de aplicación mixta con permutaciones y combinaciones, se puede utilizar la estrategia de seleccionar elementos primero y luego ordenarlos.
Ejemplo 8. (Examen de ingreso a la universidad de Beijing de 2002) 12 estudiantes fueron a tres intersecciones diferentes para investigar el flujo de tráfico. Si hay 4 estudiantes en cada intersección, los diferentes planes de asignación serán ().
A.
C.
Solución: Este problema pertenece a un problema de agrupación uniforme. Luego los 12 estudiantes se dividieron en 3 grupos * * * Hay una manera Hay diferentes planes de asignación en tres intersecciones diferentes. Hay: tipos, así que elige a.
Ejemplo 9. (Examen de ingreso a la Universidad de Beijing en 2003) Seleccione tres vegetales de los cuatro tipos de vegetales: pepino, col china, colza y lentejas, y plántelos en tres terrenos con diferentes texturas de suelo. Entre ellos, se deben plantar pepinos. los diferentes métodos de siembra son ().
A.24 especies B.18 especies C.12 especies D.6.
Solución: Seleccionar primero, luego organizar e implementar paso a paso. Según el significado de la pregunta, los diferentes métodos de selección son C32, los diferentes métodos de disposición son A31 A22, por lo que los diferentes métodos de plantación son A31 C32 A22 = 12, por lo que se debe seleccionar C.
Siete. Distribución de los mismos elementos - método de separación por deflectores
Ejemplo 10. Envíe 10 libros idénticos a tres salas de lectura para estudiantes numeradas 1, 2 y 3. La cantidad de libros asignados a cada sala de lectura no es menor que su número. Intenta encontrar el número de diferencias. Utilice tantos métodos como sea posible para resolver el problema y considere si estos métodos son aplicables a situaciones más generales.
Esta pregunta examina el problema de combinación.
Solución: Deje que las salas de lectura 2 y 3 obtengan 1 libro y 2 libros en secuencia; distribuya los siete libros restantes para garantizar que cada sala de lectura tenga al menos un libro, lo que equivale a siete libros idénticos. "Yoes" idénticos se insertan en los seis "espacios" entre los libros (generalmente considerados como "particiones"). * * * Hay 15 métodos de inserción.
En resumen, las ideas para resolver problemas verbales de permutación y combinación se pueden resumir de la siguiente manera: permutación y agrupación claras, suma y multiplicación claras; disposición ordenada, combinación desordenada significa suma y paso a paso; multiplicación.
Específicamente, suelen existir los siguientes métodos para resolver los problemas de aplicación de permutación y combinación:
(1) Tomar elementos como cuerpo principal, es decir, cumplir primero con los requisitos de elementos especiales, y luego considerar otros elementos.
(2) Centrarse en la selección del sitio, es decir, primero cumplir con los requisitos para la selección de sitios especiales y luego considerar otras selecciones de sitios.
(3) Sin considerar condiciones adicionales, calcule el número de permutaciones o combinaciones y luego reste el número de permutaciones y combinaciones no calificadas.
Estrategias para resolver problemas de permutación y combinación
Zhang, Anlu No. 2 Middle School, provincia de Hubei
El conocimiento de permutación y combinación se ha utilizado ampliamente en práctica y dominio El conocimiento de permutaciones y combinaciones puede ayudarnos a resolver muchos problemas de aplicaciones prácticas en la producción y la vida. El problema de la permutación y combinación simultáneas siempre ha sido un problema de larga data. Por lo tanto, para comprender completamente el conocimiento de la permutación y combinación, es necesario resumir las reglas y métodos de permutación y combinación para resolver problemas.
En primer lugar, hablemos de las reglas generales de resolución de problemas de preguntas integrales de permutación y combinación:
1) Si se debe utilizar el "principio de conteo categórico" o el "principio de conteo de pasos". El principio de conteo paso a paso” depende de cómo completamos una tarea. La forma en que están las cosas. Podemos utilizar el "principio de conteo de clasificación" cuando se completa la clasificación y el "principio de conteo de pasos" cuando es necesario completarlo paso a paso. Entonces, ¿cómo determinar si es clasificación o paso a paso? "Clasificado" significa que cualquiera de ellos puede completar un evento determinado de forma independiente, mientras que "Progresivo" significa que se deben completar todos los pasos de un evento determinado. Por lo tanto, una comprensión precisa de los dos principios enfatiza que varios métodos para completar una cosa no interfieren entre sí, son independientes entre sí, se cruzan entre sí para formar un conjunto vacío y se integran en un conjunto completo. No importa qué método utilice, puede completar las cosas de forma independiente. El principio de conteo paso a paso enfatiza que todos los pasos son indispensables y que todos los pasos deben completarse para completar la tarea.
2) Las definiciones de permutaciones y combinaciones son similares, y su diferencia radica en si están relacionadas con el orden.
3) Los problemas de disposición complejos a menudo se visualizan mediante experimentos, dibujando "diagramas de árbol" y "diagramas de bloques" para encontrar soluciones. Debido a que es difícil probar la exactitud de los resultados, a menudo es necesario utilizar diferentes métodos para obtener la prueba.
4) Clasificar según la naturaleza de los elementos y proceder paso a paso según la continuidad de los eventos son los métodos de pensamiento básicos para abordar problemas de permutación y combinación. Preste atención al significado de palabras restrictivas como. "al menos, como máximo".
5) La idea general es seleccionar elementos (combinación) primero, luego ordenarlos, "clasificarlos" según las propiedades de los elementos y "paso a paso" según el proceso de eventos. Es siempre el principio básico y el principio para tratar problemas de disposición y combinación. A través de la capacitación en resolución de problemas, preste atención a acumular y dominar las habilidades básicas de clasificación y paso a paso, asegurando que cada paso sea independiente, de modo que los estándares de clasificación sean claros, los pasos sean claros y no haya repetición o omisión.
6) Al resolver problemas integrales de permutación y combinación, debe tener un conocimiento profundo del concepto de permutación y combinación, ser capaz de clasificar problemas hábilmente y tener en cuenta las fórmulas de números de permutación y combinación y las propiedades de los números de combinación. Los errores comunes son la duplicación y la omisión de recuentos.
En resumen, las reglas básicas para resolver problemas de permutación y combinación son: suma clasificada, multiplicación paso a paso, permutación y agrupación clara, suma y multiplicación clara, combinación desordenada revertir lo difícil; problema y eliminarlo indirectamente.
En segundo lugar, al comprender las características y leyes esenciales del problema, utilice de manera flexible principios y fórmulas básicos para analizar y resolver, y preste atención a algunas estrategias y métodos de resolución de problemas, de modo que algunos problemas aparentemente complejos puedan resolverse. resolverse fácilmente. A continuación se muestran algunos métodos y estrategias de resolución de problemas de uso común.
1. "Método de priorización" de elementos (posiciones) especiales: Para la disposición y combinación de elementos (posiciones) especiales, generalmente se consideran primero los elementos (posiciones) especiales y luego los demás.
Ejemplo 1. Usa los cinco números 0, 2, 3, 4 y 5 para formar un número de tres dígitos sin repetir los números pares * * * tienen ().
A.24 B.30 C.40 D.60
[Análisis] Debido a que el número de tres dígitos es un número par, el número al final debe ser un número par , y debido a que 0 no se puede organizar primero, 0 es uno de los elementos "especiales" y se le debe dar prioridad. Se puede dividir en dos categorías: 0 al final y 0 al final: 1) A42 está al final de la fila 0, 2) C21A38 no está al final.
2. Método de eliminación total: Para las emisiones negativas se podrán eliminar del total las no calificadas. Por ejemplo, en el caso de 1, este método también se puede utilizar para resolver: hay un A53 en la disposición completa de cinco números que forman un número de tres dígitos. Después de ordenar, se descubrió que 0 no puede clasificarse en primer lugar y que los números 3 y 5 no pueden clasificarse en último lugar. Estas dos permutaciones deben excluirse, por lo que hay A53-3A42 C21A31 = 30 números pares.
3. Realizar una clasificación razonable y una clasificación precisa paso a paso de los problemas de permutación y combinación restringida, clasificarlos paso a paso según la naturaleza de los elementos y el proceso continuo de las cosas, para Logre estándares de clasificación claros y una jerarquía paso a paso. Claro, no pesado ni con fugas.
4. Método de vinculación para problemas adyacentes: al resolver problemas que requieren que ciertos elementos sean adyacentes, primero considere todo el problema y "vincule" los elementos adyacentes en un elemento "grande" y organícelo con otros elementos. considere métodos vinculantes.
Ejemplo 2, hay 8 libros diferentes; incluidos 3 libros de matemáticas, 2 libros de idiomas extranjeros y 3 libros de otras materias. Si estos libros están dispuestos en una fila en la estantería y los libros de matemáticas también están dispuestos juntos, entonces hay () formas de organizar los libros extranjeros juntos. (Resultados expresados como valores numéricos)
Solución: "agrupar" tres libros de matemáticas como un libro grande y "agrupar" dos libros de idiomas extranjeros como un libro grande. Junto con los otros tres libros, se lo considera los Cinco Elementos. * * * Hay una disposición A55; los otros tres libros de matemáticas están en disposición A33 y los dos libros de idiomas extranjeros están en disposición A22. Según el principio de conteo de pasos, * * * existe un método de clasificación A55 A33 A22 = 1440 (tipos).
Nota: Cuando utilice el método de vinculación para resolver problemas de permutación y combinación, debe prestar atención al orden interno de "vincular" elementos grandes.
5. El "método de interpolación" se utiliza para problemas no adyacentes: los problemas no adyacentes significan que algunos elementos no pueden ser adyacentes y están separados por otros elementos. Para resolver este problema, primero puede organizar otros elementos y luego insertar los elementos no adyacentes especificados en los espacios y posiciones en ambos extremos, lo que se denomina interpolación.
Ejemplo 3: Usa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 para formar un número de ocho dígitos sin números repetidos. Se requiere que 1 y 2 sean adyacentes, 2 y 4 sean adyacentes, 5 y 6 sean adyacentes y 7 no sea adyacente a 8. Hay números de ocho dígitos como () * *. (Respuesta con números)
Solución: Dado que se requiere que 1 y 2 sean adyacentes y 2 y 4 son adyacentes, los tres números 1, 2 y 4 se pueden unir para formar un elemento grande. Esto solo 2 se pueden organizar en el medio del elemento grande, y 1 y 4 se pueden organizar en ambos lados, por lo que hay A22 formas de organizar el elemento grande, y luego 5 y 6 se pueden unir en un elemento grande. Organice estos tres elementos primero. * * * Hay 33 arreglos, y luego selecciona dos de los espacios formados por los tres elementos dispuestos al frente y las cuatro posiciones en ambos extremos de * * *, e inserta los números 7 y 8 que no son adyacentes entre sí. * * * Hay métodos de inserción A42, por lo que los ocho bits calificados * * son A22A3A342 = 288 (tipos).
Nota: Al utilizar la interpolación para resolver problemas no adyacentes, preste atención a si la posición a insertar incluye ambos extremos.
6. Utilice "división" para arreglar el orden: para problemas en los que ciertos elementos están organizados en un orden determinado, primero puede organizar estos elementos con otros elementos y luego dividir el número total de arreglos por el número de estos elementos Número total de permutaciones.
Ejemplo 4: Se alinean seis personas, A, B y C en el orden "A-B-C". ¿Cuántas formas hay de hacer cola?
Análisis: independientemente de las condiciones adicionales, existen métodos de cola A66 y solo uno de los métodos de cola A33 de A, B y C cumple con los requisitos. Entonces hay A66 ÷A33 =120 permutaciones que cumplen las condiciones. (o A63)
Ejemplo 5. Cuatro niños y tres niñas no tienen la misma altura. Ahora, alinéelos en una fila y pídales a las niñas que los ordenen de bajo a alto, de izquierda a derecha. ¿Cuántas permutaciones hay?
Solución: Primero, cuatro de los siete puestos se dan a niños, y hay un arreglo de A74. Los tres puestos restantes se dan a niñas, y solo hay un arreglo, por lo que hay un arreglo. de la A74. (También puede ser A77 ÷A33)
7. El problema de disposición se puede resolver mediante "disposición directa": el problema de disponer varios elementos en varias filas se puede resolver disponiéndolos en una fila.
Ejemplo 6. Siete personas se sientan en dos filas, tres en la primera fila y cuatro en la segunda fila. ¿Cuántas posiciones diferentes para sentarse hay?
Análisis: Siete personas pueden sentarse en las dos primeras filas como quieran. No hay otras condiciones, por lo que las dos filas se pueden tratar como una sola, y hay 77 formas diferentes de sentarse.
Ocho. Método de prueba elemento por elemento: cuando aumentan las condiciones adicionales en las preguntas y los puntos difíciles se resuelven directamente, las reglas se encuentran gradualmente mediante experimentos.
Ejemplo 7. Llena los cuadrados con los números 1, 2, 3, 4 y 1 en cada cuadrado. El número de métodos de llenado para diferentes números en el cuadrado es ().
A.6 B.9 C.11 D.23
Solución: La primera caja puede contener 2 o 3 o 4. Si el primer cuadro se llena con 2, el segundo cuadro se puede llenar con 1, 3 o 4. Si el segundo cuadro se completa con 1, entonces los dos últimos cuadros tienen solo un método. Si el segundo cuadro se llena con 3 o 4, entonces solo hay una forma de llenar los dos últimos cuadros. Hay nueve formas de completar A * * *, elija b.
9. Modelo estructural "Método de partición"
Para problemas de disposición complejos, podemos diseñar otro escenario y construir un modelo de partición para resolver el problema.
Ejemplo 8. ¿Cuántas soluciones enteras positivas tiene la ecuación a b c d=12?
Análisis: establezca un modelo de deflector: coloque 12 bolas idénticas en una fila, inserte aleatoriamente 3 deflectores en los espacios entre ellas y divida las bolas en 4 pilas. El número de bolas de cada pila obtenido por cada división corresponde a un conjunto de soluciones enteras positivas de A, B, C y D, por lo que el número de conjuntos de soluciones enteras positivas de la ecuación original.
Otro ejemplo es el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación a b c d=12, que se puede resolver usando este método.
10. Si tiene dificultades, utilice el método de eliminación inversa.
Para las preguntas de permutación y combinación "más" o "menor", si la respuesta directa requiere una discusión compleja, puede hacerlo. considere "El método de" eliminación general "es eliminar permutaciones y combinaciones no calificadas en el grupo, calculando así el número de permutaciones y combinaciones calificadas.
Ejemplo 9. Seleccione aleatoriamente 3 televisores de 4 televisores tipo A y 5 televisores tipo B, entre los cuales hay al menos 1 televisor tipo A y 1 televisor tipo B, de modo que existan () diferentes métodos de selección.
A.140 especies B.80 especies C.70 especies D.35
Solución: De las tres estaciones retiradas, ninguna no contiene A o no cumple con El método de extracción del significado de la pregunta, por lo que el método de extracción que se ajusta al significado de la pregunta es C93-C43-C53=70 (especie), entonces C.
Nota: este método es adecuado para ejercicios con situaciones negativas claras y cálculos sencillos.
XI. Método de exploración paso a paso: los problemas con situaciones complejas y patrones difíciles de descubrir requieren un análisis y una exploración cuidadosos.
Ejemplo 10, del 1 al 100, si se sacan dos números diferentes a la vez para que la suma sea mayor que 100, ¿cuántos números diferentes se sacan?
Solución: En la suma de dos números, el número menor es el sumando, 1 100 > cuando 100 y 1 son sumandos, hay 1 y 2 como sumandos,..., 49 es Suma, 50 es el sumando, pero 51 es el sumando, 48 es el sumando, ..., 99.
Doce. Correspondencia uno a uno:
Por ejemplo: 11. ¿Cuántos juegos se necesitan para llevar a cabo un solo torneo eliminatorio de todos contra todos entre 100 jugadores (es decir, salir del juego después de un fracaso) para finalmente producir un campeón?
Solución: Para producir un campeón se deben eliminar todos los jugadores excepto el campeón, es decir, se deben eliminar 99 jugadores, y se debe eliminar 1 jugador, por lo que hay 99 juegos.
Cabe señalar que el método anterior es un método común para resolver problemas generales de permutación y combinación, pero no es absoluto. Matemáticas es un curso muy flexible y, a veces, existen múltiples soluciones para el mismo problema. En este momento, es necesario pensar y analizar detenidamente y elegir el mejor método con flexibilidad. También existen "clasificación", "alineación", "método de igual probabilidad" y similares para problemas multivariados, que no entraré en detalles aquí.