Supongamos que el conjunto A={a,b} y el conjunto B={0,1,2}, entonces el producto cartesiano de los dos conjuntos es {(a,0),(a,1) , (a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}. Se puede ampliar a múltiples colecciones. Un ejemplo similar es si A representa el conjunto de estudiantes de una determinada escuela y B representa el conjunto de todos los cursos de la escuela, entonces el producto cartesiano de A y B representa todas las situaciones posibles de selección de cursos. [Edite este párrafo] Las propiedades operativas del producto cartesiano: dado que las posiciones de xey en el par ordenado
El producto cartesiano también se puede sintetizar a partir de múltiples conjuntos, A1×A2×…×An.
Las propiedades operativas del producto de Descartes generalmente no se pueden intercambiar.
El producto cartesiano, combina los conjuntos A y B en el conjunto A×B, estipulando que
A×B={ En cualquier conjunto A El producto cartesiano se puede definir arriba porque para dos conjuntos cualesquiera A y B, el elemento en A es el primer elemento y el elemento en B es el segundo elemento para formar un par ordenado. compuesto de todos esos pares ordenados es el conjunto A. El producto cartesiano de B. Cuando el conjunto A = B, el producto cartesiano se escribe A A. [Editar este párrafo] Proceso de derivación Dado un conjunto de dominios D1, D2,..., Dn, puede haber lo mismo en estos dominios. El producto cartesiano de D1, D2,…,Dn es: D1×D2×…×Dn＝{(d1, d2,…,dn)|di∈Di, i＝1, 2,… , n} No se puede repetir una combinación de todos los valores en todos los campos El ejemplo muestra tres campos: D1=SUPERVISOR ={ Zhang Qingmei , Liu Yi} D2=ESPECIALIDAD={Especialidad en informática, especialización en información} D3=POSGRADO={Li Yong, Liu Chen, Wang Min} Entonces D1, el producto cartesiano de D2 y D3 es D: D=D1×D2×D3 = {(Zhang Qingmei, especialista en informática, Li Yong), (Zhang Qingmei , especialización en informática, Liu Chen), (Zhang Qingmei, especialización en informática, Wang Min), (Zhang Qingmei, especialización en información, Li Yong), (Zhang Qingmei, especialización en información , Liu Chen), (Zhang Qingmei, especialización en información, Liu Chen), (Zhang Qingmei, especialización en información, Liu Chen), , especialización en información, Wang Min), (Liu Yi, especialización en informática, Li Yong), (Liu Yi, especialización en informática, Liu Chen), (Liu Yi, especialización en informática, Wang Min), (Liu Yi, especialización en información, Li Yong), (Liu Yi, especialización en Información, Liu Chen), (Liu Yi, especialización en Información, Wang Min) } De esta manera, cada elemento de los tres conjuntos D1, D2 y D3 se combina correspondientemente para formar un grupo enorme. En este ejemplo, habrá 2X2X3 elementos en D. Si un conjunto tiene 1000 elementos y hay 3 de esos conjuntos, el nuevo conjunto compuesto por su producto cartesiano alcanzará los mil millones de elementos. Si un conjunto es infinito, entonces el nuevo conjunto tendrá infinitos elementos. [Editar este párrafo] Parejas secuenciales y productos cartesianos En la vida diaria, muchas cosas aparecen en pares, y las cosas que aparecen en pares tienen un orden determinado. Por ejemplo, arriba, abajo; izquierda, derecha; 3 <4; Zhang Hua es más alto que Li Ming; China está ubicada en las coordenadas de los puntos en el plano, etc. En términos generales, dos objetos con un orden fijo forman un par de secuencia, que a menudo expresa la relación entre los dos objetos. Denotado como 〈x, y〉. Cada uno de los ejemplos anteriores se puede expresar como 〈arriba, abajo〉; 〈izquierda, derecha〉; 〈3, 4〉; 〈Zhang Hua, Li Ming〉; Un par de secuencias puede verse como un conjunto con dos elementos. Pero lo que lo diferencia de los conjuntos generales es que los pares tienen un orden definido. En el conjunto {a, b} = {b, a}, pero el orden par 〈a, b〉 ≠ 〈b, a〉. Supongamos que xey son objetos arbitrarios. Llamamos al conjunto {{x}, {x, y}} un grupo ordenado binario, o pares ordenados, abreviado como Definición 3-4.1 Para cualquier par ordenado Defina recursivamente el grupo n-ario = < Dos grupos n-arios son iguales < a1,…an >= < b1,…bn >?(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn) Definición 3-4.2 Para cualquier conjunto A1, A2, …, An, (1) A1×A2 , llamado producto cartesiano de los conjuntos A1 y A2, se define como A1 ×A2=｛x | $u $v(x = (2) Defina recursivamente A1 × A2× … × An A1 × A2 ×… , A ×A, B×B y (A×B)? Solución A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,<β,3〉} B×A={〈1,α〉,〈1,β〉,〈2,α〉,〈2,β〉,〈3,α〉,〈3,β〉} A×A={〈α,α〉,〈α,β〉,〈β,α〉,〈β,β〉} B×B={〈1,1〉 ,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,1〉,〈3,2〉,〈3,3〉} (A×B)?(B×A)=? Del ejemplo 1 podemos ver que (A×B)?(B×A)=? Estamos de acuerdo en que si A=? o B=?, entonces A×B=?. De la definición de Descartes: (A×B)×C={〈〈a, b〉, c〉|(〈a, b〉∈A×B) ∧ (c∈C)} ={〈a, b, c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)} A × (B×C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)} Desde 〈a, 〈b, c 〉〉no es un triple, entonces (A×B)×C ≠A×(B×C) Teorema 3-4.1 Sean A, B, C cualquier conjunto , * representa la operación ?, ? o –, entonces se llega a las siguientes conclusiones: El producto cartesiano se puede dejar asignado para operaciones de unión e intersección. Es decir: A×(B*C)=(A×B)*(A×C) El producto cartesiano se puede distribuir por la derecha para operaciones de unión e intersección. Es decir: (B*C) ×A=(B×A)*(C×A) ¤ Cuando * significa ?, la prueba de la conclusión (1) es de la siguiente manera: (Discute el método narrativo) Primero prueba que A×(B ? C)?(A×B) ? (A×C) A partir de Probar de nuevo (A×B) ? ? C) A partir de Cuando * representa ?, la conclusión (2) Idea de prueba: (algoritmo de predicado) Consulte la página P-103. ¤ Teorema 3-4.2 Supongamos que A, B, C son conjuntos cualesquiera. Si C ≠ F, entonces tenemos la siguiente conclusión: A?B?(A×C ? B× C) ? (C×A?C×B) ¤ La demostración de la primera mitad del teorema: (algoritmo de predicado) Primera prueba A?B ? A×C?B ×C) Tomando A?B como condición, partiendo de Obtenemos la conclusión (A ×C?B×C). Demuestre nuevamente (A×C ?B×C) ? A?B Con C≠F como condición, comenzando desde x∈A, para y∈C, use ? Fórmula adicional, derivar x∈B Se llega a la conclusión (A?B). Consulte la página P-103. ¤ Teorema 3-4.3 Supongamos que A, B, C y D son cuatro conjuntos cualesquiera no vacíos, entonces tenemos la siguiente conclusión: A×B es C×D ? necesario y suficiente La condición es A? C, B? ¤Idea de prueba: (algoritmo de predicado) Primero prueba la suficiencia: A×B ? C, B ? D Para cualquier x∈A, y∈B, comenzando desde Demuestre la necesidad nuevamente: A? C, B? D ?A×B? C×D Para cualquier x∈A, y∈B, desde El producto de Descartes también se llama producto directo. Supongamos que A y B son dos conjuntos cualesquiera. Tome cualquier elemento x del conjunto A y tome cualquier elemento y del conjunto B para formar un par ordenado (x, y). de ellos se llama producto directo del conjunto A y el conjunto B, denotado como A×B, es decir, A×B={(x, y)|x∈A and y∈B}.